2027年高考数学一轮复习核心考点 第三章 高考培优4 利用导数研究不等式问题课件（含试题及答案）

这是一份2027年高考数学一轮复习核心考点 第三章 高考培优4 利用导数研究不等式问题课件（含试题及答案），共7页。PPT课件主要包含了高考培优概览，高考培优案例等内容，欢迎下载使用。
1．恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，难度略大．2．导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，解题方法多种多样，难度较大．
题型一　利用导数证明不等式[典例1]　(人教A版选择性必修第二册P99习题5.3T12)利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：(1)ex>1＋x，x≠0；(2)ln x1＋x等价于ex－x－1>0，令f (x)＝ex－x－1，∴f ′(x)＝ex－1，而f ′(0)＝e0－1＝0，∴当x0，f (x)单调递增．故f (x)>f (0)＝0在x≠0时恒成立，即ex－x－1>0(x≠0)，∴ex>1＋x，x≠0．如图，由图象可直观得到ex>1＋x，x≠0．
∴x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故g(x)>g(0)＝1>0在x>0时恒成立，即ex－x>0，∴x0时恒成立．综上，ln xg(x)，但f (x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
通性通法：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max；a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min．
通性通法：a≥f (x)能成立⇔a≥f (x)min；a≤f (x)能成立⇔a≤f (x)max．
培优训练(四)　利用导数研究不等式问题(A)
1．(2025·保定月考)设函数f (x)＝ex－1，其中e为自然对数的底数．求证：(1)当x＞0时，f (x)＞x；(2)ex－2＞ln x．
[证明]　(1)令g(x)＝f (x)－x＝ex－1－x，则g′(x)＝ex－1，当x＞0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g(x)＞g(0)＝0，即当x＞0时，f (x)＞x成立．
2．(2026·汉中模拟)已知函数f (x)＝ln x＋x2－ax，a∈R．若存在x使得f (x)≤2ln x，求实数a的取值范围．
因为y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x2＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，且当x＝1时，y＝0．所以当x∈(0，1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，所以h(x)min＝h(1)＝1，所以a≥1．所以实数a的取值范围为[1，＋∞)．
3．(2026·三明模拟)已知函数f (x)＝x ln x－ax．(1)当a＝－1时，求函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f (x)≤x2＋2恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝－1时，f (x)＝x ln x＋x，f ′(x)＝ln x＋2，则f (1)＝1，f ′(1)＝2，所以函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．
培优训练(四)　利用导数研究不等式问题(B)
2．(2024·全国甲卷节选)已知函数f (x)＝(1－ax)·ln (1＋x)－x，当x≥0时，f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex＋cs x－2，f ′(0)＝0．当x＜0时，ex＜1，cs x≤1，则f ′(x)＝ex＋cs x－2＜0，所以f (x)在(－∞，0)上单调递减．当x＞0时，设h(x)＝ex－2＋cs x，则h′(x)＝ex－sin x．因为ex＞e0＝1≥sin x，所以h′(x)＞0恒成立，所以h(x)即f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)＞f ′(0)＝0．所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．综上，f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．