高考数学一轮复习考点讲与练专题56 离散型随机变量的分布列及数字特征同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题56 离散型随机变量的分布列及数字特征同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了若随机变量满足，则，已知随机变量，且，则，，记1号盒子中小球的个数为，则，已知离散型随机变量的分布列如表等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•河南期末）已知随机变量等可能取值为1，2，3，，若，则
A．B．C．D．
2．（2025春•鼓楼区期末）若随机变量满足，则
A．3B．6C．9D．36
3．（2025春•大通县期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为：
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是
A．0.55B．0.45C．0.35D．0.20
4．（2025•河南模拟）已知随机变量，且，则
A．2B．4C．6D．8
5．（2025春•安康期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记X为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量X的方差D（X）＝（ ）
A．2B．1C．D．
6．（2025•镇海区模拟）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则
A．B．C．D．
7．（2025春•天津期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是
A．B．
C．D．
8．（2025春•肇庆期末）已知离散型随机变量的分布列如表：
若离散型随机变量，则的方差
A．0.6B．5.4C．1D．3.4
9．（2025春•锦州期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品．现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有X件合格品，则E（X）＝（ ）
A．B．C．D．
10．（2025春•南京期中）已知随机变量的分布列如表，若，则
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•保定期末）已知随机变量X的分布列为
下列结论正确的是（ ）
A．m＝0.15B．E（X）＝2.5C．E（2X）＝6D．D（X）＝2
（多选）12．（2025春•埇桥区期末）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有
A．B．C．D．
（多选）13．（2025春•广州期末）已知离散型随机变量的分布列为
则
A．B．C．D．
（多选）14．（2025春•会宁县期末）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是
A．B．
C．当时，取最大值D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•嘉兴期末）设随机变量的分布列为，则实数 ．
16．（2025春•定安县期末）已知随机变量，若，则 ．
17．（2025春•安庆期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是 ．
18．（2025春•攀枝花期末）已知随机变量的分布列为
则 ．
四．解答题（共7小题）
19．（2025春•南山区期末）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为200分，每局比赛，棋手胜，加100分；平局不得分；棋手负，减100分．当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立．
（1）求下完2局比赛终止的概率；
（2）在挑战过程中，棋手每胜一局，获奖5000元．若本次比赛第三局结束后，机器人突发故障，求此时棋手获得的奖金的期望．
20．（2025春•济宁期末）某校航空航天社团学生利用训练平台对无人机完成飞行任务进行训练．无人机每轮训练有以下规律：若上一轮成功，本轮成功概率为；若上一轮失败，本轮成功概率为．已知首轮成功概率为，且前两轮都成功的概率为．
（1）求；
（2）在三轮训练中，求第一轮失败的条件下，第二轮、第三轮都成功的概率；
（3）设随机变量表示三轮训练中成功的次数，求的分布列及数学期望．
21．（2025春•福州期末）小明参加答题闯关游戏，需要从，两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序．答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元．已知小明答对，两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立．
（1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题．已知小明第一题选择题库的题目作答的概率为．
求小明恰好获得100元奖金的概率；
求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率．
（2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？
22．（2025春•定安县期末）为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如表：
（1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
（2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望．
附：．
23．（2025春•西湖区月考）在一不透明的纸箱中有5个完全相同的小球，其中白色小球2个，红色小球2个，黄色小球1个，现在同学每次不放回从箱中随机取出一个球，若取到白色小球，则再取一次，直至取到红色或黄色小球为止．
（1）求同学取到红色小球的概率；
（2）当同学取球结束后，纸箱内还剩余个球，求的分布列以及数学期望；
（3）当同学取球结束后（取出的球不放回），同学按照以上规则继续取球，求同学恰好取了两次球的概率．
24．（2025•山西模拟）某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称班代表，学生甲是班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是班代表与班代表比赛，则班代表获胜的概率为．
（1）已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与班代表比赛获胜得2分，与班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为，求的分布列与期望．
25．（2025春•株洲期末）在临床上，病毒的感染十分常见．假设某人感染病毒的概率为．若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为，检测结果相互独立．
（1）求某人病毒检测结果呈阴性的概率；
（2）现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】依题意可得，结合计算可得．
【解答】解：因为随机变量等可能取值为1，2，3，，
所以，，
所以，
解得．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据方差的性质即可求解．
【解答】解：随机变量满足，
则．
故选：．
3．【答案】
【分析】由分布列直接求解即可．
【解答】解：由题意他一次射击成绩为优秀的概率是
．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据正态分布的概率性质得出，再应用二项分布的数学期望公式计算即可．
【解答】解：因为，且，
所以，
解得，
则，
所以．
故选：．
5．【答案】B
【分析】分析可知，结合二项分布方差公式运算求解．
【解答】解：因为抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上的点数不大于3”的概率，
所以，
所以．
故选：B．
6．【答案】
【分析】由题意知或1或2，运用概率公式求出相应的概率，结合离散型随机变量的均值公式算出答案．
【解答】解：根据题意，1号盒子中小球的个数的可能取值为0或1或2，
根据，，，
可得．
故选：．
7．【答案】
【分析】利用二项分布的期望公式和方差公式可判断，利用期望的性质可判断，利用二项分布的概率公式可判断．
【解答】解：因为，
所以，，
故正确，正确；
所以，故正确；
所以，故错误．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解．
【解答】解：根据分布列的性质可得，解得，
所以，
所以．
所以．
故选：．
9．【答案】D
【分析】由超几何分布的均值公式即可求解．
【解答】解：由题可得X服从超几何分布，
所以．
故选：D．
10．【答案】
【分析】根据概率之和等于1，以及均值等于3，即可求出．
【解答】解：由分布列的性质可得
解得．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】AC
【分析】利用分布列的性质即可求m进而判断A；
计算数学期望E（X）即可判断B；
利用数学期望的性质即可判断C；
计算方差D（X）即可判断D．
【解答】解：根据分布列的性质可得：0.2+0.35+m+0.3＝1⇒m＝0.15，故A正确；
根据期望公式可得：E（X）＝1×0.2+2×0.35+4×0.15+5×0.3＝3，故B错误；
E（2X）＝2E（X）＝2×3＝6，故C正确；
由D（X）＝（1﹣3）2×0.2+（2﹣3）2×0.35+（4﹣3）2×0.15+（5﹣3）2×0.3＝2.5，故D错误．
故选：AC．
12．【答案】
【分析】先计算的值，然后用公式求、的值，再利用期望、方差的性质计算，即可．
【解答】解：根据分布列的性质可得，得，
根据期望公式可得以，
根据方差公式可得，
，
．
故选：．
13．【答案】
【分析】根据分布列的性质求得，再根据期望、方差的计算公式以及性质逐一验算即可求解．
【解答】解：对于，由题意，所以，
所以，故都正确，
对于，，
，故正确，错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】根据分布列的性质，得到，可判定错误；
求得期望，可判定正确；
结合基本不等式，可判定正确；
由方差的性质得到，结合二次函数的性质，可得判定错误．
【解答】解：选项：根据分布列的性质可知，很显然得不到和的大小关系，所以错误；
选项：根据期望公式可得，所以正确；
选项：根据基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以正确；
选项：根据方差的性质可知：
，
因为，所以，
故，所以错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】1．
【分析】根据概率之和为1得到方程，求出答案．
【解答】解：根据题意，随机变量的分布列为，
则，即，解可得．
故答案为：1．
16．【答案】．
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式列式求解．
【解答】解：因为，
所以，所以，
所以．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可．
【解答】解：设种子发芽的粒数为随机变量，则，
所以，
即恰有3粒种子发芽的概率是．
故答案为：．
18．【答案】1.4．
【分析】根据分布列的性质求出的值，再根据期望公式求解即可．
【解答】解：根据分布列的性质可得：，解得，
根据期望公式可得．
故答案为：1.4．
四．解答题（共7小题）
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）分析可知，下完2局比赛终止，棋手可能得分为0分或300分，列出两种情况下棋手胜负情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式，即可求解；
（2）设棋手获得的奖金为X，则其取值可能为0、5000、10000，即棋手可能获胜0局、1局或者2局，分别列出各种情况的胜负情况，再结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式，即可求得各种情况的概率，再结合期望的计算公式计算即可．
【解答】解：（1）设每局比赛棋手获胜为事件Ai，每局比赛棋手平局为事件Bi，
每局比赛棋手失败为事件∁i（），下完2局比赛终止为事件M，
且各事件相互独立，
因为棋手与机器人比赛2局终止比赛，所以棋手可能得分为0分或300分，
当棋手得分为0分时，则棋手两局均负，
当棋手得分为300分时，则两局先平后胜，
所以P（M）＝P（C1C2+B1A2）＝P（C1C2）+P（B1A2）
＝P（C1）P（C2）+P（B1）P（A2）＝，
所以下完2局比赛终止的概率为；
（2）本次比赛第三局结束后，机器人突发故障，设此时棋手获得的奖金为X，
则其取值可能为0、5000、10000，
由（1）得，P（X＝0）＝P（B1B2C3+B1B2B3+B1C2C3+B1C2B3+C1B2C3+C1B2B3）
＝P（B1B2C3）+P（B1B2B3）+P（B1C2C3）+P（B1C2B3）+P（C1B2C3）+P（C1B2B3）
＝P（B1）P（B2）P（C3）+P（B1）P（B2）P（B3）+P（B1）P（C2）P（C3）+P（B1）P（C2）P（B3）+P（C1）P（B2）P（C3）+P（C1）P（B2）P（B3）
＝+++++
＝，
P（X＝5000）＝P（B1B2A3+B1C2A3+C1B2A3+C1A2C3+C1A2B3）
＝P（B1B2A3）+P（B1C2A3）+P（C1B2A3）+P（C1A2C3）+P（C1A2B3）
＝P（B1）P（B2）P（A3）+P（B1）P（C2）P（A3）+P（C1）P（B2）P（A3）+P（C1）P（A2）P（C3）+P（C1）P（A2）P（B3）
＝+++＝，
P（X＝10000）＝，
所以期望（元）．
20．【答案】（1）；
（2）；
（3）分布列见解析，．
【分析】（1）设，2，表示第轮训练成功，利用即可求；
（2）根据即可求解；
（3）由题知随机变量的所有取值可能为0，1，2，3，利用随机事件乘法公式计算概率，列出分布列，计算出期望即可．
【解答】解：（1）设，2，表示第轮训练成功．
因为，即，解得：．
（2），
（3）随机变量的所有取值可能为0，1，2，3．
，
．
．
．
所以随机变量的分布列为：
．
21．【答案】（1）；
；
（2）第一题选题库中的题目，理由见解析．
【分析】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；
根据已知分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再应用条件概率公式求概率；
（2）根据已知求第一题为，第二题为和第一题为，第二题为对应的期望，比较大小，即可得结论．
【解答】解：（1）因为答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元，
小明答对，两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立，
若规定无论是否答对第一题，都可以答下一题，小明第一题选择题库的题目作答的概率为，
设小明第一题选择题库概率为，
则第一题选择题库概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，
其概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，
其概率为，
则小明恰好获得100元奖金的概率；
若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，2，
所以，
，
综上所述，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
（2）设第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件，
若第一题为，第二题为，
此时，，，
泽恩期望；
若第一题为，第二题为，
此时，，，
则，
因为，
所以小明最后获得奖金的数学期望最大．
则第一题选题库中的题目．
22．【答案】（1）a＝6，b＝5，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”
（2）分布列见解析，．
【分析】（1）根据列联表计算a，b，计算卡方，利用独立性检验即可求解；
（2）根据题意先求X的可能取值，再求对应的概率，即可得分布列，进而求期望．
【解答】解：（1）根据题意可得a＝6，b＝5，
零假设为H0：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关，
则，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，
所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”；
（2）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
X的所有可能值为0，1，2，3，
又，，，，
所以X的分布列为：
所以．
23．【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）．
【分析】（1）利用条件概率乘法公式来分类计算即可；
（2）利用分布列的计算来求期望；
（3）利用全概率公式来求解即可．
【解答】解：（1）设“同学取到红色小球的事件”记为事件，则；
（2）当同学取球结束后，纸箱内还剩余个球，则的可能取值有4，3，2，
即，，，
所以的分布列为：
即；
（3）设“同学恰好取了两次球”记为事件，
则（D）．
24．【答案】（1）；
（2）分布列见解析，．
【分析】（1）由全概率公式求解即可；
（2）由题意分析出的取值为0，1，2，3，4，5，然后求出每个取值的概率，列出分布列计算数学期望即可．
【解答】解：（1）设 “对手为班代表”， “对手为班代表”， “甲获胜”
由题意可知，，，，
故；
（2）由题意可知的可能取值为5，4，3，2，1，0，
，
，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以．
25．【答案】（1）．
（2）分布列见解析，．
【分析】（1）分别计算感染与未感染下检测结果呈阴性的概率，再相加．
（2）找出的所有可能取值，再分别计算对应概率，得出分布列．
【解答】解：（1）假设某人感染病毒的概率为，
若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为，
若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为，检测结果相互独立，
设某人感染病毒为事件，某人病毒检测结果呈阴性为事件，
依题意有：，．
．
（2），1，2，3，4，又，，2，，
设“这4个人中有人病毒检测结果呈阴性”为事件，1，2，3，
与互斥，与互斥，
，
．
．
．
6
7
8
9
10
0.05
0.15
0.25
0.35
0.20
0
1
2
0.3
2
3
5
X
1
2
4
5
P
0.2
0.35
m
0.3
1
2
3
4
5
0.1
0.4
0.2
0.1
0
1
2
0.4
0.2
0
2
3
0
1
2
0.4
数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
14
a
不是每天都整理数学错题人数
b
15
20
合计
40
α
0.10
0.01
0.001
P（x2≥α）
2.706
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
C
B
A
D
B
D
A
题号
11
12
13
14
答案
AC
BC
ABC
BC
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P

2
3
4

0
1
2
3
4
5
0
2
4