第56讲　二项分布与超几何分布高考数学一轮复习讲义练习

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激活思维
1. (人A选必三P76练习T1(2))将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则E(X)＝__________________，D(X)＝___________________．
2. (人A 选必三P74例1改)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则恰好出现5次正面朝上的概率是___________________．
3. (人A 选必三P80练习T1)一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐．从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率是___________________．
4. (人A选必三P80练习T2)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率是___________________．
5. (人A 选必三P80习题T2)若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是__________________．
聚焦知识
一、 二项分布
1. 伯努利试验
只包含___________________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为__________________．
2. 二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C eq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__________________．
3. 两点分布与二项分布的均值、方差
(1) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝____________，D(X)＝___________________．
(2) 若X～B(n，p)，则E(X)＝_____________，D(X)＝__________________.
二、 超几何分布
1. 定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝___________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2. 超几何分布的均值与方差(*)
(1) 均值：根据均值的计算公式，当X～H(n，M，N)时，E(X)＝ eq \(∑,\s\up6(r),\s\d4(k＝m)) kPk＝__________________，其中r＝min{n，M}．
(2) 方差：D(X)＝ eq \f(nM(N－M)(N－n),N2(N－1)).
研题型 素养养成
举题说法
二项分布
例1 (2024·威海二模)市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%.现有某质检部门对该商品进行质量检测．
(1) 若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；
(2) 若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．
(1) 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率；(2) 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．
超几何分布
例2 (2024·聊城二模)某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1) 求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2) 规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
变式2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
包装质量在(495，510]克的产品为一等品，其余为二等品．
(1) 估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
(2) 从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
(3) 从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列．
二项分布中的最值问题
例 3-1 (2024·池州二模)学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会．一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会．如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为0.5，0.6，0.8，且每次测试是否通过相互独立．现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题．
(1) 求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E(X).
(2) 规定：在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书．记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得P(Y＝k)取最大值时的整数k.
例3-2 (2024·怀化二模)现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢k(k＞1，k∈N*)局，谁便赢得全部奖金a元．假设每局甲赢的概率为p(0＜p＜1)，乙赢的概率为1－p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m(m＜k)局，乙赢了n(n＜k)局时，比赛意外终止，问：奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲∶P乙分配奖金．
(1) 若k＝3，m＝2，n＝1，p＝ eq \f(3,4)，求P甲∶P乙；
(2) 记事件A＝“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝2时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f(p)，并判断当 eq \f(6,7)≤p＜1时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．
随堂内化
1. 某电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率均是 eq \f(2,3)，则这名选手能参加决赛的概率是( )
A. eq \f(80,243)B. eq \f(16,243)
C. eq \f(76,243)D. eq \f(112,243)
2. 根据现行国家标准，PM2.5日均值(单位：μg/m3)在35以下，空气质量为一级；在35～75空气质量为二级；在75以上，空气质量为超标．工作人员从某自然保护区2024年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是( )
A. eq \f(9,10)B. eq \f(10,9)
C. eq \f(1,10)D. eq \f(1,9)
3. (多选)已知随机变量X～B(4，p)，E(X)＝2，则( )
A. p＝ eq \f(1,2)B. P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＜X＜\f(11,3)))＝ eq \f(7,8)
C. D(X)＝2D. E(4X＋3)＝11
4. 现有高三年级学生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的学生人数，则随机变量X的数学期望是___________________；设事件A＝“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件A发生的概率为___________________．
配套精练
一、 单项选择题
1. 已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)＝( )
A. eq \f(8,3) B. 8
C. 12 D. 24
. 2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四个登上特种邮票的第五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记取到邮票《巢湖》的枚数为X，则E(X)＝( )
A. eq \f(2,5) B. eq \f(2,3)
C. 1 D. eq \f(3,2)
3. (2024·临沂期初摸底)一个不透明的袋子中装有3个黑球、n个白球(n∈N*)，这些球除颜色外大小、质地完全相同．从中任意取出3个球，已知取出2个黑球、1个白球的概率为 eq \f(9,20)，设X为取出白球的个数，则E(X)＝( )
A. eq \f(3,2) B. eq \f(1,2)
C. 1 D. 2
4. A，B两组各3人独立的破译某密码，A组每个人译出该密码的概率均为p1，B组每个人译出该密码的概率均为p2，记A，B两组中译出密码的人数分别为X，Y，且 eq \f(1,2)＜p1＜p2＜1，则( )
A. E(X)＜E(Y)，D(X)＜D(Y)
B. E(X)＜E(Y)，D(X)＞D(Y)
C. E(X)＞E(Y)，D(X)＜D(Y)
D. E(X)＞E(Y)，D(X)＞D(Y)
二、 多项选择题
5. (2025·亳州期初)已知随机变量X满足X～B(4，p)，0＜p＜1，E(X)＝ eq \f(3,2)D(X)，则( )
A. p＝ eq \f(2,3) B. E(X)＝ eq \f(4,3)
C. E(2X＋1)＝ eq \f(11,3) D. D(2X＋1)＝ eq \f(32,9)
6. 下列说法正确的有( )
A. 已知事件A，B，且P(A)＝ eq \f(5,6)，P(B)＝ eq \f(2,3)，P(A|B)＝ eq \f(1,2)，则P(B|A)＝ eq \f(2,5)
B. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则P(X＝k)＝C eq \\al(k,10)×0.01k×0.9910-k
C. 若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为 eq \f(C eq \\al(1,5)C eq \\al(3,14),C eq \\al(4,15))
D. 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.7，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58
7. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数A＝a1a2a3a4…an，其中ai(i＝1，2，3，…，n)∈{0，1}．若在A的各数位上出现0和1的概率均为 eq \f(1,2)，记X＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则当程序运行一次时( )
A. P(X＝0)＝ eq \f(1,2n)
B. P(X＝k)＝P(X＝n－k)(0≤k≤n，k∈N*)
C. E(X)＝ eq \f(n,2)
D. D(X)＝ eq \f(n2,4)
三、 填空题
8. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为___________________．
9．(2024·开封二模)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为 eq \f(1,6)，则E(ξ)＝__________________．
10. 50张彩票中只有2张中奖票，现从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为__________________．
四、 解答题
11. (2024·晋城二模)长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到如下2×2列联表：
(1) 试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2) 为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中，按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
(3) 将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．
附：x0.05＝3.841.
12. (2024·唐山一模)某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是 eq \f(1,4)，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X.
(1) 求此人得分的期望；
(2) 指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由．
区别
①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布
分组区间
(单位：克)
[490，
495]
(495，
500]
(500，
505]
(505，
510]
(510，
515]
产品件数
3
4
7
5
1
PM2.5日均值
(25，35]
(35，45]
(45，55]
频数
3
1
1
PM2.5日均值
(55，65]
(65，75]
(75，85]
频数
1
1
3
喜欢
不喜欢
合计
男生
120
80
200
女生
100
100
200
合计
220
180
400