2026年高考数学一轮复专题02空间向量与立体几何(题型清单)训练(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复专题02空间向量与立体几何(题型清单)训练(学生版+解析)，共22页。

题型1 空间向量的线性运算
1．（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（ ）
A．B．1C．2D．3
5．（2025高二·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．

题型2 共线、共面向量定理的应用
6．（25-26高三上·河北·开学考试）已知空间向量与共线，则（ ）
A．-1B．C．D．1
7．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．8
8．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ）
A．
B．、、三点共线
C．与是异面直线
D．
10．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
11．（24-25高二下·浙江·阶段练习）三个非零向量则“共面”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．（22-23高二上·广东清远·期中）在下列条件中，使与一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知点，则下列各点与点不共面的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
15．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（ ）
A．1B．C．D．
16．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
17．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．D．9
题型3 空间向量基本定理及其应用
18．（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ）
A．B．C．D．
19．（23-24高二上·山西运城·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）.
A．，，B．，，
C．，，D．，，
20．（2025高三下·全国·专题练习）已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）

A．B．
C．D．
25．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（ ）
A．B．
C．D．
26．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
27．（24-25高三上·重庆·期末）如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ）

A．B．
C．D．
28．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（ ）
A．B．2C．D．1
题型4 空间向量数量积及其应用
29．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
30．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
31．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（ ）
A．1B．C．2D．
32．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则
A．B．C．D．
33．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·西藏日喀则·一模）已知向量，若与垂直，则（ ）.
A．B．C．D．
35．（24-25高二上·重庆·阶段练习）正四面体ABCD的棱长为1，点为CD的中点，点为AM的中点，则BO的长为（ ）
A．B．C．D．
36．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（ ）
A．B．
C．D．
37．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）．

A．B．C．D．
38．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（ ）

A．B．C．D．
39．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
40．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，则（ ）
A．B．C．D．
41．（23-24高二上·广东·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
42．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
43．（23-24高二上·湖南·阶段练习）在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 .
题型5 利用空间向量证明线线平行
44．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点，，分别在棱，，上，，，．
(1)证明：，，，四点共面；
(2)点在棱上，当平面与平面的夹角的余弦值为时，求．
45．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体.
(1)证明：四点共面；
(2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
46．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，点在棱上，，点在棱上，为的中点，.

(1)求证：四点共面.
(2)求直线与平面的所成角的正弦值.
题型6 利用空间向量证明线面平行
47．（2025高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
48．（2025高三·北京·专题练习）如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知，，，，．
(1)设点是的中点，证明：平面；
(2)求与平面所成的角的正弦值；
49．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，的中点为，．
(1)证明：平面；
(2)在平面内，动点在以为圆心，为半径的劣弧上（不含端点），若直线与平面所成的角为，证明：三点共线．
50．（2025·海南海口·模拟预测）如图，已知四棱锥，底面ABCD为梯形，，，，且平面平面ABCD，已知，．
(1)证明：平面PBC；
(2)若，，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．
题型7 利用空间向量证明面面平行
51．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
52．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
题型8 利用空间向量证明线线垂直
53．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为4，点满足，．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
54．（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.

(1)求证：；
(2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值.
55．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）在三棱柱中，四边形与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且.
(1)求证：；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求BF的长.
56．（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且．
(1)当时，求证：；
(2)当的长最小时，求二面角的余弦值
题型9 利用空间向量证明线面垂直
57．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
58．（2024·河北·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
59．（2025·河北·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)点，分别在线段，上，且，当平面与平面的夹角为时，求的长.
题型10 利用空间向量证明面面垂直
60．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在空间几何体中，四边形均为直角梯形．如图，设，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
61．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的多面体中，已知正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小．
62．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型11 利用空间向量求两异面直线所成角
63．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ）
A．B．C．D．
64．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
65．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
66．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：
(1)的长；
(2)直线和所成角的余弦值.
67．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
68．（21-22高二上·重庆云阳·期中）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．或4B．C．D．
69．（24-25高二上·福建福州·期中）三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型12 利用空间向量求直线与平面所成角
70．（25-26高三上·福建福州·开学考试）在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
71．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
72．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
73．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.

(1)求棱的长；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
74．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，.

(1)设平面平面，证明：；
(2)已知在同一个球面上，且球心在平面上.
（i）证明：平面平面；
（ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长.
题型13 利用空间向量求平面与平面所成角（二面角）
75．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
76．（2025高三·全国·专题练习）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
77．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）如图，在直三棱柱中，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
78．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，在正四棱柱中，分别为的中点.
(1)证明：点在平面内.
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
79．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在六面体中，四边形是正方形，平面平面平面.
(1)证明：；
(2)求平面和平面夹角的正弦值.
80．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面，平面平面，．
(1)证明：；
(2)设，，若二面角的平面角为，求.
81．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角的余弦值为，求.
82．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
题型14 利用空间向量求点线距离
83．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
84．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
85．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到直线的距离.
86．（2025·天津滨海新·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD．
(1)证明：平面CDE；
(2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；
(3)求点G到直线AB的距离．
题型15 利用空间向量求点面距、线面距、面面距
87．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．5D．10
88．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且
(1)求证∶ 面;
(2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求点D到平面EBF的距离．
89．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面.
(1)证明：三棱柱为正三棱柱；
(2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离.
90．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题：
(1)求异面直线与的距离；
(2)求到平面的距离；
(3)求到平面的距离；
(4)求平面与平面的距离.
题型16 利用空间向量求异面直线的距离
91．（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（ ）
A．B．C．D．
92．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（ ）
A．B．C．1D．
题型17 利用空间向量解决探索性问题
93．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．

(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
94．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
95．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上．
(1)证明：平面MPQ；
(2)若，证明：平面BDN；
(3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由．
题型18 立体几何中的翻折问题
96．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
97．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.

(1)求证：平面；
(2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
题型19 利用空间向量解决最值范围问题
98．（2025·山东滨州·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为等腰三角形，且，点为线段上一点．
(1)若平面，求的值；
(2)当为何值时，直线与平面所成角最大，并求最大角的值．
99．（25-26高三上·云南保山·开学考试）在平行六面体中，，，，．
(1)证明：；
(2)当平行六面体的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值．
100．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，分别是棱的中点，且．
(1)若，证明：平面；
(2)当平面与平面夹角的余弦值最大时，求的值．
空间向量线性运算中的三个关键点
应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))
eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up6(→))
用基向量表示指定向量的方法
（1）结合已知向量和所求向量观察图形．
（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
空间向量数量积的应用
证明两条直线的方向向量共线．
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明存在实数λ1，λ2，使直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可．
注意：证明线面平行，最后必须加上线不在面内的条件．
(1)证明两个平面的法向量为共线向量；
(2)转化为线面平行、线线平行问题．
证明两条直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
利用空间向量求线面角的解题步骤
1.利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤
2.利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角．
点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2)．
利用向量法求点到平面的距离的步骤
设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
三步解决平面图形翻折问题
立体几何中的最值与范围问题，一般是考查空间角、空间距离和几何体的体积、表面积的范围和最值问题，一般和动态问题相结合．