2026年高考数学一轮专题训练：双曲线 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：双曲线 [含答案]，共12页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知双曲线E，设双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．（2025春•桂平市期中）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C上一点，且|PF2|＝3|PF1|，cs∠PF1F2=16，则C的离心率为（ ）
A．43B．2C．32D．54
2．（2025•河西区二模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线分别交双曲线的左、右两支于M，N两点，满足NF2→=2NP→，且MP→⋅(MF2→−MN→)=0，∠F1NF2=π3，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±6xB．y=±7xC．y=±22xD．y＝±3x
3．（2025•聊城二模）双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ（λ＞0），直线x﹣2y+3＝0与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则λ的值为（ ）
A．4B．8C．12D．24
4．（2025•广东模拟）从双曲线x2−y23=1上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，已知|MA|+|MB|＝2，则|AB|＝（ ）
A．72B．74C．132D．134
5．（2025•桂林模拟）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若2F2A→=AB→，OA⊥AB，则E的离心率为（ ）
A．2B．3C．5D．102
6．（2025•茂名二模）设O为坐标原点，F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，圆O：x2+y2＝a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，若∠FMO=π6，则C的离心率为（ ）
A．233B．213C．303D．333
7．（2025•包头二模）直线l与双曲线x24−y2=1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M（4，1），则直线l的方程为（ ）
A．y＝x﹣3B．y＝﹣x﹣3C．y＝x+5D．y＝﹣x+5
8．（2025•贵州三模）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若SO=3OB，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3B．63C．233D．263
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•大祥区校级期中）已知双曲线C：x22−y2b2=1(b＞0)的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为双曲线C右支上的动点，则（ ）
A．若F2到渐近线的距离为1，则c=3
B．当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在定直线x=2上
C．若∠F1PF2＝90°，则点P的纵坐标为±2b2c
D．过点P作双曲线的切线交渐近线于A，B两点，若S△OAB=3，则曲线的渐近线方程为y=±32x
（多选）10．（2025春•安康期中）设双曲线C：x2a2−y22=1(a＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．A，B为C上关于原点中心对称的两点，则（ ）
A．C的实轴长为22
B．||AF1|−|BF1||=22
C．若S△ABF2=4，则直线AB的斜率为63
D．若|F1A||F2A|=13，则BF2⊥F1F2
（多选）11．（2025春•南京校级期中）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1的左焦点为F，直线l过点F，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点A，B，C，D（从左到右）．下列说法正确的是（ ）
A．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为2
B．若∠OBA＝90°，且B为线段CF的中点，则E的离心率为3
C．若∠OBA＝90°，且B为线段DF的中点，则E的离心率为5
D．若E的离心率为2，则存在无数条直线l，使|AB|≠|CD|
（多选）12．（2024秋•迎江区校级期末）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，过点F2且斜率为−ba的直线l交C于点P，交C的一条渐近线于点Q，则（ ）
A．若以F1F2为直径的圆经过点Q，则双曲线的离心率为2
B．若以F1F2为直径的圆经过点P，则双曲线的离心率为22
C．若QF2→=2QP→，则C的渐近线方程为y＝±x
D．若点P不在圆Ω：(x−c)2+y2=a24外，则C的渐近线的斜率不大于1
三．填空题（共4小题）
13．（2025•揭阳模拟）记双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，若直线3x﹣y＝0与C有公共点，则离心率e的取值范围为 （请用区间表示）．
14．（2025春•湖北期中）已知双曲线C：x2a2−y2=1(a＞0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线上第一象限内的动点，设∠PAB＝α，∠PBA＝β，当a=2时，tanαtanβ＝ ；当S△PAB⋅tan(α+β)=−53时，则a＝ ．
15．（2025春•宣威市校级期中）已知双曲线C：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C上的点P在x轴上方，若∠PF2F1的平分线交PF1于点A，且点A在以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆上，则直线PF2的斜率为 ．
16．（2025•安康模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，F是双曲线C的左焦点，P为双曲线C的左支上任意一点（异于点A1），若∠PFA2＝2∠PA2F，则双曲线C的离心率为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025•湖北模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，33)在C上，且AF2⊥F1F2．
（1）求C的标准方程；
（2）过F2的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段F1N交于点R，若△F1RM的面积等于△ARN的面积，求|MN|．
18．（2025•绵阳模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（2，0），且点F到双曲线C的渐近线的距离为1．过点P（3，0）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交双曲线C于A，B两点，l2交双曲线C于D，E两点，M，N分别是AB，DE的中点，直线MN过定点P1（x1，y1）；再过点P1（x1，y1）作两条互相垂直的直线l3和l4，l3交双曲线C于A1，B1两点，l4交双曲线C于D1，E1两点，M1，N1分别是A1B1，D1E1的中点，直线M1N1过定点P2（x2，y2）以这样的方式构造下去，可以得到一列定点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P1的坐标；
（3）若Q（1，0），R（1，1），记△QRPn（n≥1，n∈N*）的面积为Sn，证明：1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn＜2．
19．（2025•淮北模拟）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1（a，b＞0）经过点P(−4，3)，A，B为其左，右顶点，且PA与PB的斜率之积为14．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）点M为实轴上一点，直线PM交E于另一点Q，记△APM的面积为S1，△BMQ的面积为S2，若S1﹣S2=3，求Q点坐标．
20．（2025•广州模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为3．
（1）求C的方程；
（2）设点P在C的右支上，过点P作圆O：x2+y2=32的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N（异于点P）．
（i）证明：OM⊥OP；
（ii）当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
高考数学一轮复习 双曲线
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•桂平市期中）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C上一点，且|PF2|＝3|PF1|，cs∠PF1F2=16，则C的离心率为（ ）
A．43B．2C．32D．54
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据双曲线的定义和|PF2|＝3|PF1|，解得|PF1|＝a，|PF2|＝3a，在△PF1F2中，利用余弦定理可得离心率．
解：由已知，|PF2|＝3|PF1|，|PF2|﹣|PF1|＝3|PF1|﹣|PF1|＝2|PF1|＝2a，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝3a，
则在△PF1F2中，cs∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2−|PF2|22|PF1||F1F2|=a2+4c2−9a22a⋅2c=16，
整理得6c2﹣ac﹣12a2＝0，即6e2﹣e﹣12＝0，解得e=32（负根舍去）．
故选：C．
【点评】本题主要考查求双曲线的离心率，属于中档题．
2．（2025•河西区二模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线分别交双曲线的左、右两支于M，N两点，满足NF2→=2NP→，且MP→⋅(MF2→−MN→)=0，∠F1NF2=π3，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±6xB．y=±7xC．y=±22xD．y＝±3x
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的渐近线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用垂直关系的向量表示可得MP⊥NF2，且△MNF2为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算可得c2＝7a2，即可求解．
解：如下图：
由MP→⋅(MF2→−MN→)=0，可得MP→⋅NF2→=0，即MP⊥NF2，
又NF2→=2NP→，可得P为NF2的中点，
故|MN|＝|MF2|，
又∠F1NF2＝60°，
故△MNF2为等边三角形，
设△MNF2的边长为m，
由双曲线定义可知|NF1|﹣|NF2|＝2a，|MF2﹣MF1|＝2a，
所以|NF1|＝m+2a，
|MF1|＝m﹣2a，
又|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝m．
故m+2a﹣（m﹣2a）＝m，
故m＝4a，
在△NF1F2中，
由余弦定理可得|F1F2|2=|NF1|2+|NF2|2−2|NF1||NF2|cs60°，
即(2c)2=36a2+16a2−2×6a⋅4a⋅12，
可得c2＝7a2，即a2+b2＝7a2，
即b2＝6a2，
所以ba=±6，
所以双曲线C的渐近线方程为y=±6x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
3．（2025•聊城二模）双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ（λ＞0），直线x﹣2y+3＝0与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则λ的值为（ ）
A．4B．8C．12D．24
【考点】由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数；双曲线的渐近线．
【专题】计算题；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】D
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与双曲线E的方程，得y1+y2=4，y1y2=9−λ3，再求出E，F点坐标，根据AE→=12EB→即可得解．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线l与双曲线E的方程，
得x−2y+3=0x2−y2=λ，消去x，得3y2﹣12y+9﹣λ＝0，则Δ＝144﹣12（9﹣λ）＞0，且y1+y2=4，y1y2=9−λ3，
双曲线C的渐近线方程为y＝±x，联立直线l与双曲线E的渐近线方程，得x−2y+3=0y=x，
得x=3y=3，即F（3，3），同理E（﹣1，1），因为E，F是线段AB的三等分点，
所以AE→=12EB→，即(−1−x1，1−y1)=12(x2+1，y2−1)，则1−y1=12(y2−1)，
所以y1＝﹣1，y2＝5，则y1y2=9−λ3=−5，所以λ ＝24．
故选：D．
【点评】本题考查由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数，属于中档题．
4．（2025•广东模拟）从双曲线x2−y23=1上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，已知|MA|+|MB|＝2，则|AB|＝（ ）
A．72B．74C．132D．134
【考点】双曲线的弦及弦长．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由双曲线的性质，结合余弦定理求解即可．
解：从双曲线x2−y23=1上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，
则双曲线的两条渐近线方程为y=±3x，
不妨设M（x0，y0），且M在第一象限，
则|MA|=|3x0−y0|2，|MB|=|3x0+y0|2，
又|MA|+|MB|＝2，
则|3x0−y0|+|3x0+y0|=4，
又(3x0−y0)(3x0+y0)=3，
则x0=233y0=1，
则|MA|=12，|MB|=32，
又在四边形AMBO中可得：∠AMB=π−2π3=π3，
在△AMB中，结合余弦定理可得：|AB|2=(12)2+(32)2−2×12×32×12=74，
则|AB|=72．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了余弦定理，属中档题．
5．（2025•桂林模拟）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若2F2A→=AB→，OA⊥AB，则E的离心率为（ ）
A．2B．3C．5D．102
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；集合思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】B
【分析】根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点A坐标，利用向量的坐标运算得到点B坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率．
解：
由双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，可知渐近线方程为y=±bax，
因为2F2A→=AB→，OA⊥AB，所以OA⊥AF2在RtΔOAF2中，|OF2|＝c，tan∠AOF=ba，∴|AF2|＝b，|AO|＝a，
可得A(a2c，abc)．∵2F2A→=AB→F1A→=AB→，
即（xA﹣c，yA）＝（xB﹣xA，yB﹣yA），则xB=3xA−2c=3a2−2c2c，
yB=3yA=3abc，又因为点B在渐近线y=−bax上，所以3abc=−ba×3a2−2c2c，解得c2＝3a2，可得e=ca=3．
故选：B．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题．
6．（2025•茂名二模）设O为坐标原点，F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，圆O：x2+y2＝a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，若∠FMO=π6，则C的离心率为（ ）
A．233B．213C．303D．333
【考点】双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】B
【分析】求出双曲线的渐近线方程，在△MFO中，运用正弦定理，结合同角的基本关系式、两角差的正弦公式，化简可得a，b的关系式，进而得到所求离心率．
解：双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±bax，
圆O：x2+y2＝a2与C的渐近线y=bax在第一象限的交点为M，
设直线OM的倾斜角为α，即有∠MFO＝α−π6，
且tanα=ba，csα=ac，sinα=bc，
在△MFO中，由正弦定理可得|MO|sin∠MFO=|OF|sin∠FMO，
即为asin(α−π6)=csinπ6，即为a=3csinα﹣ccsα=3b﹣a，
可得ba=23，
则双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+43=213．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及三角形的正弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
7．（2025•包头二模）直线l与双曲线x24−y2=1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M（4，1），则直线l的方程为（ ）
A．y＝x﹣3B．y＝﹣x﹣3C．y＝x+5D．y＝﹣x+5
【考点】双曲线的中点弦．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由点差法求出直线l的斜率，再由点斜式方程求解即可．
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为线段PQ的中点为M（4，1），
所以x1+x2＝8，y1+y2＝2，
所以x124−y12=1x224−y22=1，
两式相减可得：x124−x224=y12−y22，
即(x1+x2)(x1−x2)4=(y1+y2)(y1−y2)，
所以y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=14，
即y1−y2x1−x2=1，
所以直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为：y﹣1＝x﹣4，
化简为：y＝x﹣3，经检验符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查点差法的应用，属于中档题．
8．（2025•贵州三模）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若SO=3OB，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3B．63C．233D．263
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解；空间想象．
【正确答案】C
【分析】设OB＝2m（m＞0），该曲线与圆锥的底面圆交于点H、P，取OB的中点Q，过S作SN∥AB，交直线MQ于点N，过点N作y轴∥HP，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0，x＜0)，得到a及P点坐标，即可求出b，从而求出离心率．
解：如图，
设OB＝2m（m＞0），该曲线与圆锥的底面圆交于点H、P，因为SO=3OB=23m，
所以SB＝SA＝AB＝4m，即△SAB为等边三角形，
又M为SB的中点，取OB的中点Q，过S作SN∥AB，交直线MQ于点N，过点N作y轴∥HP，
以直线QN为x轴，N为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0，x＜0)，
所以a=MN=3m，又HP⊥OB，所以PQ=OP2−OQ2=4m2−m2=3m，
则点P(−23m，3m)，所以(−23m)23m2−3m2b2=1，解得b＝m（负值舍去），
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+m23m2=233．
故选：C．
【点评】本题主要考查求双曲线的离心率，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•大祥区校级期中）已知双曲线C：x22−y2b2=1(b＞0)的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为双曲线C右支上的动点，则（ ）
A．若F2到渐近线的距离为1，则c=3
B．当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在定直线x=2上
C．若∠F1PF2＝90°，则点P的纵坐标为±2b2c
D．过点P作双曲线的切线交渐近线于A，B两点，若S△OAB=3，则曲线的渐近线方程为y=±32x
【考点】双曲线的其他性质；双曲线的焦点三角形；求双曲线的渐近线方程．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】由题干知，a=2，根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b可判断A；根据内切圆的性质以及双曲线的定义可判断B；根据点P在双曲线上以及互相垂直的直线斜率之积为﹣1可判断C；写出双曲线过点P的切线方程，与两渐近线联立，可得A、B坐标，进而表示出S△AOB，可求出b，得到渐近线方程，判断D．
解：由已知，a=2，
对于A，若F2到渐近线的距离为1，由双曲线的性质知，b＝1，所以c=a2+b2=3，故A正确；
对于B，如图，
设内切圆与PF1切于点M，与PF2切于点N，与F1F2切于点Q，
则由内切圆的性质，知PM＝PN，F1M＝F1Q，F2N＝F2Q，
由双曲线的定义，PF1﹣PF2＝2a，即F1M﹣F2N＝2a，即F1Q﹣F2Q＝2a，
因为F1Q+F2Q＝2c，所以F1Q＝a+c，F2Q＝c﹣a，则Q（a，0），
即△PF1F2的内切圆的圆心总在定直线x=2上，故B正确；
对于C，设P（x，y），若∠F1PF2＝90°，则kPF1⋅kPF2=−1，
即yx+c⋅yx−c=−1，得y2＝c2﹣x2，
因为点P在双曲线上，所以x2=a2(1+y2b2)，
则y2＝c2−a2(1+y2b2)，整理得y2=b4c2，所以y＝±b2c，故C错误；
对于D，设P（m，n），则双曲线过点P的切线方程为mx2−nyb2=1①，
双曲线的两条渐近线方程分别为y=b2x②，y=−b2x③，
联立①②，得点A（2bbm−2n，2b2bm−2n），
联立①③，得点B（2bbm+2n，−2b2bm+2n），
双曲线过点P的切线与x轴交于点（2m，0），
所以S△AOB=12×2|m|×|2b2bm−2n−−2b2bm+2n|=1|m|×|22b3mb2m2−2n2|=22b3|b2m2−2n2|，
因为P（m，n）在双曲线上，所以b2m2﹣2n2＝2b2，所以S△AOB=2b=3，b=32，
所以双曲线的渐近线方程为y=±32x，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查双曲线的性质、双曲线与直线的综合，属于中档题．
（多选）10．（2025春•安康期中）设双曲线C：x2a2−y22=1(a＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．A，B为C上关于原点中心对称的两点，则（ ）
A．C的实轴长为22
B．||AF1|−|BF1||=22
C．若S△ABF2=4，则直线AB的斜率为63
D．若|F1A||F2A|=13，则BF2⊥F1F2
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的焦点弦及焦半径；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】由题意，结合a，b，c之间的关系即可判断选项A；利用对称性得出|AF1|＝|BF2|，再结合双曲线的定义即可判断选项B；利用S△ABF2=2S△BOF2即可求出点B坐标，再计算直线OB的斜率即可判断选项C；根据|F1A||F2A|=13并结合双曲线的定义可得|F1A|，|F2A|，再利用勾股定理即可判断选项D．
解：设c为双曲线C的半焦距，
此时c=|F1F2|2=2，
因为a2＝c2﹣2＝2，
所以a=2，
则C的实轴长2a=22，故选项A正确；
因为A，B关于原点中心对称，F1，F2关于原点中心对称，
所以四边形AF1BF2为平行四边形，
所以|AF1|＝|BF2|，
则||AF1|﹣|BF1||＝||BF2|﹣|BF1||＝2a=22，故选项B正确；
因为S△ABF2=2S△BOF2=2⋅12|F2O|⋅|yB|=4，
解得|yB|＝2，
所以|xB|=22+2=6，
所以直线AB斜率即直线OB斜率，
因为kOB=±|yB||xB|=±63，
所以直线AB的斜率为±63，故选项C错误；
因为|F1A||F2A|=13，|AF2|−|AF1|=22，
所以|AF2|=32，|AF1|=2，
则|AF1|2+|F1F2|2=2+16=18=|AF2|2，
所以AF1⊥F1F2，
因为AF1∥BF2，
所以BF2⊥F1F2，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2025春•南京校级期中）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1的左焦点为F，直线l过点F，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点A，B，C，D（从左到右）．下列说法正确的是（ ）
A．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为2
B．若∠OBA＝90°，且B为线段CF的中点，则E的离心率为3
C．若∠OBA＝90°，且B为线段DF的中点，则E的离心率为5
D．若E的离心率为2，则存在无数条直线l，使|AB|≠|CD|
【考点】双曲线的离心率；由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】对于A，由题意可得ba=1，从而可求出离心率，对于B，由题意不妨设直线l的方程为y=ab(x+c)，与渐近线方程联立可求出点B，从而可求出点C的坐标，代入另一条渐近线方程化简可求出离心率，对于C，由选项B可知点B的坐标，从而可求出点D的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率，对于D，分别设A，B，C，D的横坐标为x1，x2，x3，x4，由离心率可得双曲线方程，设直线l为y＝k（x+c），分别与双曲线方程和渐近线方程联立，结合根与系数的关系进行分析判断．
解：对于A，由题意得ba=1，所以离心率e=1+b2a2=2，故A正确；
对于B，如图，
因为∠OBA＝90°，由对称性不妨设l的斜率为正，则直线l的方程为y=ab(x+c)，
由y=−baxy=ab(x+c)，得x=−a2cy=abc，即B(−a2c，abc)，
因为B为线段CF的中点，所以C(c2−2a2c，2abc)，
因为点C在渐近线y=bax上，所以2abc=ba⋅c2−2a2c，化简得c2＝4a2，
所以c＝2a，所以离心率e=ca=2，所以B错误；
对于C，由选项B可知B(−a2c，abc)，因为B为线段DF的中点，所以D(c2−2a2c，2abc)，
因为点D在双曲线x2a2−y2b2=1上，所以(c2−2a2c)2a2−(2abc)2b2=1，
化简得c4﹣5a2c2＝0，所以c2＝5a2，得c=5a，
所以离心率为e=ca=5，所以C正确；
对于D，分别设A，B，C，D的横坐标为x1，x2，x3，x4，
因为E的离心率为2，所以c2＝4a2，所以b2＝3a2，
所以双曲线的方程为3x2﹣y2＝3a2，
由题意可知直线l的斜率存在，则设直线l为y＝k（x+c），
由y=k(x+c)3x2−y2=0，得（3﹣k2）x2﹣2k2cx﹣k2c2＝0，
所以x2+x3=2k2c3−k2，
由y=k(x+c)3x2−y2=3a2，得（3﹣k2）x2﹣2k2cx﹣k2c2﹣3a2＝0，
所以x1+x4=2k2c3−k2，
所以x1+x4=x2+x3=2k2c3−k2，所以AD，BC有相同的中点，
所以|AB|＝|CD|，即对所有的直线l都有|AB|＝|CD|，所以D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
（多选）12．（2024秋•迎江区校级期末）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，过点F2且斜率为−ba的直线l交C于点P，交C的一条渐近线于点Q，则（ ）
A．若以F1F2为直径的圆经过点Q，则双曲线的离心率为2
B．若以F1F2为直径的圆经过点P，则双曲线的离心率为22
C．若QF2→=2QP→，则C的渐近线方程为y＝±x
D．若点P不在圆Ω：(x−c)2+y2=a24外，则C的渐近线的斜率不大于1
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】由题意写出直线l的方程，与渐近线方程联立求出点Q的坐标，对于A，由圆的性质得QF1⊥QF2，结合向量数量积坐标运算求得a，c间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出|PF1|，|PF2|，结合双曲线定义求得ba的值，由此可求离心率，对于C，由QF2→=2QP→知P为线段QF2的中点，求出点P的坐标，代入双曲线方程求得c2a2的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出|PF2|，由条件建立不等式可求c2a2的取值范围，再求ba的取值范围．
解：如图，连接QF1，PF1，
由题意知直线l的方程为y=−ba(x−c)，即bx+ay﹣bc＝0，
因为l与双曲线C的渐近线y=−bax平行，
所以tan∠QOF2=tan∠QF2O=ba，
则cs∠QF2O=ac，sin∠QF2O=bc，
联立方程y=baxbx+ay−bc=0，解得Q(c2，bc2a)，
对于A，因为以F1F2为直径的圆经过点Q，则QF1⊥QF2，
因为F1Q→=(3c2，bc2a)，F2Q→=(−c2，bc2a)，
所以F1Q→⋅F2Q→=−3c24+b2c24a2=−3c24+(c2−a2)c24a2=0，
解得c＝2a，所以C的离心率为2，所以A正确；
对于B，因为以F1F2为直径的圆经过点P，
所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|＝|F1F2|sin∠QF2O＝2b，|PF2|＝|F1F2|cs∠QF2O＝2a，
又|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，所以ba=2，
所以C的离心率e=ca=1+(ba)2=5，所以B错误；
对于C，若QF2→=2QP→，则P为线段QF2的中点，所以P(3c4，bc4a)，
又P在双曲线C上，所以(3c4)2a2−(bc4a)2b2=1，
所以9c216a2−c216a2=1，
解得c2a2=2，所以ba=(ca)2−1=1，
所以C的渐近线方程为y＝±x，所以C正确；
对于D，因为|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF1|＝|PF2|+2a，
所以cs∠QF2O=|F1F2|2+|PF2|2−|PF1|22|F1F2|⋅|PF2|，
所以4c2+|PF2|2−(2a+|PF2|)24c⋅|PF2|=ac，
解得|PF2|=b22a，因为点P不在圆Ω：(x−c)2+y2=a24外，
所以|PF2|≤a2，即b22a≤a2，解得0＜ba≤1，
所以C的渐近线的斜率不大于1，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025•揭阳模拟）记双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，若直线3x﹣y＝0与C有公共点，则离心率e的取值范围为 （10，+∞） （请用区间表示）．
【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模；运算求解．
【正确答案】（10，+∞）．
【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再由双曲线与直线3x﹣y＝0有交点，得渐近线的正的斜率ba＞3，最后由离心率e=ca=1+(ba)2，可得e的范围．
解：双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±bax，
由双曲线C与直线3x﹣y＝0有交点，得ba＞3，
所以离心率e=ca=1+(ba)2＞10，
故双曲线C的离心率e的取值范围为（10，+∞）．
故（10，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，属于中档题．
14．（2025春•湖北期中）已知双曲线C：x2a2−y2=1(a＞0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线上第一象限内的动点，设∠PAB＝α，∠PBA＝β，当a=2时，tanαtanβ＝ −12 ；当S△PAB⋅tan(α+β)=−53时，则a＝ 5 ．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】−12；5．
【分析】利用点在双曲线上得到等量关系，利用斜率公式得到定值求解第一空；利用正弦定理，面积公式，和角正切公式，结合第一问结论化简计算得出第二空．
解：（1）当a=2时，双曲线C的方程为x22−y2＝1，
因为点P是双曲线上第一象限内的动点，
设P（x0，y0），
因为∠PAB＝α，∠PBA＝β，
又双曲线C的左，右顶点分别为A，B，
所以kAP=tanα=y0x0+2，kAP=tan(π−β)=−tanβ=y0x0−2，
则tanαtanβ=y0x0+2⋅(−y0x0−2)=−y02x02−2=−12；
（2）在△PAB中，由正弦定理得APsinβ=BPsinα=ABsin(α+β)，
所以AP=ABsinβsin(α+β)，BP=ABsinαsin(α+β)，
此时S△PAB=12⋅AP⋅BP⋅sin(α+β)=12⋅ABsinβsin(α+β)⋅ABsinαsin(α+β)⋅sin(α+β)=2a2sinαsinβsin(α+β)，
若S△PAB⋅tan(α+β)=−53，
此时S△PAB⋅tan(α+β)=2a2sinαsinβsin(α+β)⋅tan(α+β)=2a2sinαsinβcs(α+β)
=2a2sinαsinβcsαcsβ−sinαsinβ=2a2tanαtanβ1−tanαtanβ，
由（1）知tanα⋅tanβ=−b2a2=−1a2，
所以2a2tanαtanβ1−tanαtanβ=2a2(−1a2)1+1a2=−2a2a2+1=−53，
解得a=5．
故−12；5．
【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
15．（2025春•宣威市校级期中）已知双曲线C：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C上的点P在x轴上方，若∠PF2F1的平分线交PF1于点A，且点A在以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆上，则直线PF2的斜率为 37 ．
【考点】双曲线的几何特征；双曲线的定义．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】37．
【分析】根据题意可得∠F1AF2＝90°，且△PF1F2为等腰三角形，再结合双曲线的定义与几何性质求得|F1F2|＝4，|PF1|＝6，然后利用余弦定理与三角函数的知识，求解即可．
解：由双曲线C：x2−y23=1知，a＝1，b=3，c＝2，
所以|F1F2|＝2c＝4，
因为点A在以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆上，
所以|OA|＝|OF1|＝|OF2|=12|F1F2|，
所以∠F1AF2＝90°，
又∠PF2F1的平分线交PF1于点A，所以△PF1F2为等腰三角形，且|PF2|＝|F1F2|＝4，
由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2+4＝6，
在△PF1F2中，由余弦定理知，cs∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2−|PF1|22|PF2|⋅|F1F2|=42+42−622×4×4=−18，
设直线PF2的倾斜角为α，则∠PF2F1+α＝180°，
所以csα＝﹣cs∠PF2F1=18，
所以tanα=37，即直线PF2的斜率为37．
故37．
【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（2025•安康模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，F是双曲线C的左焦点，P为双曲线C的左支上任意一点（异于点A1），若∠PFA2＝2∠PA2F，则双曲线C的离心率为 2 ．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】2．
【分析】由题意得tan∠PFA2=y0x0+c，tan∠PA2F=−y0x0−a，根据正切二倍角公式得tan2∠PA2F=−2y0(x0−a)−b2a2(x0+a)，由tan∠PFA2＝tan2∠PA2F，化简可得−2x0−2c=(1−b2a2)x0−(a+b2a)，再根据e=ca=1+(b2a2)，c2=a2+b2代入化简计算即可求解．
解：设P（x0，y0），x0＜﹣a，y0≠0，由题意可知F（﹣c，0），A2（a，0），
则tan∠PFA2=y0x0+c，tan∠PA2F=−y0x0−a，
所以tan2∠PA2F=2tan∠PA2F1−(tan∠PA2F)2=−2y0x0−a1−(y0x0−a)2=−2y0(x0−a)(x0−a)2−y02，
因为P在双曲线上，所以y02=b2(x02a2−1)=b2a2(x02−a2)=b2a2(x0−a)(x0+a)，
所以tan2∠PA2F=−2y0(x0−a)(x0−a)2−b2a2(x0−a)(x0+a)=−2y0(x0−a)−b2a2(x0+a)，
因为∠PFA2＝2∠PA2F，所以tan∠PFA2＝tan2∠PA2F，
所以 y0x0+c=−2y0(x0−a)−b2a2(x0+a)，即−2x0−2c=(x0−a)−b2a2(x0+a)，
化简可得−2x0−2c=(1−b2a2)x0−(a+b2a)，
因为e=ca=1+(b2a2)，c2=a2+b2，
所以−2x0−2c=(2−e2)x0−ec，所以e＝2．
故2．
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了转化思想，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025•湖北模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，33)在C上，且AF2⊥F1F2．
（1）求C的标准方程；
（2）过F2的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段F1N交于点R，若△F1RM的面积等于△ARN的面积，求|MN|．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）x23−y2=1；
（2）98345．
【分析】（1）根据条件得到c＝2，再利用点A(2，33)在双曲线上和a，b，c间的关系，建立方程组4a2−13b2=1a2+b2=4，求出a2，b2，即可求解；
（2）设直线方程为x＝my+2（m＞0），联立双曲线方程得到（m2﹣3）y2+4my+1＝0，根据条件得到点F1（﹣2，0）和点A(2，33)到直线x＝my+2的距离相等，从而可求出m=43，再利用弦长公式，即可求解．
解：（1）因为AF2⊥F1F2，
所以F2（2，0），
即c＝2，
因为点A(2，33)在双曲线上，
所以4a2−13b2=1a2+b2=4，
解得a2=3b2=1，
则双曲线C：x23−y2=1；
（2）易知直线斜率不为0，
设过F2（2，0）的直线为x＝my+2（m＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立x=my+2x23−y2=1，消x并整理得（m2﹣3）y2+4my+1＝0，
此时Δ＝（4m）2﹣4×（m2﹣3）＝12（m2+1）＞0，且m≠3
由韦达定理得y1+y2=−4mm2−3，y1y2=1m2−3，
因为S△F1RM=S△ARN，
所以S△F1NM=S△ANM，
即点F1（﹣2，0）和点A(2，33)到直线x＝my+2的距离相等，
所以d=|−4|1+m2=|−33m|1+m2，
解得m=43，
则|MN|=1+m2|y1−y2|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=23(m2+1)|m2−3|=98345．
故|MN|=98345．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18．（2025•绵阳模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（2，0），且点F到双曲线C的渐近线的距离为1．过点P（3，0）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交双曲线C于A，B两点，l2交双曲线C于D，E两点，M，N分别是AB，DE的中点，直线MN过定点P1（x1，y1）；再过点P1（x1，y1）作两条互相垂直的直线l3和l4，l3交双曲线C于A1，B1两点，l4交双曲线C于D1，E1两点，M1，N1分别是A1B1，D1E1的中点，直线M1N1过定点P2（x2，y2）以这样的方式构造下去，可以得到一列定点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P1的坐标；
（3）若Q（1，0），R（1，1），记△QRPn（n≥1，n∈N*）的面积为Sn，证明：1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn＜2．
【考点】直线与双曲线的综合；平面直角坐标系与曲线方程．
【专题】应用题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】（1）x23−y2=1；
（2）(92，0)；
（3）证明见解析．
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出b的值，结合c的值可得出a的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析直线MN经过的定点P1（x1，y1）也在x轴上，设点P1（n，0），设直线AB的方程为x＝ty+3，设点A（x'1，y'1）B（x'2，y'2），将直线AB的方程与双曲线联立，列出韦达定理，求出点M、N的坐标，由此可得出点P的坐标；
（3）分析可知，点Pn(n∈N∗)均在x轴上，考虑一般情况，假设点P（m，0），设点P1（s，0），设直线AB的方程为 x＝ty+m，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点M的坐标，同理得出点N的坐标，利用P1、M、N三点共线，结合斜率公式可得出s=32m，由此可归纳得出Pn的坐标，由此可得出Sn的表达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立．
解：（1）双曲线的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay＝0，则点F到渐近线的距离为bcb2+a2=b=1，
又因为c＝2，所以a=c2−b2=3，因此，双曲线C的方程为x23−y2=1．
（2）当l1⊥x轴，l2必然与x轴重合，由曲线的对称性知AB的中点M在x轴上，DE的中点N也在x轴，
故MN经过的定点P1（x1，y1）也在x轴上，设点P1（n，0），设直线AB的方程为x＝ty+3，
设点A（x'1，y'1）、B（x'2，y'2），联立x=ty+3x2−3y2=3，得（t2﹣3）y2+6ty+6＝0，
所以，t2﹣3≠0，3t2﹣1≠0，Δ＝36t2﹣24（t2﹣3）＝12（t2+6）＞0，
由韦达定理可得y′1+y′2=−6tt2−3，x'1+x'2＝t(y1+y2)+6=−18t2−3，
故线段AB的中点M(−9t2−3，−3tt2−3)，同理可知，直线DE的方程为x=−1ty+3，
DE的中点为N(−9(−1t)2−3，−3×(−1t)(−1t)2−1)，即点N(−9t21−3t2，3t1−3t2)，
当t≠±1时，由P1、M、N三点共线可得kP1M=kMN，得3tt2−3n+9t2−3=3t1−3t2+3tt2−3−9t21−3t2+9t2−3，
解得n=92，因此，P1(92，0)，当t＝±1时，xN=xM=92，此时MN过P1(92，0)，故P1(92，0)；
（3）证明：由（2）可知，当P（3，0）时，定点P1(92，0)，同理可知，P2（x2，y2）也一定在x轴上，
考虑一般情况，假设点P（m，0），设点P1（s，0），
设直线AB的方程为x＝ty+m，设点A（x'1，y'1）、B（x'2，y'2），联立x=ty+m3x2−y2=3，
得（t2﹣3）y2+2tmy+m2﹣3＝0，所以，t2﹣3≠0，3t2﹣1≠0，Δ＝4t2m2﹣4（t2﹣3）（m2﹣3）＝12（t2+m2﹣3）＞0，
由韦达定理可得y′1+y′2=−2tmt2−3，x′1+x′2=t(y′1+y′2)+2m=−2t2mt2−3+2m=−6mt2−3，
故线段AB的中点为M(−3mt2−3，−tmt2−3)，同理，直线DE的方程为x=−1ty+m，
线段DE的中点为N(−3m(−1t)2−3，−(−1t)m(−1t)2−3)；即点N(−3t2m1−3t2，tm1−3t2)，
当t≠±1时，由P1、M、N三点共线可知，kP1M=kMN，即tmt2−3n+3mt2−3=mt1−3t2+tmt2−3−3mt21−3t2+3mt2−3，
整理可得s=3m2，即当点P（m，0）时，P1(3m2，0)，当t＝±1时，xN=xM=3m2，
此时MN过P1(3m2，0)，综上，P1(3m2，0)，故当点P（3，0）时，
P1(3×32，0)、P2(3×(32)2，0)，Pn(3×(32)n，0)，
由题意可知，△QRPn的面积为Sn=12×1×[3⋅(32)n−1]=(32)n+1−12，
所以1Sn=1(32)n+1−12=132⋅(32)n−12=1(32)n+12⋅(32)n−12＜1(32)n=(23)n．
所以1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn＜23+(23)2+(23)3+⋯+(23)n
=23[1−(23)n]1−23=2[1−(23)n]＜2．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于难题．
19．（2025•淮北模拟）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1（a，b＞0）经过点P(−4，3)，A，B为其左，右顶点，且PA与PB的斜率之积为14．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）点M为实轴上一点，直线PM交E于另一点Q，记△APM的面积为S1，△BMQ的面积为S2，若S1﹣S2=3，求Q点坐标．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】（Ⅰ）x24−y2=1．
（Ⅱ）(6，−22)．
【分析】（Ⅰ）根据PA与PB的斜率之积为14求出a2的值，再将点P的坐标代入双曲线中即可求解b2，从而可得双曲线E的方程；
（Ⅱ）设直线PM：x＝ty+m，与双曲线E的方程联立，可得3y0=m2−4t2−4，将点P的坐标代入直线PM中可得t与m的关系，进而y0可得用m表示，结合S1﹣S2=3，可得关于m的方程，求解即可．
解：（Ⅰ）由kPA⋅kPB=14，得3−4+a⋅3−4−a=316−a2=14，
解得a2＝4，
又16a2−3b2=1，解得b2＝1，
于是E的方程为：x24−y2=1．
（Ⅱ）设Q（x0，y0），M（m，0），显然﹣2＜m＜2；
设直线PM：x＝ty+m，与x2﹣4y2﹣4＝0联立，消去x得（t2﹣4）y2+2tmy+m2﹣4＝0，
则3y0=m2−4t2−4，
又P(−4，3)在直线PM：x＝ty+m上，得3t=−4−m，代入上式得y0=3(m2−4)m2+8m+4，
于是S1−S2=12⋅3⋅(m+2)−12⋅|y0|(2−m)=3，
即m+2+(m2−4)(2−m)m2−2m+4=2，
整理得5m2+4m﹣4＝0，
解得m=26−25，进而y0=−22，x0=6，
即所求Q点坐标为(6，−22)．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（2025•广州模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为3．
（1）求C的方程；
（2）设点P在C的右支上，过点P作圆O：x2+y2=32的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N（异于点P）．
（i）证明：OM⊥OP；
（ii）当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【正确答案】（1）x2−y23=1．
（2）（i）证明见解答．
（ii）直线PM的方程为y=±62，直线PN的方程为x=62．
【分析】（1）结合右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为3求解即可．
（2）（i）设切线PM的方程为y＝kx+m，联立双曲线方程结合韦达定理求解即可．
（ii）证明出△PMN的面积S＝2S△POM，再设切线PM与圆O的切点为D，结合（i）得出|PM|，进而求解．
解：（1）由于双曲线C的右焦点为F（2，0），所以a2+b2＝4，
双曲线C的渐近线方程为y=±bax，即为bx±ay＝0，
由于点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为3，则|2b|b2+a2=3，
解得a2=1，b2=3．
所以C的方程为x2−y23=1．
（2）（i）证明：显然圆O的切线PM的斜率存在，设切线PM的方程为y＝kx+m，
由于切线PM不平行C的渐近线，则k≠±3．
由圆心O到切线PM的距离d=|m|k2+1=32，得2m2＝3（k2+1），
由y=kx+m，x2−y23=1，消去y得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
由题意知Δ＞0．设P（x1，y1），M（x2，y2），
则x1+x2=2km3−k2，x1x2=−m2+33−k2，
而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=−k2(m2+3)3−k2+2k2m23−k2+m2
=3m2−3k23−k2．
则x1x2+y1y2=2m2−(3k2+3)3−k2=0，
则OP→⋅OM→=x1x2+y1y2＝0，
所以OM⊥OP，即OM⊥OP．
（ⅱ）由（i）同理可得ON⊥OP，
所以M，O，N三点共线．则△PMN的面积S＝2S△POM．
设切线PM与圆O的切点为D，则|OD|=62，
S=2S△POM=|OD||PM|=62|PM|．
由（i）得|PM|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+k2)[(2km3−k2)2+4(m2+3)3−k2]，
又2m2＝3（k2+1），
则|PM|=6(1+k2)(k2+9)(3−k2)2=6[1+16k2(3−k2)2]．
当k＝0时，|PM|min=6，Smin＝3，
此时，直线PM平行x轴，则M，P的纵坐标绝对值为圆O的半径．
得点P的坐标为(62，±62)，
所以直线PM的方程为y=±62，直线PN的方程为x=62．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于难题．