2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.7抛物线(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.7抛物线(学生版+解析)，共3页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18903" 【题型1 抛物线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc18903 \h 3
\l "_Tc23988" 【题型2 抛物线的标准方程】 PAGEREF _Tc23988 \h 5
\l "_Tc13297" 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 PAGEREF _Tc13297 \h 7
\l "_Tc10028" 【题型4 抛物线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc10028 \h 8
\l "_Tc10577" 【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】 PAGEREF _Tc10577 \h 10
\l "_Tc5715" 【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 PAGEREF _Tc5715 \h 12
\l "_Tc8235" 【题型7 抛物线的焦半径公式】 PAGEREF _Tc8235 \h 15
\l "_Tc20091" 【题型8 抛物线的几何性质】 PAGEREF _Tc20091 \h 17
\l "_Tc25775" 【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 PAGEREF _Tc25775 \h 19
\l "_Tc28825" 【题型10 抛物线的实际应用】 PAGEREF _Tc28825 \h 22
1、抛物线
知识点1 抛物线的方程及其性质
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是00)，其准线方程为y=−p2.
已知点A到C的焦点的距离为4，由抛物线的定义可知，点A到准线的距离也为4.
又因为点A到x轴的距离为2，所以点A到准线的距离为点A到x轴的距离加上p2，即2+p2=4.
对2+p2=4进行求解，移项可得p2=4−2=2，解得p=4.
故选：C.
【变式1-1】（2025·吉林·三模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点Pm,4在抛物线C上，则PF=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解题思路】先根据点P在抛物线上求出m的值，再根据抛物线的定义求出|PF|的值.
【解答过程】已知点P(m,4)在抛物线C:y2=8x上，可得42=8m，解得m=2.
在抛物线C:y2=8x中，焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为x=−2.
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.
所以点P到准线的距离为2−(−2)=4，即|PF|=4.
故选：B.
【变式1-2】（2025·陕西安康·三模）已知抛物线x2=16y上的点M到焦点F的距离为6，则点M到y轴的距离为（ ）
A．22B．42C．2D．4
【答案】B
【解题思路】由抛物线的定义确定M坐标，即可求解.
【解答过程】由抛物线方程可得：抛物线的准线方程为：y=−4，
由抛物线的定义可得：点M到准线y=−4的距离为6，
所以M点纵坐标为2，代入抛物线方程可得：x2=32，
得：x=±42，
所以点M到y轴的距离为42，
故选：B.
【变式1-3】（2025·湖南长沙·一模）已知抛物线C:y=x24的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P 作l的垂线，垂足为M.若|MF|=|PF|，则|PF|=（ ）
A．2B．3C．4D．23
【答案】C
【解题思路】由抛物线定义及已知条件知△PMF为等边三角形，进而可求PF.
【解答过程】由抛物线的定义知|PF|=|PM|，又|MF|=|PF|，
所以△PMF为等边三角形， ∠FMN=30∘(N为准线与y轴的交点)，
抛物线y=x24的焦点F0,1，准线l:y=−1，p=2，
故∣MF∣=NFsin∠FMN=psin30∘=2p=4，
故PF=4.
故选：C.
【题型2 抛物线的标准方程】
【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线x+2y−6=0上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2=−12xB．x2=8y
C．x2=−12yD．x2=12y
【答案】D
【解题思路】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程．
【解答过程】直线x+2y−6=0与y轴的交点为0,3，
所以抛物线C的焦点为0,3，故p2=3，解得p=6，
所以抛物线C的标准方程为x2=12y．
故选：D．
【变式2-1】（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=8yB．x2=−8yC．x2=16yD．x2=−16y
【答案】D
【解题思路】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解.
【解答过程】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为x2=−2py(p>0).
因为抛物线的准线方程为y=4，所以p2=4，即p=8，所以该抛物线的标准方程为x2=−16y．
故选：D.
【变式2-2】（2025·山西·二模）若点(2,2)在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=x+2C．x2=2yD．x2=y+2
【答案】A
【解题思路】由抛物线的标准方程，代入(2,2)可得结果.
【解答过程】由题意可知，抛物线C的方程为y2=2px，
将(2,2)代入y2=2px，可得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x.
故选：A.
【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若BC=2BF,AE=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x2B．y2=9x
C．y2=9x2D．y2=3x
【答案】D
【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设BF=a，得到AC=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.
【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，
设BF=a，则BC=2BF=2a，
由抛物线的定义得 BD=BF=a，
在直角△BCD中，可得sin∠BCD=BDBC=12，所以∠BCD=30∘，
在直角△ACE中，因为AE=3，可得AC=3+3a，
由AC=2AE，所以3+3a=6，解得a=1，
因为BD//FG，所以1p=2a3a，解得p=32，所以抛物线方程为y2=3x.
故选：D.
.
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2025·北京朝阳·二模）若抛物线C:x2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,−1)，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．x=2B．x=1C．y=2D．y=1
【答案】D
【解题思路】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程.
【解答过程】因为抛物线C:x2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,−1)，
所以抛物线方程为x2=−4y，
准线方程为y=1.
故选：D.
【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）抛物线y=18x2的焦点坐标是（ ）
A．(0,2)B．(0,−2)C．(−2,0)D．(2,0)
【答案】A
【解题思路】变形得x2=8y即可判断焦点坐标.
【解答过程】y=18x2，即x2=8y，则p=4，则其焦点坐标为(0,2).
故选：A.
【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线C:2x2+my=0恰好经过圆M:x−12+y+22=1的圆心，则C的准线方程为（ ）
A．x=12B．x=−12C．y=18D．y=−18
【答案】C
【解题思路】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线C的准线方程.
【解答过程】圆M的圆心为M1,−2，
将圆心M的坐标代入抛物线的方程得2×12−2m=0，解得m=1，
故抛物线C的方程为2x2+y=0，标准方程为x2=−12y，
则2p=12，所以，p2=18，故抛物线C的准线方程为y=18.
故选：C.
【变式3-3】（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，第一象限的点Px1,y1,Qx2,y2在抛物线上，且PF=QF+3,PQ=32．若x1+x2=6，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．y=−32B．y=−3C．y=−1D．y=−2
【答案】A
【解题思路】根据题意结合抛物线的定义可得y1−y2=3，再根据两点间距离公式可得x1−x22=9，最后代入方程作差可得p=3，即可得结果.
【解答过程】因为PF=QF+3，则y1+p2=y2+p2+3，可得y1−y2=3，
又因为PQ=x1−x22+y1−y22=x1−x22+9=32，可得x1−x22=9，
且x12=2py1x22=2py2，两式相减得x12−x22=2py1−y2，即x1+x2x1−x2=2py1−y2，
平方可得x1+x22x1−x22=4p2y1−y22，
且x1+x2=6，可得36×9=4p2×9，即p2=9
且p>0，即p=3，
所以所求准线方程为y=−32.
故选：A．
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2025·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=−2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=8xD．y2=12x
【答案】C
【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.
【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=−2的距离相等，
所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.
故选：C.
【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点A(0,5),B(x,0),C(0,y)，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为x,y，则M点的轨迹方程为（ ）
A．x2=5y(y≠0)B．y2=5x(x≠0)
C．y2=−5x(x≠0)D．x2=−5y(y≠0)
【答案】D
【解题思路】根据给定条件可得AB⊥BC，再利用数量积的坐标表示求出方程.
【解答过程】由圆心在y轴上的圆E经过点A(0,5),B(x,0),C(0,y)，得线段AC为圆E的直径，
而点B在x轴上，则AB⊥BC，又AB=(x,−5),CB=(x,−y)，
于是AB⋅CB=x2+5y=0，而B,C不重合，即y≠0，
所以M点的轨迹方程为x2=−5y(y≠0).
故选：D.
【变式4-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点2,0的距离比到定直线x=−1的距离大1的动点M的轨迹方程是 ．
【答案】y2=8x
【解题思路】先根据已知条件将动点M到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程．
【解答过程】由已知可得动点M满足到定点2,0的距离等于到定直线x=−2的距离，
由抛物线定义知动点M的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为2,0，则p2=2，p=4.因此轨迹方程为：y2=8x．
故答案为：y2=8x.
【变式4-3】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点M1,0,P为动点，以线段MP为直径的圆与y轴相切．动点P的轨迹Γ的方程为 .
【答案】y2=4x
【解题思路】设P(x,y)，求得以线段MP为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程．
【解答过程】设P(x,y)，可得以线段MP为直径的圆的圆心为x+12,y2，
半径为r=x−122+y22，
由以线段MP为直径的圆与y轴相切，
可得x+12=x−122+y22，整理得y2=4x．
故答案为：y2=4x．
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2025·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N4,0，则AN的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．23
【答案】D
【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值
【解答过程】设At24,t，
则AN=t24−42+t2=t416−t2+16=t24−22+12≥23，
当且仅当t=±22时，等号成立．
故选：D．
【变式5-1】（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）设O为坐标原点，F为抛物线C：y2=8x的焦点，点A在抛物线C上.若AF=5，则OA=（ ）
A．66B．9C．3D．33
【答案】D
【解题思路】设Ax0,y0，先由抛物线定义和AF=5解出x0，得到A点坐标，再由两点间距离公式求出OA即可.
【解答过程】因为抛物线C：y2=8x，所以焦点F(2,0)，准线方程为x=−2.
设Ax0,y0，因为AF=5，所以由抛物线定义可知x0+2=5，解得x0=3，
因为点A在抛物线C上，所以y02=8x0=8×3=24，所以A(3,±26)，
所以OA=x02+y02=9+24=33.
故选：D.
【变式5-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线l:x=−5，点P(3,0)，点A(4,1)，动点Q到点P的距离比到直线l的距离小2，则|QA|+|QP|的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】C
【解题思路】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值.
【解答过程】方法一：设Q(x,y).∵点P(3,0)，直线l:x=−5，
动点Q到点P的距离比到直线l的距离小2，
∴(x−3)2+(y−0)2+2=|x−(−5)|，化简得y2=12x，
即点Q的轨迹是以P(3,0)为焦点，以直线x=−3为准线的抛物线．
方法二：设Q(x,y).∵点P(3,0)，直线l:x=−5，
动点Q到点P的距离比到直线l的距离小2,
∴动点Q到点P的距离等于到直线x=−3的距离，
∴点Q的轨迹是以P(3,0)为焦点，以直线x=−3为准线的抛物线，
即抛物线方程为y2=12x．
如图，过点Q作准线的垂线，垂足为B，由抛物线的定义，得|QP|=|QB|，
则|QA|+|QP|=|QA|+|QB|，当A,Q,B三点共线时，
|QA|+|QP|取得最小值，最小值为|AB|=4+3=7．
故选：C．
【变式5-3】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线x2=2pyp>0，点A4,4在抛物线上，点B0,3，若P点是抛物线上的动点，则PB的最小值为( )
A．8B．22C．9D．3
【答案】B
【解题思路】把点A4,4代入抛物线中求出p=2，再设Px0,y0利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可.
【解答过程】因为点A4,4在抛物线上，所以42=2p⋅4，解得p=2，
所以抛物线方程为x2=4y，设Px0,y0，
则PB2=x02+y0−32=x02+y02−6y0+9=y02−2y0+9=y0−12+8≥8，
所以PB的最小值为22.
故选：B.
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2025·海南儋州·模拟预测）已知A(1,54)，B(0,4)，P为抛物线y=x2−2x+2上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．94B．114C．134D．5
【答案】C
【解题思路】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线(x−1)2=y−1的焦点坐标为A(1,54)，准线方程为l:y=34，过点P作PN⊥l，根据抛物线的定义，得到PA=PN，结合PA+PB=PN+PB，即可求解.
【解答过程】由抛物线y=x2−2x+2=(x−1)2+1，即(x−1)2=y−1，
又由抛物线x2=y表示开口向上，且焦点为(0,14)，准线方程为y=−14，
将抛物线x2=y向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到(x−1)2=y−1，
所以抛物线(x−1)2=y−1的焦点坐标为A(1,54)，准线方程为l:y=34，
因为点P是抛物线(x−1)2=y−1上任意点，则点P到焦点F的距离等于点P到l的距离，
如图所示，过点P作PN⊥l，可得PA=PN，
所以PA+PB=PN+PB≥4−34=134，当且仅当P,B,N三点共线时，等号成立，
所以PA+PB的最小值为134.
故选：C.
【变式6-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，M为C上的动点，N为直线l:x+3y+3=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解题思路】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当M,N,F三点共线时，可求得最小值.
【解答过程】
因为抛物线C:y2=4x,∴F(1,0)，过F点作FF1垂直直线l于点F1，过M作准线的垂线交准线于点H，如图所示，则|MF|=|MH|，d=|MH|−1，
则|MN|+d=|MN|+|MH|−1=|MN|+|FM|−1≥FF1−1=|1+0+3|12+32−1=1，
当点N与点F1重合，点M为线段FF1与抛物线的交点时，等号成立.
故选：A．
【变式6-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点0,2的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A．22B．3C．5D．92
【答案】C
【解题思路】利用抛物线定义将点P到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第三边且三点共线时能取得最值，即得结果.
【解答过程】依题意，抛物线y2=4x中，F1,0，点P到准线的距离PQ=PF，
故点P到点0,2的距离PA与P到该抛物线准线的距离之和为：
PA+PQ=PA+PF≥AF=12+22=5，
当且仅当A,P,F三点共线时等号成立.
所以PA+PQ的最小值为5.
故选：C.
【变式6-3】（2025·江西萍乡·一模）设抛物线C:x2=16y的焦点为F，斜率不为0的直线l过点A(3,4)，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则|FQ|+|PQ|的最小值为（ ）
A．112B．6C．132D．7
【答案】C
【解题思路】分析点P的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可得.
【解答过程】F(0,4)，因为FP⊥l，垂足为P，
所以点P的轨迹是以FA为直径的圆（不包括F，A两点），
半径r=12|FA|=32，圆心为B32,4，又因为Q在拋场线C: x2=16y上，
其准线为直线y=−4，过点Q作准线的垂线，垂足为R，
则FQ+|PQ|=|QR|+|PQ|≥|PR|，
当B,P,Q,R四点共钱且P在B点下方时取等号，
(FQ+PQ|)min=|BR−r=8−32=132.
故选：C.
【题型7 抛物线的焦半径公式】
【例7】（2025·广东佛山·三模）已知抛物线Γ：y2＝2pxp>0上的点A的横坐标为4，抛物线Γ的焦点为F．若AF=5，则p的值为（ ）
A．18B．9C．4D．2
【答案】D
【解题思路】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案.
【解答过程】由抛物线定义得xA+p2=AF=5，
又xA=4，解得p=2．
故选：D.
【变式7-1】（2025·北京海淀·一模）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点M32,y0在C上，MF=2，则y0=（ ）
A．1B．2
C．3D．2
【答案】C
【解题思路】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出p的值，可得出方程，点在曲线上，代入可得解.
【解答过程】由抛物线定义知：MF=32+p2=2，解出p=1，故抛物线C:y2=2x，
又点M32,y0在C上，则C:y02=2×32=3，y0=3，
故选：C.
【变式7-2】（2025·安徽蚌埠·三模）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若cs∠BAF=35,|AF|=10，则p=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解题思路】根据抛物线的定义得AF=AB=10，由余弦定理可得BF=45，则AF=xA+p2=10，在Rt△BEF中，由勾股定理即可求解.
【解答过程】由题意可知：抛物线C的焦点Fp2,0，准线为x=−p2，且AF=AB=10，
因为cs∠BAF=35，
所以由余弦定理得2AF2−2AF2cs∠BAF=200×1−35=80=BF2，
即BF=45；
由AF=xA+p2=10，所以xA=10−p2，yA2=2pxA=20p−p2；
设E为准线与x轴的交点，EF=p，
则EF2+yA2=p2+20p−p2=BF2=80，则p=4.
故选：C.
【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若PO=52，则（ ）
A．p=2B．PF=2
C．准线为y=−14D．PF=1716
【答案】D
【解题思路】由已知根据抛物线方程即可判断A，C；设Pm,n，由PO=52得n=1，根据抛物线的定义即可求解.
【解答过程】抛物线C:y=4x2，即x2=14y，所以p=18，故A错误；
因为焦点为0,116，准线为y=−116，故C错误；
设Pm,n，则n=4m2，
由题意m2+n2=52，且n≥0，故n2+n4−54=0，
解得n=−54（舍）或n=1，
故PF=n+116=1716，故D正确.
故选：D.
【题型8 抛物线的几何性质】
【例8】（2025·安徽·模拟预测）已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点4,0的距离的最小值为（ ）
A．2B．22C．23D．4
【答案】C
【解题思路】记点M4,0，Px0,y0，则y02=4x0，且x0≥0，利用二次函数的基本性质可求出MP的最小值.
【解答过程】记点M4,0，Px0,y0，则y02=4x0，
所以MP2=x0−42+y02=x02−8x0+16+4x0=x0−22+12，
由x0≥0，所以MP2≥12⇒MP≥23，当且仅当x0=2时，MP取最小值23.
即点P到点4,0的距离的最小值为23.
故选：C.
【变式8-1】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知x轴上一定点Aa,0a>0，和抛物线y2=2pxp>0上的一动点M，若AM≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,p2B．0,pC．0,3p2D．0,2p
【答案】B
【解题思路】设Mx0,y0 x0≥0，表示出AM，依题意可得x02−2a−2px0≥0恒成立，分x0=0和x0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a−2p恒成立，即可得到2a−2p≤0，从而求出a的取值范围.
【解答过程】设Mx0,y0 x0≥0，则y02=2px0，所以AM=x0−a2+y02
=x0−a2+2px0=x02−2a−2px0+a2
=x0−a−px0+a2，
因为AM≥a恒成立，所以x02−2a−2px0+a2≥a2恒成立，
所以x02−2a−2px0≥0恒成立，
当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a−2p恒成立，
所以2a−2p≤0，则a≤p，又a>0，所以00则线段OP的垂直平分线l方程为x=t，
令l与x轴交于点H,又∠OAP=120°，

则在直角三角形OAH中∠OAH=12∠OAP=60°
继而可得AH=OH3=3t3，
所以A点坐标为t,3t3，
代入抛物线C:y2=8x，可得t23=8t，解得t=24，
直角三角形OAH中OA=2AH=2×33×24=163,
所以四边形OAPB的周长为4OA=643.
故选：A.
【变式8-3】（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线C:y2=8x，其中AC，BD是过拋物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α=45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】D
【解题思路】依题写出直线AC的方程并与抛物线方程联立，求得A,C的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案．
【解答过程】由题意知F2,0，直线AC的倾斜角α=45°，则直线AC的方程为y=x−2，
联立y2=8x，消去y可得：x2−12x+4=0，解得x=6±42，
xA=6+42，xC=6−42，
由抛物线的定义可得AF=xA+2=8+42，CF=xC+2=8−42，
根据抛物线的对称性结合AC,BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，
可知DF=AF=8+42，BF=CF=8−42，
故S△AFB=12AF×BF=128+428−42=16，
故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为2×16=32．
故选：D.
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】
【例9】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：x−22+y2=5与抛物线C：y2=2pxp>0交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当△MFK为等腰三角形时，△MFK面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．23
【答案】B
【解题思路】先根据条件求出抛物线的方程，再分情况讨论，求出三角形的面积.
【解答过程】由题得圆心E2,0，所以圆E关于x轴对称，因为抛物线C关于x轴对称，且直线AB过抛物线C的焦点Fp2,0，
所以直线AB垂直于x轴，不妨设点A在第一象限，则Ap2,p，
所以p2−22+p2=5，即5p2−8p−4=0，解得p=2或p=−25（舍），
所以抛物线C：y2=4x，F1,0，
因为点K与点F关于原点对称，所以K−1,0，所以在△MFK中，FK=2，
当FK=FM=2时，FK⊥FM，S△MFK=12×2×2=2；
当FK=MK=2时，0°0)，
由图可得点(0.5,0.25)在抛物线上，即
0.52=2p×0.25，解得p=0.5，
故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为0.25.
故选：A.
【变式10-1】（2025·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
【答案】B
【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数p，进一步即可得解.
【解答过程】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于x轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．

设抛物线的方程为x2=−2pyp>0．
易知抛物线过点10.8,−10.9，则10.82=21.8p，得p=10.8221.8，
所以p2=5.4210.9≈2.7，所以p2+1≈3.7．
故选：B．
【变式10-2】（2025·福建莆田·二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶O离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是 m．
【答案】26
【解题思路】建立坐标系，先根据条件求抛物线的方程，再根据y的值求x即可.
【解答过程】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系.
设抛物线方程为：x2=−2py，由题意，抛物线过点3,−3.
所以2p=93=3，所以抛物线方程为：x2=−3y.
水面上升1m，则y=−2，此时x2=6 ⇒ x=−6或x=6.
所以水面宽度为：26m.
故答案为：26.
【变式10-3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm．
【答案】60.5
【解题思路】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得.
【解答过程】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），如下图所示：
则可设抛物线的方程为y2=2px，
由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点P(50,40)，
代入抛物线方程得402=2p×50，解得p=16，所以抛物线的方程为y2=32x，
当灯口圆的直径增大到88cm时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为882=44，
将y=44代入抛物线方程求得x=60.5，此时探照灯的深度为60.5cm.
故答案为：60.5.
一、单选题
1．（2025·四川·三模）抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A2,−4是抛物线C上一点，则AF=（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【解题思路】由点在抛物线上求参数值，再由抛物线的定义求焦半径.
【解答过程】由题意，得4p=−42，解得p=4，则AF=2+p2=4.
故选：D.
2．（2025·北京海淀·三模）点M5,3到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=12yB．x2=112y或x2=−136y
C．x2=−136yD．x2=12y或x2=−36y
【答案】D
【解题思路】将y=ax2转化为x2=1ay，分类讨论a>0和a0时，抛物线开口向上，准线方程y=−14a，
点M(5,3)到准线的距离为3+14a=6，解得a=112，
所以抛物线方程为y=112x2，即x2=12y；
当a0)，
故选：C.
7．（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线y2=8x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若|FA|=9，|FB|=4，则|AB||BC|=（ ）
A．52B．3C．72D．4
【答案】A
【解题思路】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可.
【解答过程】
如图所示，设A(xA,yA),B(xB,yB)，由|FA|=9，|FB|=4，
由y2=8x可知准线方程为x=−2，
根据抛物线定义可得xA+2=9，xB+2=4，故xA=7，xB=2，
过A，B分别作y轴的垂线AG,BM垂足为G,M，过B作AG的垂线，垂足为E，
明显△ABE∼△BCM，所以|AB||BC|=xA−xBxB−xC=7−22=52，
故选：A．
8．（2025·甘肃白银·三模）如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A,B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N，则四边形CMNF的面积等于（ ）
A．12B．8C．6D．7
【答案】D
【解题思路】根据抛物线焦点坐标即可确定直线AB的方程，设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，根据直线斜率的坐标关系可得y1+y2=4，所以y0=2，作MK⊥x轴于点K，确定MK的值，从而可得四边形CMNF的面积.
【解答过程】抛物线E:y2=4x的焦点F1,0，则直线AB的方程为y=x−1，
因为四边形CMNF为梯形，且FC // NM，
设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，则kAB=y1−y2x1−x2=4y1−y2y12−y22=4y1+y2=1，
所以y1+y2=4，所以y0=2，
作MK⊥x轴于点K，则MK=2，
因为直线AB的斜率为1，所以△FMC为等腰直角三角形，
故FK=MK=KC=2，
所以MN=OF+FK=3,FC=4，
所以四边形CMNF的面积为12×3+4×2=7.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·湖北·模拟预测）已知点P在抛物线y2=12x上运动，F为抛物线的焦点，点M4,1，则PM+PF的值可能是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】ABC
【解题思路】根据给定条件，作出几何图形，利用抛物线定义求出PM+PF的最小值即可.
【解答过程】抛物线y2=12x的焦点F(3,0)，准线l:x=−3，
如图，过点P作PA⊥l于A，过点M作MB⊥l于B，连接PM,PF，
由抛物线的定义知PF=PA，则PM+PF=PM+PA≥MB，当且仅当点P在MB上时取等号，
又MB=4+3=7，所以PM+PF的最小值为7.
故选：ABC.
10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P(x0,y0)在C上，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x=2B．F的坐标为1,0
C．若y0=2，则PF=2D．PF≥2
【答案】BC
【解题思路】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断.
【解答过程】对于A，B，由抛物线方程为y2=4x，则焦点F1,0，准线方程为x=−1，故A错误，B正确；
对于C，将y0=2代入y2=4x，得x0=1，则PF=x0+p2=1+1=2，故C正确；
对于D，由抛物线定义得PF=x0+p2=x0+1≥1，当x0=0时，取等号，故D错误.
故选：BC.
11．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中点，P(2,3)是平面内一定点，则（ ）
A．p=2
B．若|AF|+|BF|=8，则M到x轴距离为4
C．若AF=2FB，则AB=92
D．|AP|+|AF|的最小值为4
【答案】ACD
【解题思路】根据的最小值即为p2，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵坐标，结合焦半径公式判断C；判断P点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断D.
【解答过程】解：抛物线x2=2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，
则有p2=1，解得p=2，A正确；
抛物线的方程为x2=4y，焦点F(0,1)，准线l:y=−1，设Ax1,y1，Bx2,y2，
对于B，点Mx1+x22,y1+y22，由抛物线的定义知，|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8，
有y1+y2=6，所以M到x轴距离y1+y22=3，B不正确；
对于C，AF=−x1,1−y1，FB=x2,y2−1，
由AF=2FB得：1−y1=2y2−1，即y1+2y2=3，
又AF=2FB，即y1+1=2y2+1，则y1−2y2=1，解得y1=2，y2=12，
于是得|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=92，C不正确；
对于D，抛物线x2=4y中，当x=2时，y=1