高考数学一轮复习考点讲与练专题57 二项分布、超几何分布、正态分布同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题57 二项分布、超几何分布、正态分布同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了已知随机变量，若，则，随机变量，若，则，已知随机变量，且，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•泰安期末）已知随机变量，若，则
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.7
2．（2025春•安徽期末）随机变量，若，则
A．0.1B．0.5C．0.2D．0.3
3．（2025春•咸宁期末）已知随机变量服从正态分布，且，则的值为
A．1B．6C．7D．9
4．（2025春•攀枝花期末）已知随机变量服从正态分布，若，则
A．B．C．D．
5．（2025春•梅州期末）某次高二数学调研测试中，考生成绩服从正态分布，若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为
A．B．C．D．
6．（2025春•沈阳期末）某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为
A．6B．12C．18D．24
7．（2025春•锦州期末）若X～N（0，1），则P（﹣1≤X≤1）≈0.6827，P（﹣2≤X≤2）≈0.9545，P（﹣3≤X≤3）≈0.9973．今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为Y（单位：毫米），且Y～N（5.40，0.052），现从中随机抽取10000个，其中恰有K个零件的该项质量指标位于区间（5.35，5.55），则K的估计值为（ ）
A．6895B．8400C．9545D．9973
8．（2025春•保定期末）已知随机变量，且，则
A．0.25B．0.45C．0.15D．0.35
9．（2025春•鼓楼区期末）已知随机变量服从正态分布，若，则
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
10．（2025春•乐平市期末）若随机变量服从正态分布，，，则的最小值为
A．8B．9C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•资阳期末）已知袋装食盐标准质量为．设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，，且，，，，则
A．B．
C．D．
（多选）12．（2025•山海关区模拟）在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则
A．B．
C．D．
（多选）13．（2025春•咸阳期末）在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则
A．B．
C．D．
（多选）14．（2025春•崇左期末）若随机变量，，则
A．B．
C．D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•百色期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
16．（2025春•信阳期末）随机变量，若，则 ．
17．（2025春•农安县期末）设随机变量服从正态分布，若，则 ．
18．（2025•苏州校级模拟）2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流．某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布N（100，0.01）（单位：g），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在100g～100.2g范围内的个数约为 ．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：
（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
（i）求这件零件是次品的概率；
（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．
20．（2025春•河南月考）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为X（单位：cm，以下同），且X∼N（20，0.0001）．
（1）分别写出E（X），D（X）的值；
（2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在[19.97，20.03]内的铜棒根数；
（3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在[19.98，20.03]内的概率．
参考数据：若X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
21．（2025春•武威期中）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上的学生有12人．
（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？
（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？
附正态分布3σ概率表：
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973
22．（2025春•商丘期中）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标X服从正态分布N（113，144）），航天员在此项指标中的要求为X≥137．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标X的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为12，12，13，14，且每个环节的选拔相互独立．
（1）估计这307名学生中符合“X≥137”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）；
（2）如果符合“X≥137”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数Y的方差．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．
23．（2025•浦东新区校级三模）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：
（1）求成对数据（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的相关系数；
（2）求特征量y关于x的回归方程，并据此估算特征量x＝10时，y的值；
（3）设特征量x作为随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为5次试验中x的平均数，σ2为5次试验中x的方差．求P（3.84＜X＜13.32）．（本题所有答数精确到0.01．）
24．（2025春•龙岗区校级期中）假设某地区高二学生的身高服从μ＝170、σ2＝100的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求：
（1）这名学生的身高不高于170的概率；
（2）这名学生的身高在区间[160，180]内的概率；（结果精确到0.1%）
（3）这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%）参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】由正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
所以．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求解．
【解答】解：根据题意可知，，
所以．
故选：．
3．【答案】
【分析】由正态分布的对称性计算即可．
【解答】解：根据题意可知，正态分布的图象关于对称，
又，，解得．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解．
【解答】解：随机变量服从正态分布，其中均值，
根据正态分布的对称性，，即，
故．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解．
【解答】解：根据题意可知，，
正态曲线的对称轴为，
故．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：成绩服从正态分布，，
，
所以本班在100分以上的人数约为．
故选：．
7．【答案】B
【分析】先由题设求出P（5.35＜Y＜5.55）＝0.84，从而得到K～B（10000，0.84），再求出E（K）即可得解．
【解答】解：因为Y～N（5.40，0.052），
由正态分布的对称性可得，
则K～B（10000，0.84），所以E（K）＝10000×0.84＝8400．
所以K的估计值为8400．
故选：B．
8．【答案】
【分析】根据正态分布的对称性计算即可．
【解答】解：．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．
【解答】解：正态分布的对称轴为，因此：，
已知，故，
整个样本空间的概率和为1，因此：，
由于关于对称，故和相等，
则，
综上，．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据正态分布的性质得，，，再应用基本不等式“1”的代换求最小值．
【解答】解：若随机变量服从正态分布，，，
由正态分布的性质得，
则，，，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：选项，作出随机变量，的正态分布密度曲线草图，
根据对称性，所以，故正确；
选项，由，故错误；
选项，由，故正确；
选项，对于正态分布，给定，是一个只与有关的定值，
所以，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据正态分布的期望及方差判断，，再应用正态分布的对称性计算判断，．
【解答】解：已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，
对于，因为，，，，
所以，，故正确，错误；
对于，因为，故正确；
对于，，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】根据题意，由正态分布的定义和性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则，正确；
对于，，则，错误；
对于，，
而，则，
，错误；
对于，，则，
，则，
故，正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】根据正态分布三段区间的概率性质及对称性判断各项的正误．
【解答】解：根据题意可知，，则，，由，则，，
：由，即，对；
由，即，错，对；
：由，即，错．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】0.25．
【分析】由对称性可得，利用求出答案．
【解答】解：根据题意可知，随机变量服从正态分布，
根据正态曲线的对称性可知，
所以．
故答案为：0.25．
16．【答案】．
【分析】根据正态分布的性质计算．
【解答】解：根据题意可知，随机变量，若，
则，．
故答案为：．
17．【答案】2．
【分析】根据正态分布曲线的对称性质即可求解．
【解答】解：随机变量服从正态分布，则均值，方差，标准差，
若，则和关于对称，即满足，
题目中给出，对比上述关系可知：，，且，
根据对称性公式，代入，和，得：，故．
故答案为：2．
18．【答案】239．
【分析】根据正态分布曲线的对称性可解．
【解答】解：已知质量服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，，
又，
则，
则抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为．
故答案为：239．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）80，0.8185；
（2），．
【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）借助全概率公式计算即可得；
由贝叶斯公式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，由表中的数据，，
因为，，则，
则，
（2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件；
“抽取的零件是乙机床生产”记为事件；
“抽取的零件是次品”记为事件，
则，，，，
则，
．
20．【答案】（1），；
（2）9973；
（3）0.9759．
【分析】（1）由正态分布概念可确定，；
（2）注意到，，，由题利用可得答案；
（3）由，结合题意可得答案．
【解答】解：（1）根据题意可知，，，，
则，；
（2），，，
因，则直径在，内概率约为0.9973，
则直径在，内的铜棒根数为；
（3），，，
因，，
则，
，
则．
21．【答案】（1）527人；（2）84人．
【分析】（1）利用正态分布的性质得到成绩在90分以上（含90分）的概率，进而求得总人数；
（2）利用正态分布的性质得到成绩在80分以上（含80分）的概率，进而结合（1）中所得总人数求得．
【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为，由题可得，
所以，，
则
，
（人，
因此，此次参赛学生的总数约为527人．
（2）由
，
（人．
因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人．
22．【答案】（1）7；
（2）．
【分析】（1）利用正态分布密度曲线的性质先求，再求人数．
（2）利用二项分布的方差公式求方差．
【解答】解：（1）已知在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．
．
因为，
所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7．
（2）已知设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立，
学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：，
由题意，，
所以．
23．【答案】（1）0.99；
（2）7.32；
（3）0.82．
【分析】（1）根据相关系数计算公式可解；
（2）根据回归直线方程相关知识可解；
（3）根据正态分布曲线相关知识可解．
【解答】解：（1）数据输入计算器，得；
（2）数据输入计算器，得回归直线方程，
据此，当时，约为7.32，
（3）数据输入计算器，得，，
令，则，
从而，
由计算器的标准正态分布计算功能可得：
．
24．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由正态分布的性质求解；
（2）由正态分布的性质求解；
（3）由正态曲线的对称性和概率加法公式求解．
【解答】解：（1）设该学生的身高为，由题意可知，．
；
（2）；
（3）由（2）以及正态曲线的对称性可知，
由概率加法公式可知：
．性能指标X
66
77
80
88
96
产品件数
10
20
48
19
3
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
x
x1＝2
x2＝5
x3＝8
x4＝9
x5＝11
y
y1＝12
y2＝10
y3＝8
y4＝8
y5＝7
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
A
B
B
B
D
B
B
题号
11
12
13
14
答案
ACD
ACD
AD
AC