2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第2讲导数与函数的单调性(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第2讲导数与函数的单调性(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了5年真题考点分布，课标要求，知识导图等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc206167439" 目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc168491927" 01 考情研究 PAGEREF _Tc168491927 \h 2
\l "_Tc168491928" 02 知识梳理·2
\l "_Tc168491929" 03 探究核心考点3
\l "_Tc168491933" 考点一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像3
\l "_Tc168491934" 考点二：求单调区间6
\l "_Tc168491935" 考点三：利用导数比较大小7
\l "_Tc168491936" 考点四：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 PAGEREF _Tc168491936 \h 11
\l "_Tc168491937" 考点五：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 PAGEREF _Tc168491937 \h 12
\l "_Tc168491938" 考点六：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 PAGEREF _Tc168491938 \h 14
\l "_Tc168491940" 考点七：不含参数单调性讨论16
\l "_Tc168491940" 考点八：含参数单调性讨论17
三阶突破训练
\l "_Tc168491945" 基础训练·19
\l "_Tc168491946" 能力提升22
\l "_Tc168491947" 真题感知28
一、5年真题考点分布
二、课标要求
1.结合实例，借助图象直观地了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
三、知识导图
1．函数的单调性与导数的关系
提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
【答案】单调递增； 单调递减； 常数函数
2.解题方法总结
（1）使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．
（2）若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减．
考点一 利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
典例1（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C．D．
典例2（2025·江苏·模拟预测）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．B．C．D．
【方法技巧】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.
跟踪训练1（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上单调递减
跟踪训练2（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）

A．B．C．D．
考点二 求单调区间
典例1 函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
典例2（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出.
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.
跟踪训练1 函数的单调增区间为（ ）
跟踪训练2（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
考点三 利用导数比较大小
典例1（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
典例2（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
利用导数比较大小的方法
利用导数比较大小，其关键是构造函数，把比较大小问题转化为利用导数判断函数单调性问题.比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较.
跟踪训练1（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
考点四 已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
典例1（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
根据函数单调性求参数的一般思路
（1）由函数在区间[a,b]上单调递增（减）转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立，列出不等式，常用分离参数法或函数的性质求解不等式恒成立问题.
（2）由函数单调递增（减）区间是[a,b]转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)在函数定义域内的解集是[a,b].
（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间内恒等于0，若f'(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'(x)=0，则参数可取这个值.
跟踪训练1（2025·河南·模拟）若函数的减区间为，则的值为 .
跟踪训练2（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点五 已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
典例1（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例2（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
2、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）.
跟踪训练1.已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练2.若函数在不单调，则a可能为（ ）
A．B．-1C．0D．1
考点六 已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
典例1（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例2（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
根据函数单调性求参数的一般思路
（1）由函数在区间[a,b]上单调递增（减）转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立，列出不等式，常用分离参数法或函数的性质求解不等式恒成立问题.
（2）由函数单调递增（减）区间是[a,b]转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)在函数定义域内的解集是[a,b].
（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间内恒等于0，若f'(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'(x)=0，则参数可取这个值.
跟踪训练1．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点七 不含参数单调性讨论
典例1 已知，若，求的单调区间.
典例2（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数．(1)，求的单调区间；
【方法技巧】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．
跟踪训练1（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
跟踪训练2（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数(1)当时，求单调区间
考点八 含参数单调性讨论
典例1（2025·江西新余·模拟预测）设函数.
(1)若，求的单调区间；
典例2 已知，.(1)讨论的单调性；
【方法技巧】
(1)当导函数形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为零的情形，其判定过程较为简明；当一次项系数非零时，需讨论导函数零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像的几何特征判定其符号，进而确定原函数的单调区间。
(2)若导函数为含参且可因式分解的二次函数，则令该二次函数等于零，求解其根并比较根的大小关系，据此划分定义域区间，通过判定导函数在各子区间的符号变化，确定原函数的单调性。
(3)若导函数为含参且不可因式分解的二次函数，须通过判别式对其根的存在性及数量进行判断，进而划分定义域进行讨论。
跟踪训练1（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；
跟踪训练2 已知函数．(1)讨论的单调性：
1．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（ ）
3.若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．m>1
4．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ．
7．（24-25高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·内蒙古·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数.若，讨论的单调性；
10．（2024·上海·三模）设，．
(1)讨论函数的单调性；
1．[2025·贵阳适应性考试]已知f(x)是定义在R上连续可导的偶函数，且y=f'(x)+ex也是偶函数，若f(a)>f(2a−1),则实数a的取值范围是（ ）
A. (−∞,1) B. (1,+∞) C. (13,1) D. (−∞,13)∪(1,+∞)
2．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东中山·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2025·成都模拟)已知函数f(x)=x2+(x−2)ex−2x+5在区间(3m−1,m+2)上不单调，则m的取值范围是_______ .
7．[2025·石家庄模拟]（多选）已知函数f(x)=(x−2)3+4x−8，若实数m，n满足不等式f(2m−n)+f(4−n)>0则（ ）
A. sin m>sin n B. m+em>n+en C. ln m>ln n D. m3>n3
8．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；
9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；
10.设函数，其中，讨论的单调性.
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理））设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
3．（2024全国甲卷数学（文））曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
4．（2024全国甲卷数学（文））已知函数．(1)求的单调区间；
5．（2024新高考北京卷）已知在处切线为l．
(1)若，求单调区间；
6．（2023年高考全国乙卷数学（文））已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
7．（2025新高考1卷）（1）设函数．求在，的最大值；
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数的单调区间
（2）单调性与导数的关系
2025年新高考1卷19题，17分
2024年甲卷（文）16题，12分
2024年甲卷（文）第20题，12分
2023年乙卷（文）第20题，12分
2023年乙卷（理）第16题，5分
2023年II卷第6题，5分
2022年甲卷第12题，5分
2022年I卷第7题，5分
2021年浙江卷第7题，5分
高考对函数单调性的考查保持相对稳定，其考查内容、频率、题型及难度均无明显变化。无论试题如何变化，关键在于把握导数作为研究函数有力工具的特性，将函数单调性的本质问题借助图像予以直观呈现，后续即为具体问题的转化过程。
条件
恒有
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f'(x)>0
f(x)在(a,b)上①_ _ _ _ _ _ _ _
f'(x)f(2a−1),则实数a的取值范围是（ ）
A. (−∞,1) B. (1,+∞) C. (13,1) D. (−∞,13)∪(1,+∞)
【答案】D
【解析】选D.f(x)为R 上的偶函数，所以f(x)=f(−x),对等式两边求导有f'(x)=−f'(−x)①.因为y=f'(x)+ex 是偶函数，所以f'(x)+ex=f'(−x)+e−x②.由①②得f'(x)=12(e−x−ex)=1−e2x2ex.当x∈(−∞,0) 时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(0,+∞) 时,f'(x)f(2a−1),所以|a|1 或a0，所以f'(x)=0⇒x=1，f'(x)>0⇒x>1，f'(x)ln n D. m3>n3
【答案】BD
【解析】选BD.因为f(x)=(x−2)3+4x−8=(x−2)3+4(x−2) 的定义域为R，y=x3+4x为奇函数，函数y=x3+4x 的图象向右平移两个单位长度可得f(x) 的图象，
所以f(x)=(x−2)3+4x−8 的图象关于点(2,0) 对称，所以f(4−x)+f(x)=0，
因为f'(x)=3(x−2)2+4>0，所以f(x)=(x−2)3+4x−8 在R 上为增函数，
由f(2m−n)+f(4−n)>0 ,化为f(2m−n)>−f(4−n)=f(n)，
等价于2m−n>n，所以m>n，所以m3>n3，m+em>n+en成立，
m>n 不能推出sin m>sin n，ln m>ln n．
8．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
【解析】（1）的定义域为．
①时，，此时在上单调递减；
②时，令得，令得，
此时在上单调递减，在上单调递增．
9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【解析】（1）由得 ，
当时，，在和单调递增；
当时，令，则，解得或；
令，则，解得或；
综上，当时，的单调递增区间为和；
当时，的单调递增区间为和，
递减区间为和.
10.设函数，其中，讨论的单调性.
【解析】由
①时，由，令，解得，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
②时，由，
（i）时，因为，则在单调递增，
（ii）时，，解得或，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
（iii）时，由，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理））设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2024全国甲卷数学（文））曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
4．（2024全国甲卷数学（文））已知函数．(1)求的单调区间；
【解析】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
5．（2024新高考北京卷）已知在处切线为l．
(1)若，求单调区间；
【解析】（1），
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
6．（2023年高考全国乙卷数学（文））已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
7．（2025新高考1卷）（1）设函数．求在，的最大值；
【解答】（1）解法一：解：由已知得：
，
因为，所以，，
所以，故只需判断的符号即可，由，解得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以；
解法二：令.注意到，故或，即或.
于是，时，，所以，即，此时单调递增；
时，，所以，即，此时单调递减.
所以.
解法三：

.
当时，单调递增；当时，，单调递减.
于是.
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数的单调区间
（2）单调性与导数的关系
2025年新高考1卷19题，17分
2024年甲卷（文）16题，12分
2024年甲卷（文）第20题，12分
2023年乙卷（文）第20题，12分
2023年乙卷（理）第16题，5分
2023年II卷第6题，5分
2022年甲卷第12题，5分
2022年I卷第7题，5分
2021年浙江卷第7题，5分
高考对函数单调性的考查保持相对稳定，其考查内容、频率、题型及难度均无明显变化。无论试题如何变化，关键在于把握导数作为研究函数有力工具的特性，将函数单调性的本质问题借助图像予以直观呈现，后续即为具体问题的转化过程。
条件
恒有
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f'(x)>0
f(x)在(a,b)上①_ _ _ _ _ _ _ _
f'(x)