2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题16椭圆定义与性质及其综合问题(培优讲义)(学生版+解析)

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◇方法技巧 01 选填的常用方法
椭圆选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应用四大模块总结，核心思路是数形结合+代数运算，具体如下：
1、定义法
核心是活用椭圆的第一定义（），常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长最值。
2、待定系数法
求解椭圆标准方程的核心方法，分两步：
先判断焦点位置（轴或轴），设对应标准方程；
再结合已知条件（过定点、关系、离心率等）列方程，解出。
若焦点位置不确定，可设统一方程简化计算。
3、离心率求解法
离心率，关键是建立的齐次关系式：
（1）几何法：结合焦点三角形、椭圆顶点、直线与椭圆位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导；
（2）代数法：由已知条件转化为的方程，消去（利用）。
4、焦点三角形解法
结合定义+余弦定理+面积公式：
由定义得，由余弦定理得；
面积公式：，（为焦点三角形内切圆半径）
焦半径：，
5、椭圆参数方程：，其中为参数.
6、中点弦公式
（1）已知是椭圆上的两个点，为重点，则.
（2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称.
7、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于两点；
，若，则焦比公式：.
◇方法技巧 02 解答题的常用方法
直线与椭圆综合问题解法：
核心步骤是联立方程+韦达定理，适用于弦长、面积、定点定值、最值问题：
设直线方程（斜率存在设，斜率不存在设），与椭圆方程联立，消去或得一元二次方程；
利用判别式确定参数范围，由韦达定理得、；
（1）弦长和面积：弦长公式，或面积公式×底×高求解；
（2）向量问题：利用点的坐标表示向量，包括直径所对的圆周角为直角进行向量数量积为零；
（3）斜率问题：利用点的坐标表示斜率，包括三点共线时利用斜率的差为零，角度相等时，角度的其中一边平行于或时，将角度转化为倾斜角的关系，利用斜率的和，差，乘积为定值求解；
（4）图形问题：利用向量和斜率求解三角形的形状，包括：等腰，等边，直角，钝角三角形；平行四边形对角线互相平分，利用中点坐标进行求解；矩形，菱形，正方形在平行四边形上进行垂直和长度的求解即可.
（5）定点、定线问题：利用题目所给的翻译条件，构建等式，从而将直线中用表示即可证明定点坐标；利用直线的交轨法，消参的方法，进行定直线的证明.
◇题型 01 椭圆的定义和方程
典｜例｜精｜析
典例1．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
典例2．已知是椭圆的两个焦点，是该椭圆上的任意一点，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式2．已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 02 椭圆中的几何性质（光学性质）
典｜例｜精｜析
典例1．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．满足的点共有4个
D．的最大值为8
典例2．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为（ ）
A．5B．10C．6D．9
变式1．若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 03 椭圆的焦点三角形
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
典例2．（多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为B．以为直径的圆经过点
C．点的坐标为D．直线的斜率为
变式1．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．的面积为2D．的内切圆半径为
◇题型 04 椭圆的离心率
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知椭圆中分别为C的左，右焦点，点为椭圆图像上的一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 05 点差法（中点弦公式）
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
典例2．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式2．已知直线与椭圆在第四象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，若，则的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
变式3．不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
◇题型 06 定义法求轨迹方程（椭圆）
典｜例｜精｜析
典例1．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知动圆M与圆：内切，同时与圆：外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
典例3．已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式4．动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 07 利用定义求距离和、差的最值
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（ ）
A．9B．8
C．7D．6
典例2．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9
C．16D．25
变式2．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．9，12B．8，11
C．8，12D．10，12
◇题型 08 椭圆的离心率范围
典｜例｜精｜析
典例1．已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
◇题型09 椭圆中的面积问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程.
典例2．如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
变式1．已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点．
(1)求的方程；
(2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值．
变式2．“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆与椭圆相似，的短轴长为2，离心率为.
(1)求的标准方程.
(2)设为坐标原点，为上的动点，过点且斜率为的直线与相切，与交于，两点，射线交于点，试问：的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由.
变式3．椭圆的左焦点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程．
变式4．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值；
(3)过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值．
◇题型10 椭圆中的向量问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程.
典例2．已知椭圆的一个焦点，短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.证明：点在以为直径的圆外.
典例3．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在椭圆上，满足直线的斜率之积为，且面积的最大值为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，同时与直线交于点，假设，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
变式1．已知椭圆，点F为C的右焦点，点A为C上一个动点，若的最大值为3，的最小值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线，l与C相交于P，Q两点，若（其中O为坐标原点），求实数m的值．
变式2．已知椭圆C：的离心率为，C的左焦点到右顶点的距离为3．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与x轴交于点Q，与C交于A、B两点，且，求直线l的方程．
变式3．如图，点是直线上的动点，以为圆心的圆过点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于点.
(1)求的值；
(2)设点的轨迹为曲线，，直线交曲线于两点，且直线与直线交于两点，证明：点在以为直径的圆上.
变式4．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，长轴长为．
(1)求的方程；
(2)过焦点的直线交于，两点，过焦点的直线交于，两点，且轴，.
（i）求的值；
（ii）设线段的中点为为坐标原点，求的取值范围．
◇题型11 椭圆中的斜率问题
典｜例｜精｜析
典例1．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸．
步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点．
现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)已知圆，为圆上的任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为，，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
典例2．已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：.
变式1．已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．
变式2．设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为
(1)求出椭圆方程；
(2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线．
变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D．
（i）求面积的最大值；
（ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
变式4．设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点．
（ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程；
（ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列．
◇题型12 椭圆中的图形问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)判断上是否存在点，使得为等腰直角三角形，如果存在，求出点坐标.反之说明理由.
典例2．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形.
变式1．矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点．
(1)求的方程及离心率；
(2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形．
变式2．已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程．
◇题型13 椭圆中的定比分点
典｜例｜精｜析
典例1．已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，.
①证明：为定值；
②求面积的取值范围.
典例2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
变式1．已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
变式2．已知椭圆的左顶点为，上顶点为.
(1)求的离心率；
(2)已知过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：.
变式3．已知椭圆的短轴长2，离心率为分别是C的左、右顶点，F是C的右焦点.
(1)求C的方程;
(2)设P是椭圆C上异于顶点的动点，点B在直线上，且，直线PB与x轴交于点Q.证明：
◇题型14 椭圆中的定点、定线问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点．
典例2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上．
变式1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与交于，两点，求证：；
(3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
变式3．椭圆中，离心率是，右顶点到上顶点的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，经过点的直线与椭圆交于，过点作的平行线，与交于点．判断是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由．
一、单项选择题
1．（2025·广西河池·三模）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为1B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为D．过点的圆的切线斜率为
6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：
①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则
②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为；
则以下说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题
8．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题
9．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为坐标原点，点的轨迹与轴的交点分别为，当点与，均不重合时，点到点和到定直线距离的平方和为4，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹方程为
B．的最大值为
C．当点与P，Q均不重合时，直线MP，MQ的斜率之积为定值-2
D．是点的轨迹上的两点，，若斜率互为相反数，则的斜率为
10．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ）
A．的面积最大值为
B．的最小值为
C．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为
D．椭圆上存在点，使得
三、填空题
11．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆有如下几何性质：从椭圆一个焦点发出的声波，经过椭圆反射后，声波汇聚到椭圆的另一个焦点上.若椭圆的左、右焦点分别为，，从发出一声响，分别经过，在处先后听到两次不同的响声，则的离心率为_________，若的长轴长为4，，，点在上且，则到轴的距离为________________.
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为_______________.
四、解答题
13．（2025·四川攀枝花·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点.
（i）证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（ii）求的取值范围.
目录
第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考
第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法
第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固
【题型01】椭圆的定义和方程
【题型02】椭圆中的几何性质（光学性质）
【题型03】椭圆中的焦点三角形
【题型04】椭圆的离心率
【题型05】点差法（中点弦公式）
【题型06】定义法求轨迹方程（椭圆）
【题型07】利用定义求距离和、差的最值
【题型08】椭圆的离心率范围
【题型09】椭圆中的面积问题
【题型10】椭圆中的向量问题
【题型11】椭圆中的斜率问题
【题型12】椭圆中的图形问题
【题型13】椭圆中的定比分点
【题型14】椭圆中的定点、定线问题
第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦
椭圆是高考数学解析几何核心考点，题型覆盖选择、填空、解答题，整体解析结合占20—28分。考向聚焦四大核心：一是定义应用，常结合焦点三角形求周长、轨迹方程或线段最值；二是标准方程求解，以待定系数法为主，需判断焦点位置；三是几何性质，离心率为必考重点，结合关系求解；四是综合应用，直线与椭圆联立是解答题核心，常与韦达定理、弦长、面积、定点定值等结合，难度中等偏上。复习需强化定义与性质基础，熟练运算技巧。
关键能力
椭圆解题的关键能力，一是定义活用能力，能快速用椭圆定义转化线段关系，破解焦点三角形、轨迹问题。二是代数运算能力，熟练联立直线与椭圆方程，结合韦达定理简化计算，攻克弦长、面积等综合题。三是性质迁移能力，掌握a,b,c,e的关系，精准求解离心率。四是数形结合能力，以形助数，快速定位最值、定点定值问题的突破口。
备考策略
椭圆备考需立足基础，先吃透定义、标准方程及a、b、c、e的核心关系，熟练定义法、待定系数法求轨迹方程。针对离心率、焦点三角形等高频考点，归纳解题模型，强化训练。
直线与椭圆综合题是难点，需熟练联立方程、活用韦达定理，掌握弦长、面积、定点定值的解题套路，提升代数运算与数形结合能力。定期刷高考真题，总结易错点，规避计算失误。
混淆椭圆第一定义的条件，忽略，误判轨迹。设方程时忽视焦点位置，漏设的统一形式。计算中混淆a,b,c关系，记错，离心率公式误用。
一是混淆的关系，记错，或把离心率与双曲线公式混淆；二是忽略离心率范围，计算后未验证取值合理性。三是几何性质应用时，误将椭圆顶点、焦点坐标写反，尤其焦点在y轴上的方程，易把位置弄混。四是光学性质理解偏差，不清楚 “从一焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点” 的本质，无法结合定义解决反射类轨迹问题。
公式混淆：记混面积公式，误用，或记错简洁公式的形式，漏掉或写错半角关系。
条件遗漏： 计算时忽略椭圆定义与余弦定理的结合，无法由角度推导出的值。
参数混用：将椭圆中与双曲线的混淆，代入数值时出错，导致面积计算结果偏差。
一是公式混淆，误将椭圆离心率记成双曲线离心率，忽略椭圆的范围，计算后未验证结果合理性。二是“a、b、c关系用错”，将椭圆中与双曲线的混淆，推导齐次式时出错。三是几何条件转化失误，比如焦点三角形、直线与椭圆相切等场景，无法正确提炼出a与c的比例关系。四是焦点位置判断失误，焦点在y轴时仍套用x轴椭圆的参数关系。
一是前提遗漏，忽略点差法的适用条件 —— 直线与椭圆有两个交点，未验证判别式Δ>0，导致所求参数范围失真。二是公式推导错误，将点代入椭圆方程相减时，误算移项步骤，记错中点与斜率k的核心关系式。三是焦点位置混淆，焦点在y轴上的椭圆，未调整公式形式，仍套用x轴椭圆的点差法结论，造成斜率计算错误。
（1）定义法：进行相关的数形结合的表示，并进行对应的消元，使得动点到两个定点的距离的和为定值；容易忽略未知变量的表示.
（2）相关点法：进行相关点的表示时，没有用已知点对未知点的表示，带入进行求解.
（3）直译法：进行点的坐标表示时，注意未知变量的取值范围.
（1）没有先判断点在椭圆内和椭圆外，因此使得距离和、差求解错误；距离和、距离差上，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，转化为三点共线.
椭圆离心率的核心范围是0n（焦点在x轴）和m