2026年高考数学一轮复专题01立体几何初步(题型清单)训练(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复专题01立体几何初步(题型清单)训练(学生版+解析)，共22页。

题型1 空间几何体的结构特征
1．（24-25高三下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
2．（2025高三·全国·专题练习）以为六条棱长的四面体个数为 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）若沿各边中点连线翻折后恰为三棱锥，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定
题型2 直观图
4．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．四边形的面积为D．四边形的周长为
5．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是 .
6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（ ）
A．2B．C．1D．
题型3 几何体表面距离最短问题
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）在长方体中，，且点满足，点分别在直线和平面上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·重庆·模拟预测）已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为 ．
10．（2025·浙江温州·三模）已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于 ；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为 ．
题型4 空间几何体的表面积
11．（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为，面积为．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
题型5 空间几何体的体积
15．（2025·北京西城·模拟预测）有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（ ）
A．B．C．D．
17．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知高为的圆锥的底面半径是圆柱底面半径的两倍，圆柱的高为圆锥高的两倍，且圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
19．（2025·四川成都·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面面积分别为4和16，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．56D．
题型6 几何体的外接球
20．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．B．C．D．
21．（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A．B．C．D．
22．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5πB．10πC．28πD．56π
23．（2025·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（ ）
A．B．C．D．
24．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型7 几何体的内切球
25．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A．B．C．D．
26．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．16
27．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型8 与球有关的截面问题
28．（2025·江西上饶·二模）如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积公式是．已知正方体棱长为1，则该正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积为 ．

29．（2025·云南·一模）已知球的半径为，圆的半径为，且圆是球的一个截面，若圆的面积与球的表面积之比为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体的各顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则平面截球所得的截面面积为 ．
题型9 点共线、点（线）共面、线共点问题
31．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
32．【多选】（24-25高三下·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则（ ）
A．四点，，，在同一平面内
B．三条直线，，有公共点
C．直线与直线相交
D．直线上存在点使，，三点共线
33．【多选】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．四点，，，在同一平面内
B．三条直线，，有公共点
C．直线与直线不是异面直线
D．直线上存在点使，，三点共线
题型10 空间两直线位置关系的判定
34．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）．

A．和；B．和；C．和；D．和．
36．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）在正方体中，点满足，则（ ）
A．与一定是异面直线
B．与一定是异面直线
C．
D．平面
题型11 异面直线所成的角
37．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
38．（2025·云南红河·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
39．（2025·广西南宁·二模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，与分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，则直线与直线所成的角为（ ）
A．B．C．D．
40．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
题型12 空间几何体的交线与截面问题
41．（2025·广东湛江·二模）已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ）
A．B．C．D．
42．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ）

A．B．C．D．
43．（2025·全国·模拟预测）正方体的棱长为4，点M在棱上，平面ACM把正方体分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM截正方体所得的截面周长为（ ）
A．B．C．D．15
44．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，分别是棱的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是五边形
C．三棱锥的体积为4
D．三棱锥的外接球表面积为
题型13 与线、面平行相关命题的判定
45．（2025·四川成都·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
46．（2025·安徽合肥·模拟预测）设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
47．（2025·北京·三模）已知平面，直线，则下面结论正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；·
C．若，则；
D．若，则；
题型14 直线与平面平行的证明
48．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
49．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．

(1)证明：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值．
50．（2025·山西晋城·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，点是线段上的一个动点，、分别是、的中点.

(1)求证：平面；
(2)若四棱柱的体积为，求三棱锥的体积的值.
51．（2025·山东青岛·三模）如图，已知底面是正三角形，平面，平面，．
(1)若，是中点，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
题型15 直线与平面平行的性质
52．（2025·北京大兴·三模）如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点．
(1)求证：；
(2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值．
53．（2025·湖南长沙·三模）在直三棱柱中，，，，，，
(1)若平面，求的值；
(2)若二面角与二面角的大小相等，求的值．
54．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，为上一点．
(1)若，，且平面，求的值；
(2)若点不与和重合，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的大小．
题型16 平面与平面平行的证明
55．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点.
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若，
（i）求点F到平面AEG的距离.
（ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
56．（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H分别是正方形各边中点，将分别沿折起，使得所在平面与底面均垂直（如图2），连接．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正切值．
57．（2025·四川德阳·三模）如图，四边形是矩形，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与棱交于点，求平面与平面所成角的正弦值.
题型17 平面与平面平行的性质
58．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，.
(1)求证：平面；
(2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
59．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为，是线段上一点，且平面.
(1)求的值；
(2)求平面与底面所成的二面角的正切值.
60．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，．
(1)设分别为的中点，为的重心，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
61．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，已知分别为棱，，，的中点．求证：

(1)平面平面；
(2)平面平面．
题型18 平行关系的综合应用
62．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足.
(1)若，求证：平面；
(2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围.
63．（24-25高三下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)设平面平面，求证：平面．
题型19 与线、面垂直相关命题的判定
64．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，，B．，，
C．，D．，
65．（2025·重庆·二模）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
66．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知直线、与平面、、，则能使的充分不必要条件是（ ）
A．，B．，，
C．，，D．，，
题型20 证明线线垂直
67．（2025·广东·模拟预测）如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点.
(1)证明：；
(2)若，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，求直线与平面所成角的正弦值.
68．（2025·全国·模拟预测）如图所示，平面四边形中，，，，，，点满足．将沿翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
69．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在五棱锥中，，，，，．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
70．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，，.
(1)求证：；
(2)若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
题型21 证明线面垂直
71．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．
(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点（不含端点），能否与平面平行？说明理由；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
72．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在菱形中，，，分别为的中点，，，将沿翻折，使到处，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
73．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在四棱锥中，为矩形，且，，.

(1)求证：平面；
(2)若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.求平面SNC与平面ABN所成夹角的正弦值.
74．（23-24高三下·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且，，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，．
(1)求证：面．
(2)若直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角P-AB-D的余弦值．
题型22 证明面面垂直
75．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
76．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值．
77．（2025·海南三亚·一模）在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值.
78．（2025·河北邢台·三模）如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
题型23 面面垂直的性质定理
79．（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.

(1)求证：；
(2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值.
80．（2025·全国·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面.且是以为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
81．（2025·河北·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，且，点E是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)点F满足，求平面与平面夹角的余弦值．
题型24 垂直关系的综合应用
82．（24-25高三下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.
(1)证明：；
(2)证明：平面平面；
(3)求点到平面的距离.
83．（24-25高三下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
题型25 平行、垂直关系的综合应用
84．（24-25高三下·山东威海·期末）如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)若，二面角的大小为，求．
85．（24-25高三下·广东江门·期末）如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
86．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
87．（24-25高三下·辽宁锦州·期末）如图，直三棱柱中，，若G，F分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设M是中点，求直线与平面所成角的正弦值．
88．（24-25高三下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱上一点，且．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值．
题型26 空间几何体中的探索性问题
89．（2025·四川南充·三模）如图，在等腰梯形中，，，E是的中点，，将沿着翻折成.

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
90．（2025高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点．
(1)求证：平面平面．
(2)已知，，，点是线段上的动点．
（ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
91．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：；
(2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围．
题型27 求直线与平面所成的角
92．（24-25高三下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．
93．（24-25高三下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，．
(1)设分别为的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
94．（24-25高三下·福建漳州·期末）如图，在三棱台中，平面ABC，，．
(1)求三棱台的体积；
(2)证明：平面平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
题型28 求二面角
95．（24-25高三下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求二面角的余弦值．
96．（24-25高三下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的余弦值．
97．（24-25高三下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)若是正三角形，，求二面角的余弦值.
题型29 求空间距离
98．（24-25高三下·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值；
(3)求点到面的距离.
99．（24-25高三下·辽宁丹东·期末）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的正弦值.
100．（24-25高三下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面BCE；
(3)求点B到平面ACE的距离.
解决与空间几何体结构特征有关的问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意正确利用轴截面中各元素的关系．
(3)因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置，注意“三变”与“三不变”．
(2)平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系是S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
解决空间几何体表面距离最短问题,需通过展开，把问题转化为平面两点间线段最短问题．多面体表面展开图可以有不同的形状，要观察并想象立体图形与表面展开图的关系．
空间几何体的侧面积和表面积
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
求空间几何体的体积的常用方法
公式法
规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求解
等体
积法
通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)
①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．②可以补成长方体的一些特殊三棱锥如下,上面讲到的“共斜边的直角三角形所成的三棱锥”也可算作其中一种，据此可确定球心.
图形特征
三棱锥的三条侧棱两两互相垂直
三棱锥的四个面均是直角三角形
三棱锥的对棱两两相等
图示
③确定多面体的外接球球心的方法:寻找几何体中一个面的外接圆圆心O1（正三角形的外心为中心，直角三角形的外心为斜边的中点，一般三角形可用正弦定理确定外心），过点O1作该平面的垂线，则球心在垂线上，球的半径可用勾股定理求得,如图所示.
求几何体内切球的方法主要有两种.①等体积法：内切球的球心到多面体各个面的距离均相等，故可用等体积法，由V=13Sr，得r=3VS（V为多面体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径）.②轴截面法：适用于对称几何体，作出轴截面，利用相似三角形以及勾股定理求解.
巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤
(1)确定球心O和截面圆的圆心O′．
(2)探求球的半径R和截面圆的半径r．
(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
空间中两直线位置关系的判定方法
异面直线所成角的求法
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
1.空间几何体的截面作图的常用方法
(1)平行线法．用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行．
(2)延长线法．用延长线法解决截面问题的关键是：截面上至少有两个点在一个几何体的一个表面上，那么这两点的连线一定在截面内．
2.作交线的两种方法
(1)利用基本事实3作交线．
(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
(1) 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；
(2) 结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
1．线面平行的性质定理是证明两条直线平行的常用方法．
2．在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
3．线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：若结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；若条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a且与α相交的平面．
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．
面面平行条件的应用
（1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；
（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.
三种平行关系的转化
提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
判定线面垂直的四种方法
法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题；
法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。
面面垂直性质的应用
(1)在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．首先在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
易错点：性质定理运用时要注意“线在面内”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面(不能直接作为证明依据)．
三种垂直关系的转化
线线垂直 eq \(⥫======⥬,\s\up7(判定定理))线面垂直 eq \(⥫======⥬,\s\up7(判定定理),\s\d10(性质定理))面面垂直
垂直与平行的综合应用问题，一般要进行线线、线面、面面间关系的转化．线面平行与垂直关系的相互转化路线图：
提醒：要清楚每个转化路线所依据的定理或结论．
1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型
①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.
②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么.
2、对命题条件探索的三种方法：
①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.
③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.
对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.
求斜线与平面所成角的步骤
1．定义法求线面所成角
(1)一作：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能便于计算．
(2)二证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)三求：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
2．距离法求线面所成的角(一般在不好作线面角的时候使用)
(1)求斜线上一点到面的距离；
(2)求斜线段长；
(3)求线与平面所成角的正弦值．
综合法求二面角的方法
1．定义法：步骤是“一作、二证、三求”．
(1)一作：作出二面角的平面角．
(2)二证：证明所作的平面角满足定义，即为所求二面角的平面角．
(3)三求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小．
注：作二面角的平面角的方法．
①定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，两垂线的夹角即为二面角的平面角．
②垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一条交线，两条交线所成的角即为二面角的平面角．
③三垂线法：过一个半平面内的一点A作另一个半平面的一条垂线，过垂足B作棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB或其补角即为二面角的平面角．
射影面积法：若二面角一个面上的几何图形的面积为S，其在另一个面上的投影的面积为S′，则二面角α的余弦值满足csα＝eq \f(S′,S)(客观题)．
综合法求空间距离的策略
1．求距离的方法：
(1)定义：
①一找：找出点到平面的距离；②二证：证明线面垂直；③三求：利用三角形求解．
(2)体积法：转换顶点，等体积变形．
(3)平面分线段比与线段对应端点到平面的距离比相等．
2．点面距离、线面距离、面面距离都转化为点面距离．