专题10.4 随机事件、频率与概率（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc5896" 【题型1 随机事件与样本空间】 PAGEREF _Tc5896 \h 3
\l "_Tc31363" 【题型2 随机事件的关系与运算】 PAGEREF _Tc31363 \h 4
\l "_Tc15935" 【题型3 互斥事件与对立事件的概率】 PAGEREF _Tc15935 \h 6
\l "_Tc7286" 【题型4 频率与概率】 PAGEREF _Tc7286 \h 8
\l "_Tc27070" 【题型5 生活中的概率】 PAGEREF _Tc27070 \h 9
\l "_Tc23949" 【题型6 频率估计概率在统计中的应用】 PAGEREF _Tc23949 \h 11
1、随机事件、频率与概率
【知识点1 频率与概率】
1．频率与概率的区别
2．频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(A)会逐渐稳定于事件A发生的
概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A)估计概率P(A).
【知识点2 随机事件】
1．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.
(3)不可能事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.
2．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生.
【知识点3 随机事件的关系与概率】
1．互斥事件、对立事件的判断
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有
且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
2．互斥事件的概率求法
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公
式计算；
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.
【方法技巧与总结】
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
.
【题型1 随机事件与样本空间】
【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2+b2=0；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【解题思路】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.
【解答过程】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件；
三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件；
实数a，b都不为0，则a2+b2≠0，③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
故选：A.
【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【解题思路】根据题意结合列举法运算求解.
【解答过程】从A，B，C，D，E五人中选两人，
不同的选法有：A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E，
所以样本空间中样本点的个数为10．
故选：B.
【变式1-2】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2