2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲导数与函数的单调性(精练+相遇真题、模拟)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲导数与函数的单调性(精练+相遇真题、模拟)(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·山西运城·开学考试）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）若函数在是增函数，则常数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高二下·辽宁·期中）已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（多选）（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）函数在下列区间单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
10．（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ．
11．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
12．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
13．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若，试讨论的单调性．
B相遇高考
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
C素养提升
1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
4．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
第02讲 导数与函数的单调性
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先对函数求导，然后判断函数的单调性，进而可得出对应的图象.
【详解】，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，排除B，C，D.
故选：A．
2．（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数在上单调递减可知在上恒成立，进而利用二次函数的性质求解即可.
【详解】由题知在上恒成立，所以，得.
故选：D.
3．（23-24高三上·山西运城·开学考试）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可.
【详解】的定义域为，解不等式，可得，
故函数的单调递减区间为.
故选：B.
4．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D.
【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C；
且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误.
故选:A
5．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）若函数在是增函数，则常数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数为非负结合参变分离可得在上恒成立，构建新函数，利用导数求出右侧函数的最小值后可得参数的范围.
【详解】因为函数在是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
所以，令，
则，
故时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
故选：C
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性即可解不等式.
【详解】的定义域为R且，故为偶函数，
则不等式可化为，
.
设，则，
则在上单调递增，则，
所以当时，恒成立，在上单调递增，
又因为其为偶函数，则其在上单调递减，
∴等价于，两边同时平方解得.
故选：A.
7．（24-25高二下·辽宁·期中）已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数并求出导数，判断函数的单调性，进而求解不等式.
【详解】令，求导得，而，
则，函数在上单调递减，
不等式，即，
因此，解得，所以所求解集为.
故选：A
8．（多选）（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）函数在下列区间单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用导数先求单调增区间即可求解.
【详解】由题意有，由有或，
所以函数的单调增区间为，
故选：BC.
9．（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可得对于恒成立，可得对于恒成立，进而求解即可.
【详解】由，则，
因为函数在上单调递增，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，则，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
10．（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将问题转化为存在两个不同的零点，利用即可.
【详解】函数定义域为R，
因函数恰有三个单调区间，则函数有两个极值点，
即在上存在两个不同的零点，
则判别式，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
11．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1），
当时，在上单调递增
当时，，
当，在单调递减，
当，在单调递增．
12．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性.
【详解】（1）当时，，，则切点坐标为．
又因为，，
所以在处的切线方程为．
（2）由函数求导可得
．
定义域为，
则①当时，由得，
当或时，，当时，，
故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减；
②当时，，在上单调递增；
③当时，由得，
当或时，，
当时，，
故在上单调递增，在单调递增，在单调递减；
④当时，由得，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在递增，上递减，递增；
当时，在上递增；
当时，在递增，递减，递增；
当时，在递减，递增．
13．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若，试讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解；
（2）由题意有，根据的范围分类讨论即可.
【详解】（1）当时，，
，
，，所以切点为，
切线方程即．
（2）的定义域为，，
当时，由可得或；由可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，恒成立，函数的单调递增区间为；
当时，由可得或；由可得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
B相遇高考
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．
C素养提升
1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，借助导数研究在上的单调性，利用单调性得到，，将变形，利用函数在上单调性得到，即可得解.
【详解】因为，所以令，.
令，解得.
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
因为，所以，即；
因为，所以，即.
而和，则
综上可知，.
故选：D
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出．
【详解】构造函数，
当时，，故在上单调递增，
所以，
构造函数，
则，
当在单调递增，
所以，即，
所以.
故选：B．
3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间；
【详解】（1）由，所以，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）由，定义域为，
当时，令得或，
（i）时，，，令，得，
令，得或，
所以的递增区间为，递减区间为，；
(ii)时，，所以在上单调递减；
（iii）当时，即，，
令，得，
令，得或，
所以的递增区间为，递减区间为，；
当时，令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，的递增区间为，递减区间为，；
当时，在上单调递减；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为.
4．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由题意，故，
当时，，此时函数在上单调递增；
当时，令，得，
此时函数在和上故单调递增，
在上故单调递减；
当时，此时函数在上单调递减，在上单调递增；