2027年高考数学一轮复习核心考点 第三章 高考培优5 利用导数研究函数的零点问题课件（含试题及答案）

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利用导数研究函数的零点问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．求解此类问题的常用方法：数形结合法、零点存在定理．
题型一　确定函数零点个数[典例1]　(2025·新余二模)已知函数f (x)＝sin x＋ex－4x，e为自然对数的底数，判断函数f (x)的零点个数．
[解]　f (x)的定义域为R，f ′(x)＝cs x＋ex－4．当x≤0时，－1≤cs x≤1，0＜ex≤1，所以f ′(x)＝cs x＋ex－4＜0，所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)≥f (0)＝1，此时函数f (x)无零点．
当x＞0时，设h(x)＝cs x＋ex－4，则h′(x)＝－sin x＋ex＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，f ′(0)＝－2＜0，f ′(2)＝cs 2＋e2－4＞0，因此f ′(x)在(0，2)内有唯一零点，记零点为m，即f ′(m)＝0，所以x∈(0，m)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，x∈(m，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，又f (0)＝1＞0，f (1)＝sin 1＋e－4＜0，f (π)＝eπ－4π＞0，所以f (x)在(0，1)内有一个零点，在(1，π)内有一个零点．综上所述，f (x)在定义域上有2个零点．
通性通法：用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
题型二　根据函数零点个数求参数的取值范围[典例2]　(2025·天津卷节选)已知函数f (x)＝ax－(ln x)2．若f (x)有3个零点，求实数a的取值范围．
思维建模：导数中的零点求参模型第1步　参变分离：根据函数零点与方程根的关系，将参数与自变量分开．第2步　求导画曲线：求导研究曲线性质，并画出曲线．第3步　曲直相交得范围：根据直线与曲线的交点个数，得参数的取值范围．
培优训练(五)　利用导数研究函数的零点问题
1．(2026·北京西城区模拟节选)已知函数f (x)＝ax－ln x(a∈R)．若函数f (x)在定义域上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
2．已知函数f (x)＝ax－ln x－2，讨论函数f (x)的零点个数．
3．(隐零点问题)证明：ex－ln (x＋2)＞0．