高考数学一轮复习考点讲与练专题55 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题55 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了，，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•资阳期末）已知甲箱中有1个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和1个黑球，所有球除颜色外完全相同．某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为
A．B．C．D．
2．（2025春•济宁期末）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为，则智能客服的回答被采纳的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025春•莆田期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．从中不放回地依次随机摸出2个球．设事件 “第一次摸出球的标号小于3”，事件 “第二次摸出球的标号为奇数”，则
A．与对立B．与互斥但不对立
C．与相互独立D．与既不互斥也不独立
4．（2025春•梅州期末）一个车间有3台车床，其中型号2台，型号1台，它们各自独立工作．设型车床发生故障的概率为，型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则
A．B．C．D．
5．（2025春•西青区期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，
A．0.392B．0.56C．0.8D．0.9
6．（2025•玉溪模拟）已知（A），（B），，则
A．B．C．D．
7．（2025春•沙坪坝区期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为
A．0.8B．0.6C．0.45D．0.75
8．（2025春•定安县期末）记事件为“抛一枚硬币正面向上”，事件为“掷一颗骰子点数为6”，则条件概率为
A．B．C．D．
9．（2025春•锦州期末）已知，，．则（B）
A．B．C．D．
10．（2025春•福建期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次．每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮．已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•秀峰区期末）设样本空间Ω＝{1，2，3，4}含有等可能的样本点，记事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，事件C＝{3，4}，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B相互独立
B．事件A与事件C相互独立
C．事件A与事件B互斥
D．事件A与事件C互斥
（多选）12．（2025•渑池县三模）已知随机事件，满足（A），，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
（多选）13．（2025春•市北区期末）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则
A．
B．
C．
D．若和至少有一个发生的概率为，则、相互独立
（多选）14．（2025春•沈阳期末）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1、A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•北京期中）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为 ．
16．（2025春•福建期中）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概率为 ．
17．（2025•卓尼县模拟）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ．
18．（2025春•泰安期中）已知（A），，，则（B） ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•资阳期末）某射手每次射击击中目标的概率为，共进行8次射击．求：
（1）恰有3次击中目标的概率；
（2）至少有6次击中目标的概率．
20．（2025春•宿州期末）每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为、．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为．
（1）求和的值；
（2）求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．
21．（2025春•平顶山期末）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
（1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
（2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
22．（2025春•安庆期末）某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取．现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立．
（1）试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；
（2）求甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率．
23．（2025春•甘州区期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为，，．
（1）求用户对型新能源汽车的满意率；
（2）从对型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位型新能源汽车的概率．
24．（2025春•云浮期末）已知甲袋子装有编号分别为1，2，3的三个红球和编号分别为1，2，3的三个白球（小球除编号、颜色外完全相同）．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件为“摸到的两个小球颜色相同”，事件为“摸到的两个小球的编号之和大于4”，判断，是否相互独立，并说明理由．
（2）现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球．
若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率；
若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】记事件：从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球，记事件：从乙箱中取出的球是黑球，利用全概率公式可求得（B）的值．
【解答】解：记事件：从甲箱取出的球为红球，事件：从乙箱中取出的球是黑球，
则事件从甲箱取出的球为黑球，
所以，，，，
由全概率公式可得．
故选：．
2．【答案】B
【分析】由全概率公式计算可得．
【解答】解：设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件B，
则，，
，，
根据全概率公式，
＝．
故选：B．
3．【答案】
【分析】利用古典概型求解，，利用全概率公式求，利用（A）（B）来判断与相互独立，从而可得正确判断．
【解答】解：根据题意，从中不放回地依次随机摸出2个球，
则，，，，，，，，，，，，，
而，，，，
则，
依次分析选项：
对于和，，能同时发生，所以与不是互斥事件，也不是对立事件，、错误，
对于，事件 “第一次摸出球的标号小于3”，易得，
事件 “第一次摸出球的标号是奇数”， （B），
由于，所以与相互独立，故正确；
对于，由的结论，错误．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解．
【解答】解：根据题意，，即有两台车床同时发生故障，
则．
故选：．
5．【答案】
【分析】由条件概率计算公式可得答案．
【解答】解：根据题意，设 “第一次击中9环”， “第2次击中9环”，
易得（A），，
故．
故选：．
6．【答案】
【分析】利用条件概率公式求解．
【解答】解：（A），（B），，
（A），
则．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据条件概率公式即可求解．
【解答】解：事件：阅读过《红楼梦》，事件：阅读过《三国演义》，
则（A），（B），，
（A）（B），则，故，
从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位，
该同学阅读过《红楼梦》的概率：．
故选：．
8．【答案】
【分析】利用古典概型概率公式求（A），（B），再利用条件概率公式求．
【解答】解：因为事件为“抛一枚硬币正面向上”，事件为“掷一颗骰子点数为6”，
所以，，
因为事件，独立，所以，
所以．
故选：．
9．【答案】
【分析】利用条件概率的定义以及公式，分别求出和，即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，（A），
，则，
（A），
又，则，
所以（B）．
故选：．
10．【答案】
【分析】由题意知，可能前两轮没有用通行卡，也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可．
【解答】解：由于“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰，
所以龙队：可能前两轮没有用通行卡，
也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，
故所求概率为：．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】AD
【分析】由互斥事件，独立事件的性质以及概率性质逐项判断可得．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，因为A∩B＝{1}，则，
则有P（AB）＝P（A）•P（B），即事件A与事件B相互独立，故A正确；
对于B，A∩C＝∅，所以P（AC）＝0，而，
所以P（AC）≠P（A）•P（C），故B错误；
对于C，A∩B＝{1}，事件A与B可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，A∩C＝∅，事件A与事件C不会同时发生，是互斥事件，故D正确．
故选：AD．
12．【答案】
【分析】根据对立事件的概率关系可判断，根据条件概率公式可判断，根据（A）（B）可判断．
【解答】解：对于，因为（B），
所以（B），故正确；
对于，因为（A），，
所以（A），故错误；
对于，因为（A），（B），，
所以（A）（B），故正确；
对于，，故错误．
故选：．
13．【答案】
【分析】根据对立事件的概率公式，可判定；当时，，可判定；由（A）（B），分和，互斥两种情况，求得相应概率的最值，可判定；求得，得到（A）（B），可判定．
【解答】解：对于，由，可得，故正确；
对于，由，
当时，，故错误；
对于，由（A）（B），
当时，（A），此时，
即的最小值为；
当，互斥时，可得，
此时的最大值为，
所以，所以正确；
对于，由，且和至少有一个发生的概率为，
可，
解得，所以（A）（B），
所以和相互独立，所以正确．
故选：．
14．【答案】BCD
【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出P（A1），P（A2），P（B|A1），P（B|A2），再结合条件概率公式和全概率公式依次判断各选项．
【解答】解：对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个红球，所以，故A错误；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，
从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B正确；
对于C，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，
若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，
从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，
所以，故C正确；
对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，
结合以上分析，所以，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】0.18．
【分析】根据题意，利用全概率公式求解即可．
【解答】解：设事件 “乘火车”， “乘轮船”， “乘飞机”， “迟到”，
则（A），（B），（C），
，，，
因为，且，，两两互斥，
故（D）（A）（B）（C）
．
故答案为：0.18．
16．【答案】．
【分析】根据全概率和条件概率公式求解即可．
【解答】解：设事件：这一天他迟到，事件：他骑共享单车去上班，
由题可知，
，
所以，
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】按照第3局乙负，第4，5局乙胜、第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜、第3，4局乙胜三种情况讨论，利用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可．
【解答】解：最终乙获胜包含三种情况：
①第三局乙负，第四，五局乙胜，此时乙胜的概率为；
②第三局乙胜，第四局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为；
③第三，四局乙胜，此时乙胜的概率为．
所以乙获胜的概率为．
故答案为：．
18．【答案】0.5．
【分析】结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：（A），，，
则（A）（B），即（B）（B），解得（B）．
故答案为：0.5．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据独立事件概率公式计算即可；
（2）根据独立事件的性质即可．
【解答】解：根据题意可知，射手每次射击击中目标的概率为，共进行8次射击，
（1）恰有3次击中目标的概率；
（2）至少有6次击中目标的概率．
20．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据古典概型和已知条件求出事件“甲，乙各有一轮胜出”、“甲，乙两轮都胜出”的概率，然后求出参数即可．
（2）甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率等于甲两轮胜出的概率、乙两轮胜出的概率以及甲乙两轮都胜出的概率之和．
【解答】（1）记事件 “第一轮比赛中甲胜出”，事件 “第二轮比赛中甲胜出”，
记事件 “第一轮比赛中乙胜出”，事件 “第二轮比赛中乙胜出”，
由题意得，，，相互独立，
且，
记事件 “甲，乙各有一轮胜出”，事件 “甲，乙两轮都胜出”，
则，
，
从而有，解得；
（2）记事件 “甲两轮都胜出”，事件 “乙两轮都胜出”，
事件 “甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，
，
．
21．
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可分总次数为3次或4次两种情况讨论，从而可解．
（2）利用相互独立事件相关知识可解．
【解答】解：（1）根据题意，总次数为3时，乙获胜的概率为，
总次数为4时，乙获胜的概率为；
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为．
（2）比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率为．
22．【答案】（1）乙．
（2）0.484．
【分析】（1）记甲被公司录取为事件，乙被公司录取为事件，利用独立事件的概率乘法公式，分别求得（A）和（B），比较大小，即可得到结论；
（2）由（1）得到和，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】解：（1）甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，
乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，
两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立，
记甲被公司录取为事件，乙被公司录取为事件，
则（A），（B），
（A）（B），
乙被该公司录取的概率更大．
（2）由（1）可知，，，
故甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率：
．
23．【答案】（1）0.7；
（2）0.4．
【分析】（1）利用全概率公式求解；
（2）利用条件概率公式求解．
【解答】解：（1）设 “用户购买的是高价位的型新能源汽车”，
“月用户购买的是中价位的型新能源汽车”，
“用户购买的是低价位的型新能源汽车”，
“用户对型新能源汽车满意”，
由题意可知，，，两两互斥，且，，，，，，
所以（B）；
（2）由题意可知，即求在发生的条件下，发生的概率，
所以．
24．【答案】（1），相互独立，理由见解析．
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）先根据计数原理和组合数的概念得出从甲袋中一次性摸出两个小球，事件，事件及事件包含的种类；再根据古典概型的概率公式得出（A），（B），；最后判断是否满足（A）（B）即可判断．
（2）（ⅰ）先求出每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法及恰好摸四次就停止摸球包含的不同摸法；再根据古典概型的概率公式即可求解．
（ⅱ）先求出每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法及恰好摸两次就停止摸球包含的不同摸法；再根据古典概型的概率公式即可求解．
【解答】解：（1）甲袋子装有编号分别为1，2，3的三个红球和编号分别为1，2，3的三个白球，
小球除编号、颜色外完全相同，
从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种；
摸到的两个小球颜色相同有两种情况：
两个红球或两个白球．其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；
从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种，
事件为“摸到的两个小球颜色相同”，
事件为“摸到的两个小球的编号之和大于4”，
事件包含的组合有种．
摸到的两个小球的编号之和大于4有两种情况：
编号2，3组合或编号3，3组合，其中编号2，3组合的不同组合有种，
编号3，3组合的不同组合有种，
事件包含的组合有种．
摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于4有两种不同的组合方式：
编号2，3红球组合和编号2，3白色组合．
，，
．
（A）（B），
，相互独立．
（2）（ⅰ）若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种，
恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，
两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种，
每次摸出一个小球，恰好摸四次就停止摸球的概率为．
（ⅱ）若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种；
恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，
第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，
第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种；
每次摸出两个小球，恰好摸两次就停止摸球的概率为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
D
C
C
D
B
C
A
题号
11
12
13
14
答案
AD
AC
ACD
BCD