2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第02讲两条直线的位置关系(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第02讲两条直线的位置关系(高效培优讲义)(学生版+解析)，共62页。试卷主要包含了两条直线平行及其应用，两条直线垂直及其应用，直线的交点及其应用，点到直线间的距离公式的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，与距离有关的最值问题，直线的对称问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc29439" 考情研究 PAGEREF _Tc29439 \h 2
\l "_Tc8218" 知识梳理 PAGEREF _Tc8218 \h 2
\l "_Tc12375" 探究核心考点 PAGEREF _Tc12375 \h 4
\l "_Tc12197" 考点一 两条直线平行及其应用 PAGEREF _Tc12197 \h 4
\l "_Tc32153" 考点二 两条直线垂直及其应用 PAGEREF _Tc32153 \h 4
\l "_Tc23638" 考点三 直线的交点及其应用 PAGEREF _Tc23638 \h 5
\l "_Tc8646" 考点四 点到直线间的距离公式的应用 PAGEREF _Tc8646 \h 5
\l "_Tc14894" 考点五 两条平行直线间的距离公式的应用 PAGEREF _Tc14894 \h 6
\l "_Tc19900" 考点六 与距离有关的最值问题 PAGEREF _Tc19900 \h 6
\l "_Tc30705" 考点七 直线的对称问题 PAGEREF _Tc30705 \h 7
\l "_Tc6432" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc6432 \h 8
\l "_Tc10971" 基础过关 PAGEREF _Tc10971 \h 8
\l "_Tc22466" 能力提升 PAGEREF _Tc22466 \h 9
\l "_Tc9459" 真题感知 PAGEREF _Tc9459 \h 9
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】聚焦直线与圆的核心考点，如直线与坐标轴交点、过定点、点到直线距离等，常与圆的弦长、切线长及数列、解三角形等知识综合，以选择、填空题为主，分值 4 - 5 分。
【备考策略】夯实直线与圆的基础公式，强化知识综合应用，分类研磨真题，总结解题规律，提升知识迁移和严谨解题能力。
【命题预测】核心考点仍会延续，可能结合实际场景或函数、不等式创新命题，题型分值保持稳定，注重基础知识的灵活考查。
\l "_Tc25045" 1 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
2 直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
\l "_Tc25045" 3 距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ .
\l "_Tc25045" 4 对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′ .
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考点一 两条直线平行及其应用
典例1．（2025·辽宁·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或-1
典例2．（2025·宁夏中卫·模拟预测）若直线：与直线：平行，则（ ）
A．4B．1C．1或-4D．-1或4
跟踪训练1．（2025·上海·模拟预测）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分又不必要
跟踪训练2．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“直线与直线互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
跟踪训练3．（2025·山东·模拟预测）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
考点二 两条直线垂直及其应用
典例1．（2025·山西·模拟预测）已知直线与，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
典例2．（2025高三·湖南长沙）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
跟踪训练1．（2025高三·福建龙岩·期中）已知直线，，且，则 .
跟踪训练2．（2025高三·贵州）已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A．B．或0C．D．或0
跟踪训练3．（2025·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则 .
考点三 直线的交点及其应用
典例1．（2025·山东·模拟预测）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）
A．4B．2C．D．
跟踪训练1．（2025·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·山东·模拟预测）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
考点四 点到直线间的距离公式的应用
典例1．（2025高三·湖北随州）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 .
典例2．（2025·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（ ）
A．B．2C．D．不存在
跟踪训练1．【多选】（2025高三·江苏）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6C．D．9
考点五 两条平行直线间的距离公式的应用
典例1．典例1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·上海奉贤·模拟预测）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ．
跟踪训练1．（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025高三·全国）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
考点六 与距离有关的最值问题
典例1．（2025·重庆·模拟预测）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
典例2．（2025高三·天津·期中）椭圆上的点P到直线的最大距离是 ；距离最大时点P坐标为 .
跟踪训练1．（25-26高三·江苏南京）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（ ）
A．B．C．2D．
跟踪训练2．【多选】（2025高三·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ）
A．的最小值为12B．的最小值为6
C．的最小值为D．的最大值为2
考点七 直线的对称问题
典例1．（2025·北京通州·模拟预测）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
典例2．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025·上海静安·模拟预测）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练3．（2025·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（ ）
A．5B．C．4D．
跟踪训练4．（2025·重庆·模拟预测）已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（ ）
A．B．2C．或2D．或
1．（2025高三·天津红桥）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2025·四川南充·模拟预测）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025高三·江苏扬州）已知直线与互相垂直，垂足为，则为（ ）
A．B．C．0D．4
4．（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为 则四边形的面积为（ ）
A．24B．C．12D．6
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
6．（2025·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·山西·模拟预测）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025高三·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为( )
A．B．C．5D．10
1．（2025·湖南·模拟预测）已知点满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
2．（2025·河南新乡·模拟预测）已知圆和直线，则圆心到直线l的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．5D．10
1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
4．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
5．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年天津卷，12题，5分
直线与坐标轴的交点
圆的弦长与中点弦
已知圆的弦长求方程或参数
2024年甲卷理科，第12题，5分
直线过定点问题
圆的弦长与中点弦
等差中项的应用
2024年北京卷第3题，4分
求点到直线的距离
由圆的一般方程确定圆心和半径
2023年新课标I卷，第6题，5分
已知点到直线距离求参数
切线长
给值求值型问题
余弦定理解三角形
2023年新课标II卷，第15题，5分
求点到直线的距离
圆的弦长与中点弦
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2


垂直
v1⊥v2


相交
v1与v2不共线


方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组

直线l1与l2的公共点的个数
一个

零个
直线l1与l2的位置关系

重合

第02讲 两条直线的位置关系
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc29439" 考情研究 PAGEREF _Tc29439 \h 2
\l "_Tc8218" 知识梳理 PAGEREF _Tc8218 \h 2
\l "_Tc12375" 探究核心考点 PAGEREF _Tc12375 \h 4
\l "_Tc12197" 考点一 两条直线平行及其应用 PAGEREF _Tc12197 \h 4
\l "_Tc32153" 考点二 两条直线垂直及其应用 PAGEREF _Tc32153 \h 6
\l "_Tc23638" 考点三 直线的交点及其应用 PAGEREF _Tc23638 \h 7
\l "_Tc8646" 考点四 点到直线间的距离公式的应用 PAGEREF _Tc8646 \h 9
\l "_Tc14894" 考点五 两条平行直线间的距离公式的应用 PAGEREF _Tc14894 \h 11
\l "_Tc19900" 考点六 与距离有关的最值问题 PAGEREF _Tc19900 \h 12
\l "_Tc30705" 考点七 直线的对称问题 PAGEREF _Tc30705 \h 14
\l "_Tc6432" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc6432 \h 18
\l "_Tc10971" 基础过关 PAGEREF _Tc10971 \h 18
\l "_Tc22466" 能力提升 PAGEREF _Tc22466 \h 21
\l "_Tc9459" 真题感知 PAGEREF _Tc9459 \h 23
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】聚焦直线与圆的核心考点，如直线与坐标轴交点、过定点、点到直线距离等，常与圆的弦长、切线长及数列、解三角形等知识综合，以选择、填空题为主，分值 4 - 5 分。
【备考策略】夯实直线与圆的基础公式，强化知识综合应用，分类研磨真题，总结解题规律，提升知识迁移和严谨解题能力。
【命题预测】核心考点仍会延续，可能结合实际场景或函数、不等式创新命题，题型分值保持稳定，注重基础知识的灵活考查。
\l "_Tc25045" 1 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
2 直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
\l "_Tc25045" 3 距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
\l "_Tc25045" 4 对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考点一 两条直线平行及其应用
典例1．（2025·辽宁·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或-1
【答案】A
【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】因为直线与直线互相平行，
所以有且，
解得，
故选：A
典例2．（2025·宁夏中卫·模拟预测）若直线：与直线：平行，则（ ）
A．4B．1C．1或-4D．-1或4
【答案】D
【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可.
【详解】依题意得，，
得，
解得或，
若时，直线与直线平行，符合题意；
若时，直线与直线平行，符合题意；
综上所述：或．
故选：D
跟踪训练1．（2025·上海·模拟预测）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系.
【详解】若，则直线，直线，此时平行，
若平行，则即，
当时，平行，
当时，直线，直线，此时也平行，
故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，
故选：A.
跟踪训练2．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“直线与直线互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解.
【详解】若直线与互相平行，
则，解得或，
当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意；
故选：C.
跟踪训练3．（2025·山东·模拟预测）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解.
【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为，
因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，
解得，所以直线的方程是.
故选：C
考点二 两条直线垂直及其应用
典例1．（2025·山西·模拟预测）已知直线与，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，得到，求解即可判断.
【详解】由，则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
典例2．（2025高三·湖南长沙）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
跟踪训练1．（2025高三·福建龙岩·期中）已知直线，，且，则 .
【答案】
【分析】由直线垂直的判定即可得答案.
【详解】由，则，即.
故答案为：
跟踪训练2．（2025高三·贵州）已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A．B．或0C．D．或0
【答案】B
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以 ，解得或.
故选：B
跟踪训练3．（2025·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则 .
【答案】
【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.
【详解】由题意得函数的导函数为，故在处切线的斜率为，
直线的斜率存在为，根据题意得，，解得.
故答案为:.
考点三 直线的交点及其应用
典例1．（2025·山东·模拟预测）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得.
【详解】由，解得，则所求方程的直线过点，
设所求直线方程为，于是，解得，
所以所求直线方程为.
故选：D
典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答.
【详解】解方程组，得直线与直线的交点，
依题意，，解得，
所以实数.
故选：A
跟踪训练1．（2025·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线上和底边在直线上三种情况，分别求解即可.
【详解】令直线的倾斜角分别为，则，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，或，
因为，且，解得，
所以，或；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，，则.
故选：D．
跟踪训练2．（2025·山东·模拟预测）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
【答案】
【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【详解】联立与可得，
故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，
故直线方程为，即，
故答案为：
考点四 点到直线间的距离公式的应用
典例1．（2025高三·湖北随州）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 .
【答案】或
【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出答案.
【详解】①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为．
②当的斜率存在时，
设，即，
由点到直线的距离公式得，，解得，
．
故所求的方程为或．
故答案为：或．
典例2．（2025·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（ ）
A．B．2C．D．不存在
【答案】D
【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线即，
令，解得，
即直线过定点，设为B，
当直线与l垂直时，点到直线的距离最大，
即为，
此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解，
即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值，
故选：D
跟踪训练1．【多选】（2025高三·江苏）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知得，
所以或，
所以直线的方程为或.
故选：AC.
跟踪训练2．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】B
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线在点处的切线与直线平行，
由，得，则或，
则动点到直线的距离的最小值为.
所以点到直线的距离的最小值为，
故选：B.
考点五 两条平行直线间的距离公式的应用
典例1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可.
【详解】直线即直线，与直线平行，则，
故所求即为平行直线与之间的距离，
即所求为.
故选：B.
典例2．（2025·上海奉贤·模拟预测）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】直线和直线互相平行，
故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离，
且两条直线间的距离：.
故答案为：
跟踪训练1．（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，所以，
所以直线：即，
所以这两条直线间的距离为.
故选：B.
跟踪训练2．（2025高三·全国）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
考点六 与距离有关的最值问题
典例1．（2025·重庆·模拟预测）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【详解】直线l：，
整理得，
由，可得，
故直线恒过点，
点到的距离，
故；
直线l：的斜率，
故，解得
故选：B.
典例2．（2025高三·天津·期中）椭圆上的点P到直线的最大距离是 ；距离最大时点P坐标为 .
【答案】
【分析】联立直线方程和椭圆方程，两者间距转化为两平行线的间距即可
【详解】设直线与椭圆相切．
由消去x整理得.
由得.
当时符合题意(舍去)
此时，，即切点为
即与椭圆相切,
椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:
故答案为：；
跟踪训练1．（25-26高三·江苏南京）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值.
【详解】直线，
由，得，则直线过定点，
直线，
由，得，则直线过定点，
因此直线之间的距离最大为，
此时，而直线斜率，
则，所以.
故选：C
跟踪训练2．【多选】（2025高三·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ）
A．的最小值为12B．的最小值为6
C．的最小值为D．的最大值为2
【答案】AC
【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案.
【详解】令是关于的对称点，则，
所以，即，为与的交点，
如下图，则，
当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12；
由图知（直线与直线的交点离点更近），即，
当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为.
故选：AC
考点七 直线的对称问题
典例1．（2025·北京通州·模拟预测）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据点在圆上可知直线经过圆心即可求解.
【详解】由于在圆上，圆心为，
要使关于直线的对称点在圆上，
则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合，
故选：D
典例2．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解；
【详解】设关于直线的对称点为，
由对称关系可得，
解得．
则点到直线：的距离为．
故选：C．
跟踪训练1．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案
【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为，
因为点在直线上，
所以，化简得，
所以所求直线方程为，
故选：B
跟踪训练2．（2025·上海静安·模拟预测）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
跟踪训练3．（2025·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】B
【分析】设直线为，联立抛物线可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目条件可计算出直线方程，再借助线段的中点在上计算即可得.
【详解】设直线为，代入抛物线得，
则，，∴，
直线为，线段的中点记为，
则，.
又中点在上，∴.

故选：B.
跟踪训练4．（2025·重庆·模拟预测）已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（ ）
A．B．2C．或2D．或
【答案】C
【分析】先求点关于轴的对称点，由反射光线性质知反射光线即为圆C的切线，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，由此即可求解.
【详解】点关于轴的对称点，由反射光线性质知，
反射光线即为过点作圆：的切线，
设切线的斜率为，则切线，
由得，解得或2.
故选：C
1．（2025高三·天津红桥）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据平行线的性质进行求解即可.
【详解】由题意，，解得，
此时，，满足题意.
故选：C.
2．（2025·四川南充·模拟预测）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线垂直，
则，解得，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2025高三·江苏扬州）已知直线与互相垂直，垂足为，则为（ ）
A．B．C．0D．4
【答案】B
【分析】利用两直线的垂直关系及点在线上计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：B
4．（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为 则四边形的面积为（ ）
A．24B．C．12D．6
【答案】C
【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案.
【详解】由点坐标，可得到，同理可得到；
，所以四边形为平行四边形；
由，，可得到直线方程为，
点到直线的距离，
又，
.
故选：C
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】设，
由题意可得：，
设的中点坐标为，则，
所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
圆心到的距离为：，
所以线段的中点到直线距离的最大值为，
故选：D
6．（2025·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令，则，
设该曲线在点处的切线为，
需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以，解得，则切点为，
故切线的方程为，即，
所以直线到直线的距离为，
即该曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：C
7．（2025·山西·模拟预测）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求导，由题意可得，可得，分类讨论可求得.
【详解】，，，
根据题意，则有，
当时，显然不成立，
所以，若，，不满足题意；
若，则恒成立，解得.
故选：B．
8．（2025高三·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值．
【详解】函数，求导得，
在处的切线斜率为，
又在处的切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
9．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为( )
A．B．C．5D．10
【答案】C
【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可.
【详解】由题可知，,直线，
所以,，
所以，
所以的面积为，
当且仅当时等号成立.
故选：C
1．（2025·湖南·模拟预测）已知点满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解.
【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离，
又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，则，
当且仅当时，等号成立，
故选：C.
2．（2025·河南新乡·模拟预测）已知圆和直线，则圆心到直线l的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】由C：，
即得圆心坐标为，
根据点线距离公式得，
故选：A．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值.
【详解】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部，
设，由，得，点在以
为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，，
所以.
故选：D
4．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【分析】首先根据导数的几何意义求切线的方程，再代入平行线的距离，即可求解.
【详解】设直线与曲线切于点，直线的斜率为4，
由导数的几何意义可知，，得，则，
所以直线，即，
所以直线与之间的距离为.
故选:A
1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

4．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
5．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年天津卷，12题，5分
直线与坐标轴的交点
圆的弦长与中点弦
已知圆的弦长求方程或参数
2024年甲卷理科，第12题，5分
直线过定点问题
圆的弦长与中点弦
等差中项的应用
2024年北京卷第3题，4分
求点到直线的距离
由圆的一般方程确定圆心和半径
2023年新课标I卷，第6题，5分
已知点到直线距离求参数
切线长
给值求值型问题
余弦定理解三角形
2023年新课标II卷，第15题，5分
求点到直线的距离
圆的弦长与中点弦
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
v1⊥v2
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1与v2不共线
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行