2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.2两条直线的位置关系(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.2两条直线的位置关系(学生版+解析)，共8页。

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\l "_Tc8961" 【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 PAGEREF _Tc8961 \h 3
\l "_Tc29012" 【题型2 两条直线平行及其应用】 PAGEREF _Tc29012 \h 4
\l "_Tc26454" 【题型3 两条直线垂直及其应用】 PAGEREF _Tc26454 \h 4
\l "_Tc24399" 【题型4 直线的交点问题】 PAGEREF _Tc24399 \h 5
\l "_Tc12947" 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc12947 \h 6
\l "_Tc27565" 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc27565 \h 6
\l "_Tc14945" 【题型7 与距离有关的最值问题】 PAGEREF _Tc14945 \h 6
\l "_Tc26673" 【题型8 点、线间的对称问题】 PAGEREF _Tc26673 \h 7
\l "_Tc32361" 【题型9 直线系方程】 PAGEREF _Tc32361 \h 8
1、两条直线的位置关系
知识点1 两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
2．平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
知识点2 直线的交点坐标
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线，直线.
2．直线系方程
过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，
λ∈R，但不包括直线l2.
知识点3 距离公式
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
知识点4 点、线间的对称关系
1．六种常用对称关系
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
2．对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
【方法技巧与总结】
1．判断两条直线位置关系的注意点：
(1)斜率不存在的特殊情况；(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
2．使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】
【例1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线x−my+m−1=0恒过点P，则过点P并与直线x−2y+4=0垂直的直线方程为（ ）
A．2x+y−3=0B．2x+y+1=0
C．x−2y+1=0D．2x−y+3=0
【变式1-1】（2025·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（ ）
A．x−y+2=0B．x−2y+4=0
C．x−y−2=0D．x+2y−4=0
【变式1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）将直线l1:x+y−2=0绕点(2,0)顺时针旋转90°得到直线l2，则直线l2的方程是（ ）
A．2x−y+4=0B．x+y+2=0
C．x−y−2=0 D．2x−y−4=0
【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点A(1,2)，B(−2,3)，则过点A且与直线AB垂直的直线l的方程为（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y−2=0
C．3x+y−5=0D．3y−x−5=0
【题型2 两条直线平行及其应用】
【例2】（2025·宁夏中卫·三模）若直线l1：m−2x+3y+3=0与直线l2：2x+m−1y+2=0平行，则m=（ ）
A．4B．1C．1或-4D．-1或4
【变式2-1】（2025·上海·三模）设a为实数，直线l1:ax+y=1，直线l2:x+ay=2a，则“a=1”是“l1,l2平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分又不必要
【变式2-2】（2025·天津和平·二模）若a∈R，直线l1：x+2ay−1=0，直线l2：3a−1x−ay−1=0，则“a=0”是“l1//l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（2025·广东茂名·一模）已知直线l1:x+my−5=0，直线l2:mx+y+3=0，若l1 ∥ l2，则实数m的值为（ ）
A．1B．−1C．−1或1D．0
【题型3 两条直线垂直及其应用】
【例3】（2025·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（ ）
A．−6B．73C．23D．9
【变式3-1】（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线l1:x+my+1=0与直线l2:x+(1−2m)y−3=0，则“m∈{1,−2}”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x−3垂直，则（ ）
A．A=−2B≠0B．A=2B≠0
C．B=−2A≠0D．B=2A≠0
【变式3-3】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线l1:2x−y+1=0与l2:x+ky−3=0垂直，则实数k的值为（ ）
A．2B．-2C．12D．−12
【题型4 直线的交点问题】
【例4】（2025高二·全国·专题练习）直线2x+5y−7=0和3x+2y+6=0的交点坐标为（ ）
A．4,3B．3,4C．−4,3D．−4,−3
【变式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线l过直线l1:x−y=0和l2:x+y−2=0的交点，且与3x+4y−5=0平行，则l的方程是（ ）
A．3x+4y+7=0B．3x+4y−7=0
C．4x−3y+1=0D．4x−3y−1=0
【变式4-2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线2x−y+3=0与x+ay−1=0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．1,5B．−1,−1C．−1,1D．−2,−1
【变式4-3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线l1：x+2y−4=0与直线l2：kx−y+2k+1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（ ）
A．−16,12B．−12,16
C．−∞,−12∪12,+∞D．−∞,−12∪−16,+∞
【题型5 点到直线的距离公式的应用】
【例5】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点P2,2且倾斜角为135∘，则点Q−2,0到直线l的距离为（ ）
A．2B．22C．32D．42
【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知A−3,−4，B6,3两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则a的值为（ ）
A．13B．−79C．−13或−79D．13或−79
【变式5-2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点3,7到直线2x−y−3=0的距离为（ ）
A．−4B．2C．22D．455
【变式5-3】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 l1:x+y−3=0 与 l2:3x−y−1=0 相交于点 M ，则点M到直线 l3:2x−y+1=0 的距离为（ ）
A．55B．255C．5D．25
【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】
【例6】（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线l1:2x−3y+2=0与l2:ay−x+2=0之间的距离为（ ）
A．613B．13C．21313D．61313
【变式6-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线l1：x+2y−3=0与直线l2：kx−2y+1=0k∈R平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．55B．255C．45D．455
【变式6-2】（2025·上海奉贤·二模）直线3x+4y−5=0上的动点P和直线3x+4y+10=0上的动点Q，则点P与点Q之间距离的最小值是 ．
【变式6-3】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知m∈R，直线l1:3x−y+7=0,l2:mx+y−1=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 .
【题型7 与距离有关的最值问题】
【例7】（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足3x+4y=5，则x2+y2的最小值为（ ）
A．15B．35C．45D．1
【变式7-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若动点Ax1,y1，Bx2,y2分别在直线l1:5x−12y+2=0与l2:5x−12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）
A．513B．2C．12D．13
【变式7-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知函数fx=a−2x2+bx−a+1（a，b∈R且a≠2）在区间1,2上有零点，则a2+b2的最小值为（ ）
A．32B．12C．2D．1
【变式7-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点Ax1,y1，Bx2,y2，则A，B两点之间的曼哈顿距离为AB=x1−x2+y1−y2.已知点F1−1,0，F21,0，动点P满足PF1+PF2=4，Q是直线l:x+2y−5=0上的动点，则PQ的最小值为（）
A．255B．55C．455D．355
【题型8 点、线间的对称问题】
【例8】（24-25高二下·上海·阶段练习）点P2,−3关于直线l:y=x+1 的对称点为（ ）
A．−3,4B．−4,−3C．−4,3D．−3,−4
【变式8-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线l1:x−y+3=0,l0:x−y−1=0，若l1关于l0对称的直线为l2，则直线l2的方程是（ ）
A．x−y−3=0B．x−y+5=0
C．x−y+3=0D．x−y−5=0
【变式8-2】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知A4,0，B0,4，O0,0，若光线L从点P2,0射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（ ）
A．y=2x−4B．y=52x−5C．y=3x−6D．y=4x−8
【变式8-3】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B−2,0，若将军从山脚下的点A13,0处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．1453B．5C．15D．163
【题型9 直线系方程】
【例9】（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线l1:x−3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0
【变式9-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）过直线3x−2y+3=0与x+y−4=0的交点，与直线2x+y−1=0平行的直线方程为（ ）
A．2x+y−5=0B．2x+y+1=0
C．x+2y−7=0D．x−2y+5=0
【变式9-2】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y−2=0；l2:3x−2y+2=0交点的直线方程为 .
【变式9-3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线2023x−2022y−1=0和2022x+2023y+1=0的交点且过原点的直线方程为 ．
一、单选题
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线l1::a−2x+y+1=0与直线l2:2x−a+1y−2=0互相平行，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或-1
2．（2025·山西·三模）已知直线l1:ax+y+a=0与l2:a−4x−5y−4=0，则“a=5”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·广西桂林·一模）已知直线l的一个方向向量为a=2,1，则过点A1,−1且与l垂直的直线方程为（ ）
A．x−2y−3=0B．x−2y+1=0
C．2x+y−3=0D．2x+y−1=0
4．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线2x+y−2m=0与直线4x−my−3=0平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1155B．11510C．3510D．955
5．（2024·山东·一模）过直线x+y+2=0与x−y−4=0的交点且与直线x+2y+1=0垂直的直线方程为（ ）
A．x+2y+5=0B．x+2y−5=0
C．2x−y+5=0D．2x−y−5=0
6．（2025·广东深圳·模拟预测）点P−1,3关于直线x−y=0的对称点为Q，则点Q到直线3x+y−2=0的距离为（ ）
A．355B．310C．3105D．10
7．（2025·山东·一模）实数a,b满足a+b+1=0，则a2−2a+b2的最小值为（ ）
A．2B．1C．0D．−1
8．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 l:x+y−1=0， 一束光线从原点 O 出发沿射线 y=kxx≥0 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N. 若 MN=136， 则 k 的值为（ ）
A．32B．23
C．12D．13
二、多选题
9．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知直线l1:x+ay+1=0，l2:(a−1)x+y+a=0，则下列说法正确的是（ ）
A．当a=1时，直线l1的倾斜角为45°B．若l1⊥l2，则a=12
C．若l1//l2，则a=−1D．直线l2的纵截距为−a
10．（25-26高二上·全国·单元测试）平行于直线x−y−2=0，且与它距离为2的直线方程可能是（ ）
A．x−y=0B．x−y−1=0
C．x−y+1=0D．x−y−4=0
11．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线l1:4x−3y+4=0,l2:m+2x−m+1y+2m+5=0m∈R，下列选项正确的是（ ）
A．过点−1,2且垂直于直线l1的直线方程为3x+4y−5=0
B．直线l2过定点3,−1
C．当m=1时，l1⊥l2
D．当l1∥l2时，两直线之间的距离为1
三、填空题
12．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线l1:mx+2y−2=0与直线l2:5x+m+3y−5=0，若l1//l2，则m= ．
13．（2025·云南曲靖·一模）已知直线l1：x+y+1=0与l2：m+2x+y+m=0平行，则l1与l2间的距离为 ．
14．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点2,0与点1,1重合，此时点(m,n)与原点(0,0)重合，则m⋅n的值是 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线l1：ax−a−4y+2=0，直线l2：2x+ay−1=0.
(1)若l1∥l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
16．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程；
(1)过点1,2，且与直线3x−2y+3=0平行的直线方程；
(2)过点−1,2，且与直线3x−y+2=0垂直的直线方程；
(3)过点1,−2，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
17．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线l1:x−2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny−6=0之间的距离是25．
(1)求直线l1关于直线l2对称的直线方程；
(2)求直线l1关于直线l3:3x−y−4=0对称的直线方程．
18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l的方程为m+3x+2m−1y−7m=0m∈R．
(1)证明：直线l过定点，并求定点到直线3x+4y−7=0的距离；
(2)当m为何值时，点Q3，4到直线l的距离最大？最大距离是多少？
19．（24-25高二上·重庆·期中）已知两直线l1:x−y+1=0，l2:x+2y−8=0
(1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)已知两点A−1,1，B0,2，动点P在直线l1运动，求|PA|+|PB|的最小值.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直
(2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标
(3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
2022年上海卷：第7题，5分
2024年北京卷：第3题，4分
2025年全国一卷：第7题，5分
2025年天津卷：第12题，5分
从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，考查内容、频率、题型与难度均变化不大；复习时应加强对两条直线的位置关系、距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.
斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（当时，记为）
垂直
k1·k2=-1
（当时，记为）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（当时，记为）
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行