北师大版（2024）八年级下册（2024）第四章 因式分解3 公式法第1课时教学设计

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第1课时

一、教学目标
1.能够理解并熟练运用平方差公式分解因式，体会转化思想.
2.能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式.
3.经历通过整式乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力.
4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力.

二、教学重难点
重点：理解并熟练运用平方差公式分解因式.
难点：能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式.

三、教学过程
复习回顾
下列哪些多项式能利用提公因式法分解因式，并说出其公因式？
(1) ma - mb + mc
(2) 2x2-6x
(3) a(x+y)-b(y+x)
(4) m(a-b)-n(b-a)
(5) x2-25
(6) 9x2-y2
预设答案：(1)能，公因式：m
(2)能，公因式：2x
(3)能，公因式：x+y
(4)能，公因式：a-b（或b-a）
(5)(6)都不能，没有公因式.
追问：像(5)、(6)这样没有公因式的，你会分解吗？
设计意图：让学生用提公因式法分解因式，并在做题的过程中，遇到了不能用提公因式法分解的因式，为解决新问题，引出新课的学习.
探究新知
活动：利用平方差公式因式分解
教师活动：通过观察x2-25，9x2-y2入手，体验这些多项式所具有的平方差的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的平方差公式.
计算下列各式：
(1)(x+5)(x-5)= ________ ,
(2)(3x+y)(3x-y)= ________.
预设答案：(1)x2-25；(2)9x2-y2
根据上面算式填空：
(1) x2-25=_____________,
(2)9x2-y2=_____________.
预设答案：(1)(x+5)(x-5)；(2)(3x+y)(3x-y).
提问：你有什么发现呢？
预设答案：前两个形如(a+b)(a-b)=a2-b2，是整式的乘法，后两个形如a2-b2=(a+b)(a-b)，是因式分解.而且它们是左右调换的.
设计意图：让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，区分整式的乘法和因式分解，从而得出平方差公式所具有的条件.
总结：事实上，把乘法公式(a+b)(a−b)=a²−b²反过来，就得到
a²−b²=(a+b)(a−b).
即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
思考：利用平方差公式进行因式分解有什么特点？
预设答案：左边：只有两项，两个数的平方差的形式；右边：两数的和与差的积.
追问：哪种形式的多项式才可以套用平方差公式来进行因式分解呢？
预设答案：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：
( )²-( )²的形式. (两数是平方，减号在中央 ).
设计意图：通过讨论加深学生对公式的理解和运用，找到应用公式的特征.
观察下面的拼图过程，验证平方差公式是否正确？
预设答案：a2-b2=(a+b)(a-b)，是正确的.
设计意图：通过拼图验证平方差公式，加深对平方差公式的理解.
操作·思考：如图，在一张边长为acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积.如果a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？
预设答案：a²−4b²=(a+2b)(a−2b)，所以剩余部分的面积为(a+2b)(a−2b)cm².
当a=3.6，b=0.8时，
(a+2b)(a−2b)=(3.6+2×0.8)(3.6−2×0.8)=(3.6+1.6)(3.6−1.6)=5.2×2=10.4(cm²).
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1.把下列各式因式分解：
(1) 25-16x2；(2) 9a2 -b2.
分析：(1)把25看成是a2，16x2看成是b2，从而公式中的a为5，b为4x，再套用平方差公式；(2)把9a2看成是a2，b2看成是b2，从而公式中的a为3a，b为b，再套用平方差公式.
解：(1)原式=5²-4x2=(5+4x)(5-4x)；
(2)原式=(3a)²-(b)²=(3a+b)(3a+b).
注意：a²-b²=(a + b)(a- b)中的a，b可以表示数、单项式.
例2 把下列各式因式分解：
(1) 2x3-8x；(2) 9(m+n)2-(m-n)2.
分析：(1)有公因式2x需先提出来，剩下的x²-4，再套用平方差公式.
(2)把9(m+n)2看成是a2，(m-n)2看成是b2，从而公式中的a为3(m+n)，b为m-n，再套用平方差公式.
解：(1)原式=2x3-8x
=2x(x²-4)
=2x(x²-2²)
=2x(x-2)(x+2).
注意：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
(2) 原式=[3(m+n)]²-(m-n)²
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=[3m+3n+m-n][3m+3n-m+n]
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)](m+2n).
注意：a²-b²=(a + b)(a- b)中的a，b可以表示数、单项式，也可以是多项式.
设计意图：通过例题的解答，引导学生运用平方差公式进行因式分解.
阅读·思考：如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如，16=5²−3²，16就是一个智慧数.
下面是小颖的思考过程.
设p是一个智慧数，则p能表示成两个正整数m，n的平方差，即 p=m²−n²=(m+n)(m−n)，其中，m，n是正整数，且m>n.她知道， m+n与m−n有相同的奇偶性，所以p只能是奇数或4的倍数.
(1)当p为奇数时，设p=2k+1(k为自然数)，怎样把它表示成两个正整数的平方差呢？经过尝试，她发现：1不是智慧数，
3=4−1=2²−1²，5=9−4=3²−2²，7=16−9=4²−3²，……
于是，她猜想，除1以外的奇数都是智慧数，且2k+1=(k+1)²−k²，k为正整数.事实上(k+1)²−k²=(k+1+k)(k+1−k)=2k+1.
所以小颖的猜想是正确的.
(2)当p为4的倍数时，
你认为当p为4的倍数时，它一定是智慧数吗？请你说明理由，并找到第1 000个智慧数.
预设答案：设p=4k(k为正整数)，则p=(k+1)²−(k−1)²=4k.
但当k=1时，(k+1)²−(k−1)²=2²−0²=4.
因此，4的倍数中，只有4不是智慧数，其余都是智慧数.
将从1开始的连续4个正整数看成一组，【p=2k+1，p=4k(k≠1)】
在第1组中，只有3一个智慧数，
从第2组开始，都有2个奇数和1个4的倍数是智慧数.
设前n组(每组4个数)中，智慧数的个数为2(n−1)+n−1+1.
2(n−1)是后(n−1)组中奇数的个数， n−1是后(n−1)组中4的倍数的个数，1是代表第一组中的奇数3.
令2(n−1)+n−1+1=1 000，解得n=334 .
则前334组共有334×4=1 336个数.
所以第1 000个智慧数是1 336.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.判断下列等式是否一定会成立：
(1)x²+y²=(x+y)(x+y)
(2)x²-y²=(x+y)(x-y)
(3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)
(4)-x²-y²=-(x+y)(x-y)
答案：× √ × ×
【自选练习】
2.把下列各式分解因式：
(1)16a2-9b2=______； (2)(a+b)2-(a-b)2=______；
(3) 2x3-8=_________； (4)-a4+16=_______.
答案：(1)(4a+3b)(4a-3b) ；(2)4ab；(3)2(x+2)(x-2) ；(4)(4+a2)(2+a)(2-a)．
3.多项式4a-a³分解因式的结果是( ) 
A.a(4-a²) B. a(2-a)(2+a) C. a(a-2)(a+2) D. a(2-a)²
答案：B
【教材练习】
4.把下列各式因式分解：
(1)a2b2-m2； (2)(m-a)2-(n+b)2；
(3)x2-(a+b-c)2； (4)-16x4+81y4.
答案：(1)a2b2-m2=(ab+m)(ab-m)；
(2)(m-a)2-(n+b)2 =(m-a+n+b)(m-a-n-b)；
(3)x2-(a+b-c)2=(x+a+b-c)(x-a-b+c)；
(4)-16x4+81y4=(9y2+4x2)(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x).
【自选练习】
5.利用因式分解进行简便计算：
(1)1012－992；
(2)53.52×4－46.52×4.
解：(1)1012－992=(101+99)(101－99) =400；
(2)53.52×4－46.52×4＝4×(53.52－46.52)＝4 ×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7＝2 800.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.