初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 公式法第2课时教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 公式法第2课时教学设计，共15页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式，体会转化思想.
2.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式．
3.经历通过整式乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力．
4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力．

二、教学重难点
重点：理解并熟练运用完全平方公式分解因式.
难点：能够综合运用提公因式法、公式法分解因式.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，学生思考并回答.
问题：你学过哪些因式分解的方法？
预设：提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)
追问：你会运用这些方法吗？
把下列各式分解因式：
ax4 - ax2
预设答案：有公因式，先提公因式：
原式=ax2（x2-1）=ax2(x+1)(x-1)
x4-16
预设答案：因式分解要彻底！
原式=(x2 +4)(x2 -4) =(x2 +4)(x +2)(x -2)
设计意图：复习已学的因式分解的方法，一方面巩固已学知识，另一方面为新课的学习做准备.
探究新知
活动：利用完全平方公式因式分解
教师活动：通过观察具体的式子，体验这些多项式所具有的完全平方式的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的完全平方式公式.
计算下列各式：
(1)(x+2)2= ________ ,
(2)(2x+1)2= ________，
(3)(x-3)2= ________ ,
(4)(3x-1)2= ________，
预设：(1)x2+4x+4；(2)4x2+4x+1；(3)x2-6x+9；(4)9x2-6x+1
根据上面算式填空:
(1) x2+4x+4=_____________,
(2)4x2+4x+1=_____________,
(3)x2-6x+9=_______________，
(4)9x2-6x+1=_____________.
预设：(1)(x+2)2；(2)(2x+1)2；(3)(x-3)2；(4)(3x-1)2.
提问：你有什么发现呢？
预设：前四个形如(a±b)2=a2±2ab+b2，是整式的乘法，后两个形如a2±2ab+b2=(a±b)2，是因式分解，而且它们是左右调换的.
设计意图：让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，区分整式的乘法和因式分解，从而得出完全平方公式所具有的条件.
【归纳】
完全平方公式：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
通常我们把运用乘法公式把某些多项式进行因式分解的方法叫做公式法.
设计意图：明确完全平方公式及公式法的概念.
【想一想】
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点？
预设：(1)是三项式(或可以看成三项)；
(2)有两个同号的数或式的平方；
(3)中间是这两个数的积的±2倍.
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就可以用完全平方式法进行因式分解.
设计意图：通过讨论加深学生对公式的理解和运用，找到应用公式的特征.
【做一做】
观察下面的拼图过程，验证完全平方和公式是否正确？
预设：a2+2ab+b2=(a+b)2，是正确的.
提问：你能验证完全平方差公式吗？
设计意图：通过拼图验证完全平方和公式，加深对公式的理解.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1.把下列各式因式分解：
(1) x2+14x+49； (2) (m+n)2 -6 (m+n)+9.
分析：(1)把x2看成是a2，49看成是b2，从而公式中的a为x，b为7，中间项刚好是它们乘积的2倍，再套用完全平方和公式；(2)把(m+n)2看成是a2，9看成是b2，从而公式中的a为m+n，b为3，中间项刚好是它们乘积的2倍，再套用完全平方差公式.
解：(1)原式=x2+2×7x+72 ＝(x+7) 2 ；
(2)原式=(m+n)2-2(m+n)·3+32＝[(m+n)-3]2＝(m+n-3)2.
注意：a²±2ab+b²= (a±b)²中的a，b可以表示数、单项式，也可以是多项式.
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2) -x2-4y2＋4xy.
分析：(1)有公因式3a需先提出来，剩下的x2＋2xy＋y2，再套用完全平方和公式；(2)有公因式-1需先提出来，剩下的x2-4xy＋4y2，再套用完全平方差公式.
解：(1)原式= 3a(x2＋2xy＋y2)=3a(x＋y)²
(2)-x2-4y2＋4xy＝-(x2＋4y2-4xy)
＝-(x2-4xy＋4y2)
＝-[x2-2·x·2y＋(2y)2]
＝-(x-2y)2.
注意：如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式，再运用完全平方式进行因式分解.
【经典例题】
例3 把(x2+1)2-4x2因式分解.
分析：先用平方差公式，再运用完全平方式进行因式分解.
解：(x2+1)2-4x2
＝ (x2+1)2- (2x)2
=(x2+2x+1)(x2- 2x+1)
=(x+1)2(x-1)2
设计意图：通过例题的解答，引导学生如何运用完全平方公式进行因式分解.
【议一议】
多项式因式分解的一般步骤是什么？
预设：
①如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；②如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解(即平方差公式和完全平方公式)；③如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解；④因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.（遵循“一提、二套、三检查”的原则）
设计意图：归纳总结得出对多项式进行因式分解的一般步骤.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【自选练习】
1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
答案：D
2. 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为( )
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
答案：C
3.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
x(4xy－4y2－x2) D. －x(－4xy＋4y2＋x2)
答案：B
4.利用因式分解进行简便计算：
(1)1002－2×100×99+99²；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)1002－2×100×99+992==(100-99)2=1
(2)342＋34×32＋162=(34＋16)2=2 500
【教材练习】
5.下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？
(1)x2–x+14； (2)9a2b2–3ab+1； (3)14m2+3mn+9n2； (4)x6–10x3–25.
答案：(1)可以用，x2–x+14=x2–2×x×12+122=x−122；
(2)不可以用；
(3)可以用，14m2+3mn+9n2=12m2+2× 12m×3n+(3n)2=12m+3n2；
(4)不可以.
6.把下列各式因式分解：
(1)x2–12xy+36y2； (2)16a4+24a2b2+9b4；
(3)–2xy–x2–y2； (4)4–12(x–y)+9(x–y)2.
答案：(1)x2–12xy+36y2=x2–2×x×6y+(6y)2=(x–6y)2；
(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2×4a2×3b2x+(3b2)2=(4a2+3b2)2；
(3)–2xy–x2–y2=–(x2+2xy+y2)=–(x+y)2；
(4)4–12(x–y)+9(x–y)2=9(x–y)2–12(x–y)+22
=[3(x–y)2]–2×3(x–y)×2+22=[3(x–y)–2]2=(3x–3y–2)2.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.