2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(学生版+解析)，共3页。

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\l "_Tc8001" 【题型1 直线与圆的位置关系的判断】 PAGEREF _Tc8001 \h 6
\l "_Tc6294" 【题型2 圆的弦长问题】 PAGEREF _Tc6294 \h 6
\l "_Tc30331" 【题型3 圆的切线方程、切线长问题】 PAGEREF _Tc30331 \h 7
\l "_Tc22607" 【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】 PAGEREF _Tc22607 \h 7
\l "_Tc29885" 【题型5 直线与圆位置关系中的最值问题】 PAGEREF _Tc29885 \h 8
\l "_Tc31848" 【题型6 直线与圆的实际应用】 PAGEREF _Tc31848 \h 8
\l "_Tc9846" 【题型7 圆与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc9846 \h 9
\l "_Tc7500" 【题型8 两圆的公共弦】 PAGEREF _Tc7500 \h 10
\l "_Tc28988" 【题型9 两圆的公切线】 PAGEREF _Tc28988 \h 10
1、直线与圆、圆与圆的位置关系
知识点1 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ0”是“直线x−ay+2a−1=0(a∈R)与圆x2+y2=1相交”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2025·辽宁·三模）已知直线l:y=x+m和圆O:x2+y2=2，则“m=2”是“直线l与圆O相切”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2025·江苏·二模）已知圆C：x2+y−22=103，将直线l1：3x−y=0绕原点按顺时针方向旋转30°后得到直线l2，则（ ）
A．直线l2过圆心CB．直线l2与圆C相交，但不过圆心
C．直线l2与圆C相切D．直线l2与圆C无公共点
【题型2 圆的弦长问题】
【例2】（2025·重庆·三模）直线 l:3x−2y+5=0 截圆 O:x2+y2=9 所得的弦长为（ ）
A．2B．4C．25D．5
【变式2-1】（2025·北京·三模）已知直线y=kx−3+1与圆x−12+y−22=25交于A、B两点，则AB的最小值为（ ）
A．5B．10C．25D．45
【变式2-2】（2025·吉林·模拟预测）已知圆O:x2+y2=1，过点A2,0的直线与圆O交于B、C两点，且AB=BC，则BC等于（ ）
A．22B．32C．322D．62
【变式2-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线kx−y−k+1=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．22D．23
【题型3 圆的切线方程、切线长问题】
【例3】（2025·江西萍乡·二模）过点P3, 1作圆C:x2+y2+2x+4y−4=0的切线，记其中一个切点为A，则PA=（ ）
A．16B．4C．21D．21
【变式3-1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点P(1,−1)且与圆C:x2+y2−4x+2=0相切的直线方程为（ ）
A．x+y=0B．x−y−2=0
C．x−y=0D．x−y+2=0
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式3-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆C的圆心为C(0,2)，且经过点(2,2)，过点P(−2,−1)作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+3y−2=0B．2x+3y+2=0
C．2x−3y−2=0D．2x−3y+2=0
【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】
【例4】（2025·广东茂名·二模）已知圆C:x2+y2=1，直线x+y−m=0m∈R，若圆C上有且仅有一点到直线l的距离为1，则m=（ ）
A．2B．22C．±2D．±22
【变式4-1】（2025·四川·三模）已知圆C:x2+y2−2x+4y−20=0上恰有两个点到直线l:x+y+m=0m>0的距离为2，则m的取值范围是（ ）
A．32,72B．32+1,72+1
C．22,72D．22+1,72+1
【变式4-2】（2025·山东青岛·三模）若圆x2+y2=4上总存在两个点到点(a,1)的距离为3，则实数a取值范围是 .
【变式4-3】（2025·甘肃·模拟预测）若圆C:x2+y2+2x+m=0上恰有三个不同的点到直线l:x+3y+2=0的距离为1，则m= .
【题型5 直线与圆位置关系中的最值问题】
【例5】（2025·河南信阳·模拟预测）P是圆x−a22+y−a2=1上的动点，Q是直线y=x+2上的动点，则PQ的最小值为（ ）
A．2−1B．2C．728−1D．728
【变式5-1】（2025·北京·三模）经过点(0,0)，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线x−y+2=0的距离最大值为（ ）
A．2B．2+2
C．2−2D．32
【变式5-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线l：2+tx−1+ty−12−8t=0，Q是圆O：x2+y2=4上的一动点，则点Q到直线l的距离d的取值范围为（ ）
A．0,42−2B．0,42+2C．0,42+2D．1,42−2
【变式5-3】（2025·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PD的最小值为−1；④PC⋅PD的最大值为32．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①④
【题型6 直线与圆的实际应用】
【例6】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据21≈4.6，5≈2.2）.
A．2.5米B．2.7米C．2.6米D．3.1米
【变式6-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东30km的A处出发，径直驶向位于海监船正北40km的B处岛屿，速度为28km/h．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1小时B．0.75小时C．0.5小时D．0.25小时
【变式6-2】（24-25高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ．
【变式6-3】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台A正西方向1003km处有一台风中心，它正向北偏东60∘方向移动，移动速度的大小为20km/h，距台风中心100km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时．
【题型7 圆与圆的位置关系】
【例7】（2025·安徽·一模）圆O:x2+y2=1与圆M:(x+1)2+(y−22)2=16的位置关系是（ ）
A．内切B．外离C．外切D．内含
【变式7-1】（2025·浙江温州·三模）已知圆x2+y2=1和圆x−32+y2=r2r>0有公共点，则r的取值范围为（ ）
A．2,+∞B．2,4C．3,4D．1,4
【变式7-2】（2025·山东临沂·一模）圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2−6x−8y+9=0的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【变式7-3】（2025·河南·模拟预测）圆x2+y2−2x−2y+1=0与圆x²+y²+4x+6y+9=0的位置关系是（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【题型8 两圆的公共弦】
【例8】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆x2+y2−4=0与x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦长为（ ）
A．22B．23C．14D．4
【变式8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2−2x−4y=0交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．52B．5C．15D．152
【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C1:x2+y2=4，圆C2:x2+y2−4x−4y+4=0，两圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A．x+y+2=0 B．x+y−2=0 C．x+y+1=0 D．x+y−1=0
【变式8-3】（2025·黑龙江·模拟预测）圆C1:x2+y2−2x=10与圆C2:x+22+y−42=16的公共弦长为（ ）
A．27B．7C．6D．26
【题型9 两圆的公切线】
【例9】（2025·山东·模拟预测）已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x+a)2+(y+2)2=9有三条公切线，则a=（ ）
A．21B．29C．±29D．±21
【变式9-1】（24-25高三下·山东·开学考试）圆C1:x2+y2+8x−2y+9=0和圆C2:x2+y2+6x−4y+11=0的公切线方程是（ ）
A．y=−x+1B．y=−x+1或y=x+5
C．y=−x+5D．y=x+1或y=2x+5
【变式9-2】（2025·全国·模拟预测）圆C1:x2+y2+4x+6y−23=0与圆C2:x−22+y−12=4的公切线长为 .
【变式9-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x−a2+y−12=16a>0有3条公切线，则实数a的取值是 .
一、单选题
1．（2025·北京海淀·三模）已知直线y=kx−2与圆C:x−12+y−12=1有公共点，则k的最小值是（ ）
A．23B．34C．43D．32
2．（2025·河南·模拟预测）已知不重合的圆C1,C2都过点−1,2，且均与两坐标轴相切，则圆C1,C2的公共弦长为（ ）
A．1B．2C．22D．32
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2−2ax=0a>0相切，则圆M和圆N:(x−1)2+(y−1)2=1的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线l:x−y+4=0与圆x2+y2=9交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则CD=（ ）
A．2B．2C．22D．4
5．（2025·四川成都·模拟预测）过点P(m,3)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=1的切线，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．26B．5C．26D．4+2
6．（2025·山东泰安·二模）已知直线l与圆(x−2)2+(y−3)2=1和圆(x+1)2+(y+1)2=36均相切，则l的方程为（ ）
A．x+2y−23=0B．x+2y+23=0
C．3x+4y−23=0D．3x+4y+23=0
7．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．(0,1)B．(1,3)C．(3,+∞)D．(0,+∞)
8．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆O:x2+y2=4与y轴负半轴的交点，直线l:y=kx+32与圆O交于A，B两点，则△ABM面积的最大值为（ ）
A．3B．143C．4D．134
二、多选题
9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，点P2,1在圆C上，则（ ）
A．y轴与圆C可能相切
B．直线x+y=0与圆C可能相交
C．x轴被圆C所截得的弦长的最大值是2
D．原点O与圆C上的点的距离的最大值为5+1
10．（2025·宁夏银川·二模）已知圆C:(x+2)2+y2=4，直线l:(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，则（ ）
A．直线l与圆C可能相切
B．当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C．直线l与直线2x−(m+1)y=0垂直
D．若圆C与圆x2+y2−2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=8
11．（2025·辽宁·三模）已知直线4x+3y−12=0与x轴、y轴交于A,B两点，点P为圆C:(x−3)2+(y−4)2=4上的动点，则（ ）
A．直线AB与圆C相离B．△ABC 的面积为12
C．当∠PBA最小时，|PB|=5D．点P到直线AB距离的最大值为325
三、填空题
12．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆x2+y2=1和圆x−32+y2=r2r>0有一个公共点，则r的值为 ．
13．（2025·上海·模拟预测）圆x2+y2−2x−4y+4=0上的点到直线3x+4y+4=0的距离最大值为 .
14．（2025·天津·高考真题）l1:x−y+6=0，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y−3)2=r2r>0交于C、D两点，|AB|=3|CD|，则r= ．
四、解答题
15．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x−y+2=0.
(1)求圆C的圆心及半径；
(2)求直线l被圆C截得的弦AB的长度.
16．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点P1,−3的圆C:x−42+y−22=9的两条切线l1,l2，切点为A,B，求：
(1)求切线l1,l2的方程；
(2)求切线段PA,PB的长度．
17．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，Q2,0，过点P2,4作直线l与圆O:x2+y2=4交于不同的两点M,N．
(1)若直线l的斜率为1，求MN；
(2)设直线QM，QN的斜率分别是k1，k2，探索k1+k2是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．
18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆C1:(x−1)2+(y+1)2=4，圆C2:(x−m)2+y2=m2(m>0)．
(1)若两圆内含，求实数m的取值范围．
(2)是否存在实数m，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线x+y−1=0上且过点A(2,2)的圆C1与直线3x−4y+5=0相切，其半径小于5．若圆C2与圆C1关于直线x−y=0对称．
(1)求圆C2的方程；
(2)求圆C1与圆C2公切线段的长度；
(3)过直线y=2x−6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系
(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
2023年新高考I卷：第6题，5分
2023年新高考Ⅱ卷：第15题，5分
2023年全国乙卷（理数）：第12题，5分
2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分
2025年全国一卷：第7题，5分
2025年天津卷：第12题，5分
直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长问题等，有时会与距离公式等内容结合考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
位置
相交
相切
相离
交点个数
两个
一个
零个
图形
d与r的关系
dr
方程组解的情况
有两组不
同的解
仅有一组解
无解
位置关系
关系式
图示
公切线条数
外离
d>r1+r2
四条
外切
d=r1+r2
三条
相交
|r1-r2|