2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第03讲等式与不等式的性质(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第03讲等式与不等式的性质(高效培优讲义)(学生版+解析)，共28页。试卷主要包含了用不等式表示不等关系"，数大小的比较5，不等式的实际应用"，利用不等式的性质求范围"，糖水不等式及其应用"等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206167438" 考情探究 PAGEREF _Tc206167438 \h 2
\l "_Tc206167439" 知识梳理 PAGEREF _Tc206167439 \h 3
\l "_Tc206167440" 探究核心考点4
\l "_考点一 用不等式(组)表示不等关系" 考点一 用不等式(组)表示不等关系4
\l "_考点二 数（式）大小的比较" 考点二 数（式）大小的比较5
\l "_考点三 不等式的实际应用" 考点三 不等式的实际应用5
\l "_考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式" 考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式6
\l "_考点五 利用不等式的性质求范围" 考点五 利用不等式的性质求范围 PAGEREF _Tc206167445 \h 6
\l "_考点六 糖水不等式及其应用" 考点六 糖水不等式及其应用7
\l "_Tc206167447" 三阶突破训练8
\l "__x0001__4" 基础过关 PAGEREF _Tc206167448 \h 8
\l "_Tc206167449" 能力提升9
\l "__x0001__6" 真题感知10
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】
近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。
【备考策略】
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.掌握不等式的有关性质.
3.能利用不等式的性质比较数或式的大小或证明不等式.
4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题
【命题预测】
高考还是结合函数，数列交叉命题，不单独设置考点。
一、比较两个数大小
作差法：
如果是正数,那么;
如果等于零,那么;
如果是负数,那么.
反过来也对.
这个基本事实可以表示为: .
作商法：
任意两个值为 的代数式、，可以作商后比较与 的关系，进一步比较与的大小．
则有；；．
不等式性质
考点一 用不等式(组)表示不等关系
典例1．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数(表示不大于x的最大整数)可以表示为（ ）
A．B．C．D．
典例2．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
A．B．
C．D．
跟踪训练2．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、（单位：），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3．下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“xa”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
考点二 数（式）大小的比较
典例1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
典例2．已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（多选）对于实数a，b，m下列真命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，且，则的最小值为
跟踪训练3．（多选）下面说法正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
考点三 不等式的实际应用
典例1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )
A．每个95元 B．每个100元
C．每个105元 D．每个110元
典例2．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是( )
A．(38－3eq \r(73))m3 B．16m3
C．4eq \r(2)m3 D．14m3
跟踪训练1．光线透过一块玻璃，其强度要减弱eq \f(1,10).要使光线的强度减弱到原来的eq \f(1,3)以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
跟踪训练2．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：
(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式
典例1．若，求证：．
典例2．已知函数和，其中且．若和是方程的两根，且满足，求证：当时，．
跟踪训练1．（2025·河北保定·模拟预测）记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 .
跟踪训练2．已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
考点五 利用不等式的性质求范围
典例1．设定义在上的函数，满足，且对任意，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
典例2．已知，若，，且，则实数c的取值范围是 ．
跟踪训练1．设，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．已知且，求的取值范围．
跟踪训练3．已知满足且，求证：．
考点六 糖水不等式及其应用
典例1．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A．B．
C．D．
典例2．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，，为三条边长，则
D．若，，为三条边长，则
跟踪训练3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，；
(3)当时，比较的大小.
1．如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
2．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（ ）
A．18B．20C．22D．28
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必聚条件
4．若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．取值范围为
7．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·山东聊城·二模）（多选）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
9．已知实数，满足关系：，.则的取值范围是 .
10．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
1.已知正实数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3.若，则（ ）
A．B．C．D．
4.（多选）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ）
A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好
B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差
C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，”的否定是“，或”
C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
6.已知正数a，b，c满足，则的取值范围是 ．
7.已知正数a，b，c满足，，则的取值范围是
8.已知实数a，b满足，且，求的取值范围．
9.设（均为常数），为方程的两个实根，满足．
(1)求证：；
(2)若，试比较与的大小．
1．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（上海·高考真题），，则的最小值是 .
5．（上海·高考真题）已知：，，且，
（1）若，求的取值范围；
（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年高考I卷，第8题，5分
不等式比较大小
函数
性质
性质内容
注意
对称性
传递性
可加性
可乘性
的符号
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
同正
第03讲 等式与不等式性质
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206167438" 考情探究 PAGEREF _Tc206167438 \h 2
\l "_Tc206167439" 知识梳理2
\l "_Tc206167440" 探究核心考点3
\l "_考点一 用不等式(组)表示不等关系" 考点一 用不等式(组)表示不等关系 PAGEREF _Tc206167441 \h 3
\l "_考点二 数（式）大小的比较" 考点二 数（式）大小的比较6
\l "_考点三 不等式的实际应用" 考点三 不等式的实际应用8
\l "_考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式" 考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式9
\l "_考点五 利用不等式的性质求范围" 考点五 利用不等式的性质求范围12
\l "_考点六 糖水不等式及其应用" 考点六 糖水不等式及其应用 PAGEREF _Tc206167446 \h 14
\l "_Tc206167447" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc206167447 \h 18
\l "__x0001__4" 基础过关 PAGEREF _Tc206167448 \h 18
\l "_Tc206167449" 能力提升22
\l "__x0001__6" 真题感知 PAGEREF _Tc206167450 \h 28
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】
近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。
【备考策略】
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.掌握不等式的有关性质.
3.能利用不等式的性质比较数或式的大小或证明不等式.
4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题
【命题预测】
高考还是结合函数，数列交叉命题，不单独设置考点。
一、比较两个数大小
作差法：
如果是正数,那么;
如果等于零,那么;
如果是负数,那么.
反过来也对.
这个基本事实可以表示为: .
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
则有；；．
不等式性质
考点一 用不等式(组)表示不等关系
典例1．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数(表示不大于x的最大整数)可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用除以15所得余数分别为，其中当余数为时结果就是商，但当余数为时，函数值是商加1，因此可利用后除以15取整得．
【详解】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4，
因此利用取整函数可表示为.
故选：.
典例2．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．
【详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，
糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；
选项D等价于，不成立，
故选B．
跟踪训练1．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像.
【详解】因为，所以其对应图象为B,
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.
跟踪训练2．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、（单位：），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式即可．
【详解】由题意可知．
故选：D．
跟踪训练3．下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“xa”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【答案】B
【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案.
【详解】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误；
对于B，变量y不超过a可表示为，B正确；
对于C，变量x至少为a可表示为，C错误；
对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.
故选：B.
考点二 数（式）大小的比较
典例1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由不等式性质即可分析判断AC；举反例即可判断BD.
【详解】因为，所以，则，A错误；
当，，时满足，此时，B错误；
由，，得，C正确；
当时，，此时，D错误．
故选：C
典例2．已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设条件构造函数，求导判断其单调性推得，结合可得，又由可得，由取平方推出即得结论.
【详解】由，得，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
故，因，则，
又b是a，c的等比中项，则，故，
0，则，，所以，即，
结合，得，故，综上所述，．
故选：C.
跟踪训练1．已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对于A，取即可判断；对于B，由不等式性质以及指数函数单调性即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断.
【详解】对于A，取，则，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，所以，故B正确；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，取，则，故D错误.
故选：B.
跟踪训练2．（多选）对于实数a，b，m下列真命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，且，则的最小值为
【答案】BD
【分析】对于A，C，通过举反例即可排除；对于B，利用作差比较法即可推得；对于D，结合函数的图象特征得到，，再利用基本不等式即可求得.
【详解】对于A：时，，故A错误；
对于B：，则，因，即，故B正确；
对于C：因，若其中有一个不大于0，则与中就有一个没有意义，故C错误；
对于D：，且，由函数的图象可得：，解得，
由图可得，则，当且仅当，即时等号成立．故D正确．
故选：BD．
跟踪训练3．（多选）下面说法正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.
【详解】对于选项A：
因为，且，所以，故选项A正确；
对于选项B：
若，则，故选项B错误；
对于选项C：
因为，所以，又因为，所以，故选项C正确；
对于选项D：
若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误．
故选：AC．
考点三 不等式的实际应用
典例1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )
A．每个95元 B．每个100元
C．每个105元 D．每个110元
[答案] A
[解析] 设每个涨价x元，则利润y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000，
∴当x＝eq \f(200,40)＝5时，y取得最大值．
故每个售价为95元时利润最大．
典例2．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是( )
A．(38－3eq \r(73))m3 B．16m3
C．4eq \r(2)m3 D．14m3
[答案] B
[解析] 设长方体长为a m，高为h m，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16，
∴16≥2eq \r(2ah)＋ah，即(eq \r(ah))2＋2eq \r(2)·eq \r(ah)－16≤0，
解得00，∴4x＋9y≥2eq \r(4x·9y)＝12eq \r(xy).
∴6eq \r(S)＋S≤160，即(eq \r(S))2＋6eq \r(S)－160≤0.
∴0