专题04 不等式 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）学案

专题四《不等式》讲义

知识梳理.不等式

1．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a；

(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　

(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac>bc; ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　

(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方性：a>b>0⇒(n∈N，n≥2)．

2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表

3.均值定理

如果，那么，当且仅当时，等号成立

【均值不等式的常见变形】

（1）

（2）

（3）

（4）

题型一.不等式的性质

1．下列命题中，正确的是（　　）

A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 

C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d

2．设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．3与的大小关系是（　　）

A．3 B．3 C．3 D．不确定

5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（　　）

A．ca＞cb B．ac＜bc 

C．logca＞logbc D．bac＜abc

6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（　　）

A． B．ln（x﹣y）＞lny 

C． D．x﹣y＜ex﹣ey

题型二. 一元二次不等式

1．集合，则A∩B为（　　）

A． B． C． D．

2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3} B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4} 

C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3} D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}

3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有（　　）

A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2） 

C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）

4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）

5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）

6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x∈[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为　　．

题型三. 基本不等式

考点1.和定积最大、积定和最小

1．已知a＞0，b＞0，且满足1，则ab的最大值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

2．已知x＞0，则y＝x1的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

3．已知0＜x＜2，则y＝x的最大值为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

考点2.凑定值

1．已知，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（　　）

A． B． C． D．

2．已知x，求函数y＝4x﹣1的最大值．

考点3. 1的代换

1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　）

A．4 B．8 C．16 D．32

2．若正数a，b满足2a+b＝1，则的最小值是　　．

3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则的最小值为　　．

考点4. x、y、xy型

1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为　　．

2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为　　．

3．设x，y∈R，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是　　．

4．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc＝12，则a+b+c的最小值是　　．

考点5. 型函数的最值

1．设a+b＝2，b＞0，则当a＝　　时，取得最小值．

2．若正数a，b满足1，则的最小值为　　．

3．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则的最小值为　　．

4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，的最小值为　　．

题型四.不等式恒成立问题

1．若关于x的不等式ax2﹣2ax+1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1

2．已知关于x的不等式ax2﹣2x+4a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）

3．设a∈R，若x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，则a＝　　．

4．若a，b∈R，且a＞0，b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　）

A．a2+b2＞2ab B．a+b≥2 C． D．2

5．设正实数x，y满足，不等式恒成立，则m的最大值为　　．

6．设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a，若∃x0∈R，使得f（x0）＜0和g（x0）＜0同时成立，则a的取值范围为（　　）

A．（7，+∞） B．（6，+∞）∪（﹣∞，﹣2） 

C．（﹣∞，﹣2） D．（7，+∞）∪（﹣∞，﹣2）