高考数学一轮复习考点讲与练专题56 离散型随机变量的分布列及数字特征讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题56 离散型随机变量的分布列及数字特征讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了离散型随机变量，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的分布列的性质，离散型随机变量的均值与方差，两点分布的分布列及其数字特征，均值与方差的性质等内容，欢迎下载使用。

1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．
4．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi
为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．两点分布的分布列及其数字特征
若X服从两点分布，则分布列如下：
期望E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
6．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论：
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．
3．均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
►考点01 离散型随机变量分布列的性质

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【例1】（2025春•石家庄期末）如表是某离散型随机变量的分布列，则实数
A．B．C．或D．1
【答案】
【分析】根据分布列的性质进行求解即可．
【解答】解：根据分布列的性质可知：，解得或．
故选：．
【例2】（2025春•玉林期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为：
则等于
A．B．C．1D．
【答案】
【分析】由概率和为1即可求解．
【解答】解：由离散型随机变量的分布列的概率和为1，
可得，解得．
故选：．
【例3】（2025春•清远期末）如表所示，则p＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质列式求解即可．
【解答】解：由题意可得7p++p＝1，
解得p＝．
故选：A．
【例4】（2025春•石家庄期末）已知离散型随机变量的分布列为，则
A．B．C．D．1
【答案】
【分析】根据题意，由，结合分布列计算可得答案．
【解答】解：根据题意，离散型随机变量的分布列为，
则．
故选：．
【例5】（2025春•辛集市期末）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程求出，再求即可．
【解答】解：由题意可得，
即，解得或，
当时，，不合题意，所以．
则．
故选：．
►考点02 与互斥事件、独立事件有关的分布列

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【例6】（2025春•重庆期末）某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量（单位：个）的分布列为：
其中，．每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的．记事件：一个家庭单月节省电量总和至少为4度．若事件发生，则认为该家庭完成节能目标．
（1）求与的比值；
（2）每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量（单位：度）的分布列如下，
其概率满足下列条件：
①；②
求，的值；
若政府希望有以上的家庭完成节能目标（即（A），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由．
【答案】（1）；
（2），；
能．
【分析】（1）利用分布列概率和等于1求得；
（2）根据已知分布列，结合其满足的两个条件，先求得，再利用分布列的概率之和为1求得；
（ⅱ）利用全概率公式求得（A），，利用导数研究其单调性进而证得对任意，有（A），即可得答案．
【解答】解：（1）随机变量表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1，
所以，，，，
所以；
（2）由于取离散整数值，分析条件，，
故：，
概率总和为，
代入，得，
解得；
事件：一个家庭单月节省电量总和至少为4度，即总节省电量．
总节省电量，其中独立同分布于，与独立．
由（1）知，
故的分布为：，，
，，
计算
若，则，故；
若，则，
故；
若，则，需，
计算
，，，概率为；
或，概率为；
故，
所以，
若，则，需．
计算
仅当所有，
概率为，
故，
则（A）
，
设函数（A），，
求导得，
令，
则，为开口向下的抛物线，，（1），
所以存在唯一的实数，使得，
且内，单调递增，
内，单调减，
又，（1），
所以存在唯一的实数，使得，
且内，单调递增，内，单调减，
又因为当趋于，（A）趋于，
当趋于，（A）趋于，
所以在内，（A）恒成立，
因此，对任意，有（A），
即政府目标总能完成．
【例7】（2024•毕节市三模）某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩服从正态分布，，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．
（Ⅰ）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？
（Ⅱ）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，11，，，若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？
【答案】（1）456分；
（2）39万元．
【分析】（1）由正态分布的性质，以及对称性代入数值计算，由此分析判断即可；
（2）先确定的可能取值，再由概率公式计算出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，服从正态分布，，，
因为，，
所以，
根据正态曲线的对称性，
则，，
所以，
若40万考生中一本院校招收6万考生，
则一本院校考生占比为，
所以这一年一本最低录取分数为456；
（2）的可能取值为5，20，
所以，
，
故的分布列为：
所以，
又因为一本院校招生一共6万人，每人的花费期望值为6.5元，
故总额为万元．
【例8】（2025春•重庆月考）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中．
（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列；
（2）设结束后，细胞数量为的概率为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：．
【答案】（1）分布列见解析；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ）证明见解析．
【分析】（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列；
（2）求出第时分裂为2个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；
求出第时分裂为3个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证．
【解答】解：（1）结束后，的取值可能为1，2，3，4，
其中，
，
，
，
所以的分布列为：
（2）表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞．
不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，
此事件概率，
所以．
代表分裂后有3个细胞的概率，
设细胞在后分裂为2个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞，
此事件的概率，
得，
，
其中，．
令，，
记，，令，得．
当，，单调递增；当，，单调递减．
故，
也就是．
【例9】（2025春•桃城区月考）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表．已知抽取的90只小鼠的样本极差为5．现从日均睡眠时长在6～8的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为6，7，7，8，7．
（1）求s，t；
（2）求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差；
（3）从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值X的分布列．
【答案】（1）s＝4，t＝16；
（2）；
（3）分布列见解析．
【分析】（1）根据样本极差的定义，直接计算即可；
（2）根据方差公式直接计算即可；
（3）先求出X各取值对应的概率，进而求出分布列．
【解答】解：（1）因为样本极差为5，s＝9﹣5＝4，t＝90﹣6﹣19﹣25﹣16﹣8＝16．
（2）参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为，
所以方差．
（3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为6，7，7，8，7，
故X可能值为0，1，2．
故，
P（X＝2）＝＝，
，
故X的分布列为
【例10】 10．（2025春•石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员每场比赛犯规4次以上的概率为．
（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；
（2）用表示比赛结束时比赛场数，求的分布列；
（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；
（3）．
【分析】（1）根据全概率公式，即可求解；
（2）由题意可得，3，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，即可求解的分布列；
（3）根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛，
在规则允许的情况下，甲班球员都会参赛，
他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员每场比赛犯规4次以上的概率为，
设为“第场甲队获胜”， 为“球员第场上场比赛”， ，2，3，
根据全概率公式可得；
（2）由题意可得，3，
又，由（1）知，
，，
，
，
所以的分布列为：
（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，
，此时，
甲班比赛获胜的概率为：．
►考点03 与古典概型有关的分布列

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【例11】（2025春•福清市期末）某运动会需要招募一批志愿者，测试合格者录用为志愿者．现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格．若甲能答对其中的5道题，求：
（1）甲测试合格的概率；
（2）甲答对的试题数的分布列．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析．
【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果；
（2）由题意可得，可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列．
【解答】（1）．现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，
至少答对2道题者视为合格．
若甲能答对其中的5道题，
设甲测试合格为事件，则．
（2）甲答对的试题数可以为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为：
【例12】（2024秋•邢台期末）袋中装有4个大小相同的小球，编号为1，2，3，4，现从袋中有放回地取球2次．
（1）求2次都取得3号球的概率；
（2）记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析．
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求得答案；
（2）确定的取值，求出每个值对应的概率，即可求得分布列．
【解答】解：（1）由题意从袋中有放回地取球2次，每次取到3号球概率为，
故2次都取得3号球的概率．
（2）随机变量的取值为1，2，3，4，则，
，
，
所以的分布列为：
【例13】（2023春•朝阳区期中）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人；乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人．现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．
（1）设事件为“选出的这4个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列．
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）基本事件总数，事件包含的基本事件个数，由此能求出事件发生的概率．
（2）可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
【解答】（1），
（2）可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
的分布列为
【例14】（2024春•连云港期末）某同学会做老师给出的6道题中的4道．现从这6道题中任选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，求：
（1）选做的3道题中该同学会做的题数的分布列；
（2）该同学能及格的概率．
【答案】（1）该同学会做的题目数的分布列为：
（2）．
【分析】（1）根据题意，该同学会做的题目数为1，2，3，则根据超几何分布求概率的方法求出对应的概率，最后写出分布列即可；
（2）根据（1）即可求得答案．
【解答】解：记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为1，2，3，
，，，
所以该同学会做的题目数的分布列为：
（2）由（1），该同学能及格的概率为：．
【例15】（2024秋•滨海新区月考）某课外活动小组共10位同学，利用假期参加义工活动，其中有3位同学参加一次义工活动，有3人参加两次义工活动，剩下4位同学参加三次义工活动，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列．
【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】（1）利用已知条件转化求解事件发生的概率即可；
（2）根据题意知随机变量的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列即可．
【解答】解（1）由题意得，10人中选2人，共有种，
①参加1次义工活动的选1个，参加3次义工活动的选1个的情况有种，
②参加2次义工活动的人选2个有种，
（A），
所以事件发生的概率为．
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
所以随机变量的分布列为：
►考点04 数字特征的计算

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【例16】（2025春•南充期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为．
（1）设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：；
（2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差．
【答案】（1）证明见解析；
（2）分布列见解析，，．
【分析】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明；
（2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差．
【解答】解：（1）证明：已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件，
第二台车床加工的零件有件，合格品有件，
混合后的合格率为，解得；
（2）由可知，一个零件来自第二台车床概率为，
随机变量可能取值有0，1，2，3，4，来自第二台车床零件的个数服从二项分布，
则，
，，1，2，3，4，
所以的分布列为：
所以，；
【例17】（2025春•凉州区期末）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为．
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）求的均值和方差．
【答案】（Ⅰ）的分布列为：
（Ⅱ），．
【分析】（Ⅰ）设挑选的2台电脑中，品牌的台数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，进而得到的分布列；
（Ⅱ）利用期望公式和方差公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）设挑选的2台电脑中，品牌的台数为，
则的可能取值为0，1，2，
，，，
故的分布列为：
（Ⅱ），
所以．
【例18】（2025•上海模拟）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是．
（1）分别求出小球落入袋和袋中的概率；
（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球的个数．求的分布列、数学期望和方差．
【分析】（1）记小球落入袋为事件，小球落入袋为事件，求出利用互斥事件的概率求解．
（2）由已知，1，2，3，，得到分布列然后求解期望．
【解答】解：（1）记小球落入袋为事件，小球落入袋为事件，所以，
从而．
（2）由已知，1，2，3，，
则的分布列为：
．
【例19】（2025•上海三模）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
（1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
（3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数的分布、数学期望及方差．
附：，．
【答案】（1）可以；
（2）；
（3）的分布列为：
，．
【分析】（1）根据题意完成列联表，计算的值，再与临界值比较即可；
（2）根据题意求出600位居民中体能测试合格的人数，再利用样本估计总体，求出从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格的概率；
（3）由（2）可知，再利用二项分布的概率公式、期望公式和方差公式求解．
【解答】解：（1）完成列联表如下：
零假设：体育锻炼达标与性别无关，
则，
所以我们推断不成立，即依据小概率的独立性检验，可以认为体育锻炼达标与性别有关；
（2）600位居民中体能测试合格的人数为人，
用样本估计总体，从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格的概率为；
（3）由题意可知，，的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以的分布列为：
所以，．
【例20】（2025春•城中区期中）某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图，若立定跳远成绩落在区间，的左侧，则认为该学生属“体能不达标”的学生，其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）若该校高三某男生的跳远距离为，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？
（2）该校利用分层抽样的方法从样本区，，，，，中抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在，的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）该男生属于“体能不达标”的学生．
（2）分布列为：
．
【分析】（1）根据频率纵坐标组距，分别求出各组频率各组小矩形面积，由此能求出平均数，从而能判断该男生是否属于“体能不达标”的学生．
（2）由频数频率样本容量，分别求出样本区，，，，，对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题意各：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.3，0.15，0.05，
．
，，
该男生属于“体能不达标”的学生．
（2）由题意跳远距离在，，，，，的人数分别为12人，24人243人，
按分层抽样抽取5人，则，抽1人，，抽2人，，抽2人，
再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在，的人数为，
则的可能取值为0，1，2，
，
，
，
分布列为：
．
►考点05 数字特征的应用

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【例21】（2025•永登县模拟）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．
（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，分别求出相应的概率，从而求出，；乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，且，从而求出，．由，知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
【解答】解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．
（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，
，，
则，
．
乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，
，，．
由，知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
【例22】（2025•单县二模）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】（1）；
（2）分布列见解答，，；
（3）甲公司竞标成功的可能性更大．
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3．求出概率，得到的分布列求解期望；
（3）设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可，比较即可得结论．
【解答】解：（1）分两种情况求概率：
①甲答对2道题，乙答对0道题；②甲答对1道题，乙答对1道题．
其中甲答对道题的概率为，乙答对道题的概率为，
甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为：
．
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3，
，，．
则的分布列为：
，
．
（3）设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
．（或，
，．
由，可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
【例23】（2024春•仁寿县期末）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．
（1）求甲、乙共答对2道题目的概率；
（2）设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
（3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得到答案；
（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，；
（3）设学生乙答对题数为，则所有可能取值为0，1，2，3，由题意知，从而求出，，由，，得到甲代表学生参加竞赛的可能性更大．
【解答】解：（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率为：
．
（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，
，，，
的分布列为：
，
．
（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，则，
，，
，，
甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
【例24】（2024春•和平区期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲公司至少答对2道题目的概率；
（2）分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果；
（2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可．
【解答】解：（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，
所求概率；
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3，
，，，
则的分布列为：
所以，，
设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
所以，
，
由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大．
【例25】（2024春•东莞市月考）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益分别为0元，20万元，40万元，且，期望．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3．
（1）请写出方案一的分布列，并求方差；
（2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【答案】（1）分布列见解析，方差为180；
（2）答案见解析，理由见解析．
【分析】（1）设出，的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差；
（2）依题列出的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得．
【解答】解：（1）设，，
依题意得①，又②，
由①②解得：，，
的分布列为：
则．
（2）由题得的分布列为：
则，
，
由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高，
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
离散型随机变量分布列的性质的应用
应用一
利用“概率之和为1”可以求相关参数的值
应用二
利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率
应用三
可以根据性质判断所得分布列结果是否正确
0
1
0
1
X
0
1
2
P（X）
7p
p
0
1
在求几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率，然后用概率加法公式求概率，审题时应注意关键词语，如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等，在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决．
0
1
2
3
1
2
3
4
5
5
20
0.9
0.1
1
2
3
4
日均睡眠时长
s
5
6
7
8
9
小鼠数量
6
t
19
25
16
8
X
0
1
2
P
2
3
(1)求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求样本点的个数及事件A包含的样本点的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率．
(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
0
1
2
3
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
1
2
求离散型随机变量X的数字特征的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．
(2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由均值的定义求E(X)．
(5)由方差的定义求D(X)．
注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
0
1
2
3
4
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
4
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600
0
1
2
3
不达标
达标
合计
男
50
250
300
女
100
200
300
合计
150
450
600
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
0
20
40
0.1
0.3
0.6
10
20
30
0.3
0.4
0.3