2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题8.2两条直线的位置关系(学生版+解析)

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\l "_Tc8961" 【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 PAGEREF _Tc8961 \h 3
\l "_Tc29012" 【题型2 两条直线平行及其应用】 PAGEREF _Tc29012 \h 5
\l "_Tc26454" 【题型3 两条直线垂直及其应用】 PAGEREF _Tc26454 \h 7
\l "_Tc24399" 【题型4 直线的交点问题】 PAGEREF _Tc24399 \h 8
\l "_Tc12947" 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc12947 \h 9
\l "_Tc27565" 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc27565 \h 11
\l "_Tc14945" 【题型7 与距离有关的最值问题】 PAGEREF _Tc14945 \h 12
\l "_Tc26673" 【题型8 点、线间的对称问题】 PAGEREF _Tc26673 \h 14
\l "_Tc32361" 【题型9 直线系方程】 PAGEREF _Tc32361 \h 17
1、两条直线的位置关系
知识点1 两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
2．平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
知识点2 直线的交点坐标
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线，直线.
2．直线系方程
过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，
λ∈R，但不包括直线l2.
知识点3 距离公式
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
知识点4 点、线间的对称关系
1．六种常用对称关系
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
2．对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
【方法技巧与总结】
1．判断两条直线位置关系的注意点：
(1)斜率不存在的特殊情况；(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
2．使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】
【例1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线x−my+m−1=0恒过点P，则过点P并与直线x−2y+4=0垂直的直线方程为（ ）
A．2x+y−3=0B．2x+y+1=0
C．x−2y+1=0D．2x−y+3=0
【答案】A
【解题思路】根据恒过定点化简直线方程求出P(1,1)，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可.
【解答过程】由x−my+m−1=0，得x−1=m(y−1)，
直线x−my+m−1=0恒过点P(1,1)．
因为x−2y+4=0的斜率为12，
所以所求直线的斜率为−2，其方程为y−1=−2(x−1)，即2x+y−3=0，
故选：A．
【变式1-1】（2025·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（ ）
A．x−y+2=0B．x−2y+4=0
C．x−y−2=0D．x+2y−4=0
【答案】C
【解题思路】依题意设直线l的方程为x−y+m=0，代入0,−2求出参数的值，即可得解.
【解答过程】因为直线l平行于直线x−y=0，所以直线l可设为x−y+m=0，
因为在y轴上的截距是−2，则过点0,−2，代入直线方程得0−−2+m=0，
解得m=−2，所以直线l的方程是x−y−2=0.
故选：C.
【变式1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）将直线l1:x+y−2=0绕点(2,0)顺时针旋转90°得到直线l2，则直线l2的方程是（ ）
A．2x−y+4=0B．x+y+2=0
C．x−y−2=0 D．2x−y−4=0
【答案】C
【解题思路】由题意可知，l1⊥l2，所以l1,l2的斜率之积为−1，可得到l2的斜率，再由l2过点(2,0)，即可得到答案．
【解答过程】设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，由l1:x+y−2=0可知，k1=−1，
由题意可知，l1⊥l2，所以k1⋅k2=−1，所以k2=1．
因为l2过点(2,0)，所以由直线的点斜式方程可知l2的方程为y−0=1⋅(x−2)，
即x−y−2=0．
故选：C.
【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点A(1,2)，B(−2,3)，则过点A且与直线AB垂直的直线l的方程为（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y−2=0
C．3x+y−5=0D．3y−x−5=0
【答案】A
【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出kl=3，最后利用点斜式方程可得解.
【解答过程】由题意知A(1,2)，B(−2,3)，则直线AB的斜率kAB=3−2−2−1=−13,
因为直线l与直线AB垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为−1，
所以直线l的斜率kl=3，再由直线l经过点A(1,2)，
则由点斜式方程可得直线l的方程为y−2=3(x−1)，
即3x−y−1=0，
故选：A.
【题型2 两条直线平行及其应用】
【例2】（2025·宁夏中卫·三模）若直线l1：m−2x+3y+3=0与直线l2：2x+m−1y+2=0平行，则m=（ ）
A．4B．1C．1或-4D．-1或4
【答案】D
【解题思路】根据直线一般方程的平行关系求m的值，并代入检验即可.
【解答过程】依题意得，m−2m−1=2×3，
得m2−3m−4=0，
解得m=4或m=−1，
若m=4时，直线l1:2x+3y+3=0与直线l2:2x+3y+2=0平行，符合题意；
若m=−1时，直线l1:x−y−1=0与直线l2:x−y+1=0平行，符合题意；
综上所述：m=4或m=−1．
故选：D.
【变式2-1】（2025·上海·三模）设a为实数，直线l1:ax+y=1，直线l2:x+ay=2a，则“a=1”是“l1,l2平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分又不必要
【答案】A
【解题思路】利用两者之间推出的关系可得条件关系.
【解答过程】若a=1，则直线l1:x+y=1，直线l2:x+y=2，此时l1,l2平行，
若l1,l2平行，则a2=1即a=±1，
当a=1时，l1,l2平行，
当a=−1时，直线l1:−x+y=1，直线l2:x−y=−2，此时l1,l2也平行，
故l1,l2平行时推不出a=1，故“a=1”是“l1,l2平行”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式2-2】（2025·天津和平·二模）若a∈R，直线l1：x+2ay−1=0，直线l2：3a−1x−ay−1=0，则“a=0”是“l1//l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解.
【解答过程】当a=0时，l1:x−1=0,l2:−x−1=0，则l1//l2；
若l1//l2，则1×(−a)=2a(3a−1)，解得a=0或16.
所以“a=0”是“l1//l2”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2-3】（2025·广东茂名·一模）已知直线l1:x+my−5=0，直线l2:mx+y+3=0，若l1 ∥ l2，则实数m的值为（ ）
A．1B．−1C．−1或1D．0
【答案】C
【解题思路】根据两直线平行时系数的关系求解即可.
【解答过程】根据两直线平行，可知1×1=m23m≠1×−5，
解得m=±1.
故选：C.
【题型3 两条直线垂直及其应用】
【例3】（2025·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（ ）
A．−6B．73C．23D．9
【答案】A
【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得.
【解答过程】由题意可得−1−mm−4⋅2=−1，解得m=−6.
故选：A.
【变式3-1】（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线l1:x+my+1=0与直线l2:x+(1−2m)y−3=0，则“m∈{1,−2}”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】由l1⊥l2，计算得m=1或m=−12，即可判断.
【解答过程】因为l1⊥l2，
所以1+m(1−2m)=0，
解得m=1或m=−12，
所以“m∈{1,−2}”是“l1⊥l2”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【变式3-2】（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x−3垂直，则（ ）
A．A=−2B≠0B．A=2B≠0
C．B=−2A≠0D．B=2A≠0
【答案】D
【解题思路】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【解答过程】直线y=2x−3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax+By+C=0的斜率为−12，
即−AB=−12且A≠0，B≠0，所以B=2A≠0.
故选：D.
【变式3-3】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线l1:2x−y+1=0与l2:x+ky−3=0垂直，则实数k的值为（ ）
A．2B．-2C．12D．−12
【答案】A
【解题思路】对k分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解.
【解答过程】当k=0时，得l2:x=3，此时l1与l2不垂直；
当k≠0时，若l1⊥l2，则2×−1k=−1，解得k=2.
故选：A.
【题型4 直线的交点问题】
【例4】（2025高二·全国·专题练习）直线2x+5y−7=0和3x+2y+6=0的交点坐标为（ ）
A．4,3B．3,4C．−4,3D．−4,−3
【答案】C
【解题思路】联立方程求解即可.
【解答过程】由方程组2x+5y−7=03x+2y+6=0，得x=−4y=3，即交点为−4,3．
故选：C．
【变式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线l过直线l1:x−y=0和l2:x+y−2=0的交点，且与3x+4y−5=0平行，则l的方程是（ ）
A．3x+4y+7=0B．3x+4y−7=0
C．4x−3y+1=0D．4x−3y−1=0
【答案】B
【解题思路】求出直线l1、l2的交点坐标，根据题意，设直线l的方程为3x+4y+m=0，将交点坐标代入直线l的方程，求出实数m的值，即可得出直线l的方程.
【解答过程】联立直线l1、l2的方程，x−y=0x+y−2=0，解得x=y=1，
故直线l1、l2的交点坐标为1,1，
因为直线l与直线3x+4y−5=0平行，设直线l的方程为3x+4y+m=0，
将点1,1的坐标代入直线l的方程可得3+4+m=0，解得m=−7.
因此，直线l的方程为3x+4y−7=0.
故选：B.
【变式4-2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线2x−y+3=0与x+ay−1=0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．1,5B．−1,−1C．−1,1D．−2,−1
【答案】C
【解题思路】先利用垂直关系求出a，再代入方程联立求解交点.
【解答过程】直线2x−y+3=0与x+ay−1=0互相垂直,可得2×1+(−a)=0，即a=2.
把a=2代入直线x+ay−1=0，得到x+2y−1=0.
联立方程组2x−y+3=0x+2y−1=0
解得x=−1.把x=−1代入y=2x+3，得y=2×(−1)+3=1.
所以交点坐标为(−1,1).
故选：C.
【变式4-3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线l1：x+2y−4=0与直线l2：kx−y+2k+1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（ ）
A．−16,12B．−12,16
C．−∞,−12∪12,+∞D．−∞,−12∪−16,+∞
【答案】A
【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案.
【解答过程】由题意联立x+2y−4=0kx−y+2k+1=0，解得x=2−4k2k+1y=6k+12k+1，
即直线l1：x+2y−4=0与直线l2：kx−y+2k+1=0的交点为2−4k2k+1,6k+12k+1，
由题意可得2−4k2k+1>06k+12k+1>0，解得−160与l2：2x−4y−6=0之间的距离是25，
所以|2m+6|4+16=25,解得m=7或−13（舍去），
即直线l1：x−2y+7=0，l2：x−2y−3=0，
设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x−2y+c=0，
则|−3−7|5=|−3−c|5，解得c=−13或7（舍去），
故所求直线方程为x−2y−13=0，
（2）设直线l1关于直线l3对称的直线为l4，
由x−2y+7=03x−y−4=0，解得x=3y=5，所以直线l4经过点(3,5)，
在l1上取一点A(−7,0)关于l3对称的点设为A′(a,b)，
则有ba+7=−133×a−72−b2−4=0，解得a=8b=−5，所以直线l4经过点(8,−5)，
所以直线l4的斜率为k3=5+53−8=−2，所以直线l4的方程为y−5=−2x−3，
即：2x+y−11=0.
18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l的方程为m+3x+2m−1y−7m=0m∈R．
(1)证明：直线l过定点，并求定点到直线3x+4y−7=0的距离；
(2)当m为何值时，点Q3，4到直线l的距离最大？最大距离是多少？
【答案】(1)证明见解析，85
(2)m=53，5
【解题思路】（1）将直线l的方程整理得x+2y−7m+3x−y=0，令x+2y−7=03x−y=0，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解；
（2）由（1）可得直线l过定点，设定点为P1,3，当PQ⊥l时，点Q到直线l的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求m.
【解答过程】（1）将直线l的方程整理得x+2y−7m+3x−y=0，
令x+2y−7=03x−y=0，解得x=1,y=3,所以直线l恒过点1,3．
则定点1,3到直线3x+4y−7=0的距离为3+12−732+42=85．
（2）由（1）可得直线l过定点，设定点为P1,3．
当PQ⊥l时，点Q到直线l的距离最大，且最大距离d=PQ=(1−3)2+(3−4)2=5，
即点Q到直线l的最大距离为5．
此时kPQ=4−33−1=12，而直线l的斜率k=−m+32m−1，
所以−m+32m−1=−2，解得m=53．
19．（24-25高二上·重庆·期中）已知两直线l1:x−y+1=0，l2:x+2y−8=0
(1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)已知两点A−1,1，B0,2，动点P在直线l1运动，求|PA|+|PB|的最小值.
【答案】(1)y=32x或x+y−5=0；
(2)2.
【解题思路】（1）求出直线l1,l2的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解.
（2）求出点A关于直线l1对称的点，再结合对称的性质及两点间线段最短求出最小值.
【解答过程】（1）由x−y+1=0x+2y−8=0，解得x=2y=3，则直线l1,l2交于点M(2,3)，
直线y=32x在两坐标轴上截距都为0，且过点M(2,3)，符合题意，
当相等的截距不为0时，设直线方程为xa+ya=1，由2a+3a=1，
得a=5，方程为x+y−5=0，
所以所求直线方程为y=32x或x+y−5=0.
（2）点A,B在直线l1同侧，令点A关于直线l1对称的点坐标为(a,b)，
则a−12−b+12+1=0b−1a+1=−1，解得a=b=0，因此点A关于直线l1对称的点为原点O(0,0)，
|PA|+|PB|=|PO|+|PB|≥|OB|=2，当且仅当P是线段OB与直线l1为交点时取等号，
所以|PA|+|PB|的最小值为2.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直
(2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标
(3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
2022年上海卷：第7题，5分
2024年北京卷：第3题，4分
2025年全国一卷：第7题，5分
2025年天津卷：第12题，5分
从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，考查内容、频率、题型与难度均变化不大；复习时应加强对两条直线的位置关系、距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.
斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（当时，记为）
垂直
k1·k2=-1
（当时，记为）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（当时，记为）
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行