高考数学一轮复习考点讲与练专题57 二项分布、超几何分布、正态分布讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题57 二项分布、超几何分布、正态分布讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了伯努利试验与二项分布，超几何分布，正态分布，6827；等内容，欢迎下载使用。

1．伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)二项分布的均值、方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．其均值E(X)＝eq \f(nM,N)，D(X)＝eq \f(nM,N)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(M,N)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n－1,N－1)))．
3．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \s\up5(\f(（x－μ）2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
④曲线与x轴围成的面积为1；
⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示；
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示．
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(4)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．9973．
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
常用结论：
1．二项分布当n＝1时就是两点分布．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题．
►考点01 二项分布及其应用

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【例1】（2025春•信阳期末）某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X∼B（n，0.8），记Pk＝P（X＝k），k＝0，1，2，⋯，n，若P7是唯一的最大值，则D（X）的值为（ ）
A．1.28B．1.6C．6.4D．8
【答案】A
【分析】根据给定条件，列出不等式求出n，再利用二项分布的期望公式计算得解．
【解答】解：由题意可知，，k＝0，1，2，⋯，n，
若Pk是唯一的最大值，则
解得．
因为k＝7，p＝0.8，
所以7.75＜n＜9，
又因为n∈N，所以n＝8，
所以D（X）＝np（1﹣p）＝8×0.8×（1﹣0.8）＝1.28．
故选：A．
【例2】（2025春•乐山期末）若随机变量服从二项分布且，则
A．3B．6C．9D．12
【答案】
【分析】由二项分布的概率公式结合，求得，利用二项分布的均值公式和性质求解．
【解答】解：由，解得．
又，，
所以．
故选：．
【例3】（2025春•自贡期末）若随机变量，则P（X＝3）＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式求出P（X＝3）．
【解答】解：因为X～B（4，），
所以P（X＝3）＝＝．
故选：C．
【例4】（2025春•福清市期末）中国国际大数据产业博览会（简称“数博会” 从2015年在贵阳开办，至今已过9年．某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且．
（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；
（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）200人；（2）分布列见解析，0.6．
【分析】（1）由变量近似服从正态分布，求得，进而得到问卷成绩在80分以上的市民人数；
（2）根据题意，得到随机变变量，结合对立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望．
【解答】解：（1）因为随机变量近似服从正态分布，且，
所以，所以，
所以估计抽取市民中问卷成绩在8（0分）以上的市民人数为200人．
（2）由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为0.2，且，
所以随机变量的分布列为，
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的均值为．
【例5】（2024春•四川期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为．
①求的方差；
②当为何值时，的值最大？
【答案】（1）0.75；
（2）①；
②．
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解；
②，结合数列单调性分析求解．
【解答】解：（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，
由题意可知：，
则，
所以，
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75；
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是，
所以当时，最大，即时，的值最大．
►考点02 超几何分布及其应用

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【例6】（2024春•常州期中）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
【答案】（1）
（2）．
【分析】（1）由题意知随机变量的所有可能取值，且服从超几何分布，计算对应的概率值，写出的分布列；
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，利用互斥事件的概率和计算所求的概率值．
【解答】解：（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
且服从参数为，，的超几何分布，
因此；（1分）
所以，
，
，
；（4分）
所以的分布列为：
（6分）
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出1个红球和2个黑球”
为事件，“恰好取出2个红球”为事件，“恰好取出3个红球”为事件，（7分）
由于事件，，彼此互斥，且，
而，
，
，（10分）
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
．（11分）
答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．（12分）
【例7】（2024春•和平区期末）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，
（1）请列出的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
【答案】（1）
（2）．
【分析】（1）本题是一个超几何分步，用表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．
（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．
【解答】解：（1）依题意得，随机变量服从超几何分布，
随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4．
．
所以的分布列为：
（2）由分布列可知至少选3名男生，
即．
【例8】（2024春•余江县期中）某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望．
【答案】（1）；
（2）的分布为：
．
【分析】设该批产品中次品有件，由已知，可求次品的件数
（1）设取出的3件产品中次品的件数为，3件产品中恰好有一件次品的概率为；
（2）取出的3件产品中次品的件数可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望．
【解答】解：设该批产品中次品有件，由已知，
（2分）
（1）设取出的3件产品中次品的件数为，3件产品中恰好有一件次品的概率为（4分）
（2）可能为0，1，2
（10分）
的分布为：
则（13分）
【例9】（2009•朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）3个；
（Ⅲ）
．
【分析】（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系，求出的值，从而求出红球的个数．
（Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；
【解答】解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件，则．
所以，．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为．（4分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件，则，
整理得，解得（舍或．
所以红球的个数为个．（8分）
（Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，且，，，，．
所以的分布列为
所以，．（13分）
【例10】一个袋子内装有若干个颜色为红、白、黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取2个小球，取到同色球的概率为．
（1）求袋子内小球的个数；
（2）若从中随机抽取3个小球，设取出白球的个数为，求的分布列；
（3）若一次只抽取1个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的概率．
【答案】（1）8；
（2）的分布列为：
（3）．
【分析】（1）设红球、白球、黑球的个数分别为，， ，则，进而求出的值即可；
（2）由题意可知，的所有取值为：0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列；
（3）利用全概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设红球、白球、黑球的个数分别为，， ，
因为从中随机抽取2个小球，取到同色球的概率为，
所以，
即，
整理得，因为，
所以，
所以袋子内小球的个数为8；
（2）由（1）知，袋子内有8个小球，其中4个白球，
故的所有取值为：0，1，2，3，
则，，，，
所以的分布列为：
（3）设第一次抽取的是红球、白球、黑球分别为事件，，，第二次抽取的是黑球为事件，
则（D）（A）（B）（C） ，
所以第二次抽取的是黑球的概率为．
►考点03 正态曲线及正态分布的概率计算

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【例11】（2025春•东莞市期末）已知随机变量，且，则
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性可求得结果．
【解答】解：因为随机变量，且，
所以，
所以．
故选：．
【例12】（2025春•蚌埠期末）已知随机变量服从正态分布，则
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由正态分布的性质求解即可．
【解答】解：由随机变量服从正态分布，
可得，
故，对比选项可知，只有正确．
故选：．
【例13】（2025春•福清市期末）设随机变量，，则
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
【答案】
【分析】根据题意，由正态分布曲线的对称性，结合，即可求解．
【解答】解：因为随机变量，且，
所以由正态分布曲线的对称性得：，
所以．
故选：．
【例14】（2025春•株洲期末）设随机变量服从正态分布，，服从正态分布，，下列说法中错误的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可．
【解答】解：随机变量服从正态分布，，，，
服从正态分布，，，，
选项：，
，
故，命题正确；
选项：，
，所以，命题正确；
选项：，
，
所以，命题正确；
选项：，
，
所以，命题错误．
故选：．
【例15】（2025春•安庆期末）已知随机变量服从正态分布，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性可得，从而求出答案．
【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
可得对称轴为，
由对称性可知，
故．
故选：．
►考点04 正态分布的实际应用

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【例16】（2025春•未央区期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件型零件，为了解该企业型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：，所得尺寸数据的统计结果如下表：
（1）求这40件型零件尺寸的平均数和方差；
（2）假设该企业一天中生产的型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的型零件中，尺寸小于的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1），；
（2）少于40件．
【分析】（1）设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得；
（2）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数．
【解答】解：（1）由题设，，，
所以；
由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差，
所以，，
而，即，
所以，，而，
所以，可得；
（2）由（1）（2）知零件服从，
则，
这一天生产的型零件中，尺寸小于的零件有，
所以这一天生产的型零件中，尺寸小于的零件少于40件．
【例17】（2025春•黄冈月考）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习”学习的时长（单位：小时），43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．
（1）现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率．
（2）若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；
②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在，内，则为何值时，的值最大？
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1）；
（2）①841；②14．
【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算；
（2）①由样本数计算，进而利用求解即可；
②首先求在，内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值．
【解答】解：（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为．
由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7，
则，
所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为．
（2）①由样本数据知，．
因为，
所以，
所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841．
②每名教师的学习时长在，内的概率为，
由题意可知，则，
设，则．
令，得，所以当时，，
令，得，所以当时，，
所以当时，最大，即使最大的的值为14．
【例18】（2025•蚌埠模拟）为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如图所示：
①计算这一天平均值与标准差；
②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：，，，，，，，，．
【分析】（1）由题意求出或，由对立事件的概率公式求，结合，利用正态分布的期望公式求的数学期望；
（2）①由茎叶图可得10个数据：97，97，98，98，105，106，107，108，108，116．求出与；
②由①求出零件内径在之外的概率只有0.0026，而，根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．
【解答】解：（1）由题意知：或
，
，
，
；
（2）①由茎叶图可得10个数据：97，97，98，98，105，106，107，108，108，116．
则．
．
；
②结论：需要进一步调试．
理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，，
．
零件内径在之外的概率只有0.0026，而，
根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．
【例19】（2025•长春模拟）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
（1）抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在，的概率；
（2）游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10，时，游戏结束．
①设员工在游戏过程中累计得分的概率为，求；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据：，，，，，
【答案】（1）0.1359；
（2）①．
②50001元．
【分析】（1）由，，再根据正态分布的对称性计算即可得解；
（2）①当时，由题意构建递推式，再证明为等比数列，由此得到，累加进而得到，当时，，即可求解；
②由题意可得，即可求解．
【解答】解：（1）由题意知，，
则．
（2）①由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数小于等于4或获得分时掷骰子点数大于4，
而掷骰子点数小于等于4的概率为，掷骰子点数大于4的概率为，
，
则，，
为等比数列，
由，，故首项为，
，，，，
将所有等式相加得，
，
当时，，
综上，．
②
（元．
估计游戏奖励的预算资金为50001元．
【例20】（2024•市中区模拟）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．
附：若，取，．
（1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
（2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明．
【答案】（1）0.2718；
（2）①可靠性为，增加一个元件后系统的可靠性会提高；②当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高．
【分析】（1）直接根据题目条件及给定的正态分布数据求解；
（2）利用二项分布的概率性质求解可靠性，并比较不同的取值下可靠性的大小关系即可，当然也可以采取其它的思路求解．
【解答】解：（1）技术改造前，易知，，则其优品率为；
技术改造后，，，则其优品率为．
所以优品率之差为．
（2）①记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数．
由条件知，，．
，．
因为，所以可靠性提高．
②根据上一问的假设，易知，．
当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，
．
所以，，这说明可靠性降低．
当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，
．
所以，，这说明可靠性提高．
综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高．
二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k的三个条件：
(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；
(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；
(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
0
1
2
3
0.512
0.384
0.096
0.008
1．随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2．求超几何分布的分布列的步骤
步骤一
验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值
步骤二
根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率
步骤三
列出分布列
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3
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1．注意活用下面两个结论：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．
正态分布出现在解答题中，通常与二项分布、超几何分布相结合．解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴为直线x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值，由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
平均尺寸
方差
甲生产线件型零件
80
36
乙生产线件型零件
70
16