（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第02讲 两条直线的位置关系 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
知识点二：三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
【解题方法总结】
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有，可得对称点的坐标为
2、点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
6、过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
8、平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
9、垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
题型一：两直线位置关系的判定
【例1】直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设直线，，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】直线：与直线：平行， 则（ ）
A．或 B． C． D．
【变式1-3】设分别为中所对边的边长，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
题型二：两直线的交点与距离问题
【例2】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式2-2】已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】点到直线的距离的最大值是 ．
【变式2-4】若两条直线与平行，则与间的距离是 .
【变式2-5】平行直线与之间的距离为 ．
题型三：有关距离的最值问题
【例3】的最小值所属区间为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
【变式3-1】已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
【变式3-2】已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【变式3-3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
【变式3-4】已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式3-5】在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【变式3-6】已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：点点对称
【例4】已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 .
【变式4-1】已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ．
题型五：点线对称
【例5】如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，
【变式5-1】抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型六：线点对称
【例6】直线关于点对称的直线的方程为 ．
【变式6-1】直线关于点的对称直线方程是 ．
【变式6-2】与直线关于点对称的直线的方程为 .
【变式6-3】直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
题型七：线线对称
【例7】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【变式7-1】若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型八：直线系方程
【例8】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
【变式8-1】已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是 ．
【变式8-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
【变式8-3】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 .
第02讲 两条直线的位置关系
1．若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
2．若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A． B． C． D．4
4．已知圆，从圆心C射出的光线被直线反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
6．已知点分别为直线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7.点到曲线在处的切线l的距离为 .
8．已知直线和两点，若直线上存在一点使得最小，则点的坐标为 .
9．已知是曲线在处的切线,若点到的距离为1,则实数 .
10．已知两条直线，，若，则直线与之间的距离 ．
11.在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ．
12．已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是 .
13．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是 ．
两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一个为0，另一个不存在．