2027年高考数学一轮复习核心考点 第三章 规范答题一 导数及其应用课件（含试题及答案）

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[典例]　(15分)(2024·新高考Ⅱ卷T16)已知函数f (x)＝ex－ax－a3．(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围．
阶段检测(四)　一元函数的导数及其应用
一、单项选择题1．(2025·丽江期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数，则P对于t的瞬时变化率为(　　)A．e－kt B．P0e－ktC．kP0e－kt D．－kP0e－kt
D　[因为P＝P0e－kt，求导得P′＝P0·e－kt·(－kt)′＝－kP0e－kt．故选D．]
2．(2025·武汉期末)函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．3是f (x)的极小值B．f (x)的极值点有3个　C．f (x)在区间(－∞，3)上单调递减D．曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率小于零
D　[由导函数图象可知，当x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，当x∈(－3，3)时，f ′(x)≤0，函数f (x)单调递减．对于A，3是函数f (x)的极小值点，f (x)的极小值为f (3)，故A错误；对于B，f (x)的极值点有两个，极大值点－3，极小值点3，故B错误；对于C，当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＞0，函数单调递增，当x∈(－3，3)时，f ′(x)≤0，函数单调递减，故C错误；对于D，由题干图象可知f ′(1)＜0，即函数f (x)在x＝1处的切线的斜率小于零，故D正确．故选D．]
5．(2026·兰州模拟)若x＝2是函数f (x)＝x3－ax2的极小值点，则实数a＝(　　)A．6 B．3C．2 D．4
B　[易得导函数f ′(x)＝3x2－2ax，那么f ′(2)＝3×4－4a＝0，解得a＝3．当a＝3时，导函数f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，因此当x∈(0，2)时，f ′(x)＜0，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，故x＝2是f (x)的极小值点，符合题意．所以a＝3．故选B．]
8．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则(　　)A．f (x)有两个极值点B．f (x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线
则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)图象的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f (x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故C正确；令f ′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f (1)＝f (－1)＝1，当切点坐标为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点坐标为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC．]
三、填空题9．(2025·厦门三模)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝x2－2x－a也相切，则实数a＝________．
10．(2026·北京海淀区模拟)写出“使函数f (x)＝kx－ex在(1，＋∞)上存在最值”的实数k的一个值为_________________．
3(答案不唯一)　[由题可得f ′(x)＝k－ex．当k≤0时，f ′(x)＝k－ex＜0，函数f (x)在(1，＋∞)上单调递减，不存在最值；当k＞0时，令f ′(x)＝k－ex＝0，可得x＝ln k，
当x＜ln k时，f ′(x)＞0，当x＞ln k时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，ln k)上单调递增，在(ln k，＋∞)上单调递减，若函数f (x)＝kx－ex在(1，＋∞)上存在最值，则ln k＞1，解得k＞e，所以实数k的一个值为3．]
12．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T19)已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x．(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围．
[解]　(1)f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．若a≤0，则f ′(x)0，则由f ′(x)＝0得x＝－ln a．当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)0，所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．