2026年高考数学一轮复第02讲两条直线的位置关系(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第02讲两条直线的位置关系(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共2页。学案主要包含了方法技巧，易错分析，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练2-1，变式训练3-1，变式训练3-2，变式训练4-1等内容，欢迎下载使用。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚4
\l "_Tc199181717" 知能解码4
\l "_知识点1 两条直线的位置关系" 知识点1 两条直线的位置关系 PAGEREF _Tc199181718 \h 4
\l "_知识点2 直线的交点与方程组解的关系" 知识点2 直线的交点与方程组解的关系4
\l "_知识点3 距离公式" 知识点3 距离公式 PAGEREF _Tc199181720 \h 5
\l "_知识点4 对称问题" 知识点4 对称问题 PAGEREF _Tc199181721 \h 5
\l "_Tc199181722" 题型破译 \l "_Tc199181721" 5
\l "_题型1 直线的交点及其应用" 题型1 直线的交点及其应用 PAGEREF _Tc199181723 \h 5
\l "_题型2 两条直线平行及其应用_x0001_" 题型2 两条直线平行及其应用 PAGEREF _Tc199181724 \h 6
【方法技巧】斜率相等，截距不相等
【易错分析】易忽视掉两直线重合的情况
\l "_题型3 两条直线垂直及其应用" 题型3 两条直线垂直及其应用 PAGEREF _Tc199181725 \h 7
\l "_题型4 点到直线间的距离公式的应用" 题型4 点到直线间的距离公式的应用 PAGEREF _Tc199181726 \h 8
\l "_题型5 两条平行直线间的距离公式的应用_x0001_" 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 PAGEREF _Tc199181727 \h 8
\l "_题型6 与距离有关的最值问题" 题型6 与距离有关的最值问题 PAGEREF _Tc199181728 \h 9
【方法技巧】数学结合，利用距离的几何意义进行转化
\l "_题型7 点、直线的对称问题_x0001_" 题型7 点、直线的对称问题 PAGEREF _Tc199181729 \h 9
\l "__x0001__5" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc199181733 \h 10
\l "__x0001__6" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc199181734 \h 11
\l "_Tc25045" 知识点1 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
自主检测判断下列各组直线的位置关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
\l "_Tc25045" 知识点2 直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
自主检测直线和的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc25045" 知识点3 距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ .
自主检测已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
\l "_Tc25045" 知识点4 对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′ .
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
自主检测已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型1 直线的交点及其应用
例1-1过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例1-2已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
方法技巧
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
【变式训练1-1】已知直线．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【变式训练1-2】已知菱形中，，，边所在直线过点，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)点的坐标．
题型2 两条直线平行及其应用
例2-1“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例2-2（多选）已知直线：，：，点在上，点在上，则（ ）
A．的最小值为
B．原点到的距离的最大值为
C．的充要条件为
D．的充要条件为或
方法技巧
三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
易错分析
.两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在或则排除重合的情况的情况.
【变式训练2-1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．2D．
【变式训练2-2·变考法】已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ．
【变式训练2-3·变载体】已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ．
题型3 两条直线垂直及其应用
例3-1以为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例3-2设直线，，则是的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
方法技巧
两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况
【变式训练3-1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点．
B．截距相等的直线都可以用方程表示
C．直线的倾斜角为
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【变式训练3-2】已知的顶点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
题型4 点到直线间的距离公式的应用
例4-1已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
例4-2若点，到直线的距离相等，则（ ）
A．4B．C．4或D．或
方法技巧
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
【变式训练4-1】点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
【变式训练4-2·变载体】已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用
例5-1（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
例5-2已知实数满足， ， 则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
方法技巧
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式训练5-1】若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A．B．1C．或1D．0
【变式训练5-2】设直线与.
(1)若，求、之间的距离；
(2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值.
题型6 与距离有关的最值问题
例6-1点到直线的最大距离是（ ）
A．B．2C．D．不存在
例6-2（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
方法技巧
数学结合，利用距离的几何意义进行转化
【变式训练6-1】已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【变式训练6-2】（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（ ）
A．的最小值为12B．的最小值为6
C．的最小值为D．的最大值为2
题型7 点、直线的对称问题
例7-1下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点关于直线的对称点为
C．直线关于直线的对称直线的方程为
D．直线关于点的对称直线的方程为
例7-2已知在直线上，则的最小值为 ．
方法技巧
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
【变式训练7-1】在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ）

A．B．C．D．
【变式训练7-2】设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是
【变式训练7-3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
4．（全国·高考真题）和夹角的平分线所在直线的方程为，如果的方程是()，那么的方程是( )
A．B．
C．D．
5．（全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
1.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长．
2.分别求点到下列直线的距离：
(1)；
(2)．
3.已知两条平行直线与间的距离为3，求C的值．
4.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)；
(2)．
5.某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方?
6.求函数的最大值．
7.已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，求．
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
单选题
多选题
填空题
解答题
天津卷，12题，5分
甲卷理科，第12题，5分
北京卷第3题，4分
新课标I卷，第6题，5分
新课标II卷，第15题，5分
考情分析：高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．
复习目标：
1.两条直线的位置关系
2.直线的交点与方程组解的关系
3.距离公式
4.对称问题
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
垂直
v1⊥v2
相交
v1与v2不共线
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
直线l1与l2的公共点的个数
一个
零个
直线l1与l2的位置关系
重合