2026湖南长沙市雅礼集团中考一模数学试卷

这是一份2026湖南长沙市雅礼集团中考一模数学试卷，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在下列四个数中，其中是无理数的是（ ）
A．227B．39C．−3.1416D．2026
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x7÷x5=2x2B．2x3⋅3x2=6x6
C．(−2x)3=−6x3D．2x2+x2=2x4
3．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量大约为0.000005千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A．0.5×10−5千克B．5×106千克
C．5×10−6千克D．5×10−5千克
4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．一家鞋店在一段时间内销售某种品牌的女鞋30双，各种尺码的销量如下表：
如果鞋店要购进100双这种品牌的女鞋，那么其中23.5cm，24cm，24.5cm三种尺码的鞋进货数量最合适的是（ ）．
A．24双B．65双C．80双D．94双
6．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=25°，那么∠2的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
8．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BD=4,AD=6，且∠BCD=∠A，则BC的长为（ ）
A．2B．25C．210D．410
9．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，且点O在底边AC上，AB=2，则AB的长是（ ）
A．πB．32πC．2πD．12π
10．如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班B．2班C．3班D．4班
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：m−ma2= ．
12．使代数式x−2026有意义的x取值范围是 ．
13．当x= 时，分式1x−2与1x+2的值互为相反数．
14．如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠ABC=60°，则弦AC的长等于 ．
15．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为 度．
16．雅雅让同学们猜一个两位数，四位同学对这个数作出了如下猜测：
甲：“这个数比60小，它是个双数．”
乙：“这个数比80大，它是个单数．”
丙：“这个数的数字和是12；它加上5后是11的倍数．”
丁：“这个数加上9后是10的倍数；它加上6后是7的倍数．“
雅雅检查后发现，每个同学都恰好说对了一半，这个两位数是 ．
三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，第24、25小题每小题10分，共72分）
17．计算：2sin30°+13−2−(3−π)0−|−2|．
18．先化简，再求值：a2−4a2−4a+4−12−a÷1a2−2a，其中a=−1．
19．烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由2932块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端A点处观测纪念塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测纪念塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB是16m，求：
（1）楼房与纪念塔底部距离AD的长（保留根号）；
（2）该纪念塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：3≈1.73,sin65°≈0.91,cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
20．国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位．
其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a=___________，b=___________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为_________人；
（4）张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率．
21．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P、交⊙O于点Q，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠A=22.5°，r=2，求图中阴影部分的面积．
22．网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示：
（1）求A，B两种饮品的单价；
（2）某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？
23．如图1，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设ADAE=λ(λ>0)．
（1）若CE=FE，求证：λ=1；
（2）如图2，若AB=3,AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
24．在平面直角坐标系中，对于抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象上两个不同的点Px1,y1，Qx2,y2，我们不妨约定：
如果满足a2+ay1+y2+y1y2=0，且y1≠y2，则称点P与点Q是一对“失衡点”；
如果满足2a2−2ay1+y2+y12+y22=0，则称点P与点Q是一对“平衡点”；
若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”．
（1）判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数y=x2+1是“完备函数”；（ ）
②函数y=−x2+2x上存在无数对“失衡点”；（ ）
③若点P与点Q是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（ ）
（2）已知抛物线y=ax2−a(a≠0)与一次函数y=kx+m相交于两点P、Q，且P、Q恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若x1=4−x2，直线PQ是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)是“完备函数”，点A、B是一对“平衡点”．抛物线的顶点为E，它与x轴交于C、D两点．当△CDE是等边三角形时，记△ABE的面积为S，试求S3+a2的最小值．
25．如图，四边形ACPD是⊙O的内接四边形，点B是DC延长线上一点，连接AB、AD、AP，AP交直径CD于E，若∠BAC=∠ADB，tan∠ADB=12，AB=210．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AP平分∠CAD，求PEAP的值；
（3）设CE=x，记a=CP⋅PDPE,b=AE⋅EP，若y=AC2⋅AD2a2+b，求y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、227是分数，属于有理数；
B、39开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
C、−3.1416是有限小数，属于有理数；
D、2026是整数，属于有理数.
故答案为：B.
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数是有理数，有理数分为整数与分数，整数分为正整数、零和负整数，分数分为正分数与负分数；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，
∴2x7÷x5=2⋅x7−5=2x2，运算正确；
B、∵单项式乘法中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴2x3⋅3x2=2×3⋅x3+2=6x5≠6x6，运算错误；
C、∵根据积的乘方法则，abn=anbn，
∴−2x3=−23⋅x3=−8x3≠−6x3，运算错误；
D、∵合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加，
∴2x2+x2=2+1x2=3x2≠2x4，运算错误．
故答案为：A.
【分析】单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除的商作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母则连同指数作为商的一个因式(同底数幂相除，底数不变指数相减)据此可判断A选项；单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘的积作为积的因式，对于只在其中一个因式中含有的字母则连同指数作为积的一个因式(同底数幂相乘，底数不变，指数相加)，据此可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示一粒粟的重量约为5×10−6千克．
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的手机手势解锁图案是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
B、此选项中的手机手势解锁图案不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、此选项中的手机手势解锁图案不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、此选项中的手机手势解锁图案不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由表格可知，23.5cm，24cm，24.5cm三种尺码的鞋的占比为9+8+330=23，
100×23=2003≈67（双），
结合选项可知，最适合的是65双．
故答案为：B.
【分析】由统计表提供的信息可得尺码为23.5cm，24cm，24.5cm的销售数量依次为7双、9双、8双，从而用销售这三种尺码的鞋的数量除以销售该品牌鞋数量得出销售这三种尺码的鞋的占比，最后用购进该品牌鞋的总数量乘以样本中销售这三种尺码的鞋的占比即可估计出三种尺码的鞋进货数量最合适的数量.
6．【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵∠1+∠3=90°，∠1=25°，
∴∠3=90°−∠1=90°−25°=65°，
∵a∥b，
∴∠3=∠2=65°.
故答案为：B.
【分析】由学具的性质及角的构成可求出∠3=65°，然后根据二直线平行，同位角相等可求出∠2=∠3=65°.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=20°∴∠B=∠BCA=12180°−20°=80°，
∵由图中尺规作图痕迹可知，CD为∠BCA的角平分线，
∴∠BCD=12∠BCA=40°．
故答案为：C．
【分析】在△ABC中，利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠ACB=∠ABC=80°，由尺规作图痕迹可得CD为∠BCA的角平分线，然后根据角平分线的定义即可得出∠BCD的度数.
8．【答案】C
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠CBD=∠ABC，∠BCD=∠A，
∴△CBD∽△ABC，
∴BDBC=CBAB，
∴4BC=CB4+6，
解得BC=210．
故答案为：C.
【分析】结合公共角，由有两组角相等的两个三角形相似得△CBD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长.
9．【答案】D
【知识点】弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC内接于⊙O，且点O在底边AC上，
∴AC是直径，∠A=∠C，AB=BC=2，
∴∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=2+2=2
∴OC=1；
连接OB
∵OC=OA，△ABC是等腰三角形，
∴OB⊥AC，
则∠BOA=90°，
∴AB=90°π×1180°=π2．
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形定义得出AB=BC=2，由直径所对圆周角为直角得出∠ABC=90°，然后利用那个勾股定理算出AC=2，连接OB，由等腰三角形的三线合一得出OB⊥AC，然后根据弧长公式“l=nπr180”列式计算即可.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的表达式为y=kxk>0，
过2班点，3班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，
设1班点为x1,y1，2班点x2,y2，3班点为x3,y3，4班点x4,y4，点A为x2,y2'，点B为x3,y3'，
由图象可知：y2'>y2，y3y2，y3