高考数学一轮复习考点讲与练专题54 随机事件与概率讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题54 随机事件与概率讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了样本空间和随机事件，事件的运算，概率的性质，古典概型，古典概型的概率公式等内容，欢迎下载使用。

1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．事件的运算
3.事件的关系
4.概率与频率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个．
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
7．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n（A）,n（Ω）).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
常用结论：
1．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
►考点01 随机事件的关系及运算

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【例1】（2025春•鼓楼区期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： “点数为”，其中，2，3，4，5，6； “点数不大于4”， “点数大于4”， “点数为质数”，下列结论错误的是
A．与互斥B．和是对立事件
C．和相互独立D．和相互独立
【答案】
【分析】由互斥事件定义判断，由对立事件定义判断，由独立事件定义判断．
【解答】解：由题意，2，3，4，5，，
，，故正确；
，由题意，2，3，，，，且，，故正确；
，因为，，，3，，，
所以，
所以，故正确；
，因为，2，3，，，，
所以，
所以，故错误．
故选：．
【例2】（2025春•云浮期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数．设“两个点数都是偶数”为事件，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则
A．事件与事件互为对立事件B．事件与事件相互独立
C．事件与事件不相互独立D．事件与事件互斥
【答案】
【分析】根据题意列出事件，事件，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可．
【解答】解：依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则，，2，3，4，5，．
对于，，，，，，，，，，
而，，，，，，，，，
显然事件与事件互斥但不对立，如，但，，故错误；
对于，易得，故（C），
因为，所以（B）（D），
而，则（D），
则（C）（D），即与不相互独立，故错误；
对于，（A），（C），
因为，所以，
而，
所以事件与事件不相互独立，故正确；
对于，，则与事件不互斥，故错误．
故选：．
【例3】（2025春•天津期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白色球（标号为1和2），3个黑色球（标号为3、4和5），从袋中不放回地依次随机取出2个球，每次摸出一个球，设事件，M＝“至少摸到一次白球”，N＝“两次都摸到白球”，P＝“两次都摸到黑球”，Q＝“两球颜色相同”，T＝“两球颜色不同”．则下列说法错误的是（ ）
A．Q与T互斥但不对立B．N与P互斥
C．M与P对立D．N∪P＝Q
【答案】A
【分析】根据题意，由对立事件、互斥事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件Q与T是对立事件，A错误；
对于B，N＝“两次都摸到白球”，P＝“两次都摸到黑球”，不会同时发生，是互斥事件，B正确；
对于C，N＝“至少摸到一次白球”，即两次都是白球或一次白球和一次黑球，是事件P是互斥事件，C正确；
对于D，N∪P＝Q，D正确．
故选：A．
【例4】（2025春•杨浦区月考）某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门．已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比．现在等可能的从该校选取一名学生，设事件为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是
A．（C）B．与不互斥C．D．与相互独立
【答案】
【分析】根据题意，由和事件的定义分析，由概率的性质分析，由互斥事件的定义分析，由相互独立事件的定义分析，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由于每位学生至少选报一门，则，正确；
又由（A），（B），则（C）（A）（B），正确；
，即与不互斥，正确；
又由，则（C），
（A）（C），则与不相互独立，错误．
故选：．
【例5】（2025春•道里区期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”， 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”， 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则
A．与为相互独立事件B．与为互斥事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
【答案】
【分析】由相互独立事件的定义和判断方法分析、，由互斥事件的定义分析、，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，（A），（B），（C），
依次分析选项：
对于，与是互斥事件，，则、不是相互独立事件，错误；
对于，当第一次抛掷骰子的点数为2，第二次抛掷骰子的点数为5时，与同时发生，、不是互斥事件，错误；
对于，，，，，
有（B）（C），则事件、是相互独立事件，正确．
对于，当第一次抛掷骰子的点数为3，第二次抛掷骰子的点数为4时，与同时发生，、不是互斥事件，错误．
故选：．
►考点02 随机事件的频率与概率

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【例6】（2025春•新乡期末）从1∼5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出基本事件总数，再求出两数之积大于8包含的基本事件个数，再求概率．
【解答】解：由题意，样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，包含10个样本点．
设事件A＝“这两个数字之积大于8”，
则A＝{（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，包含4个样本点，
所以．
故选：D．
【例7】（2025春•鼓楼区期末）从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可．
【解答】解：从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，
即，3，，，3，，，3，，，5，，，5，，，7，，，5，，，5，，，7，，，7，，
其中能构成三角形的基本事件有3个，即，5，，，7，，，7，，
故所求概率．
故选：．
【例8】（2025•休宁县一模）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
据此估计甲获得冠军的概率为
A．0.3B．0.35C．0.65D．0.25
【答案】
【分析】根据题干条件列出满足甲获胜的随机数，再根据古典概型计算即可．
【解答】解：根据题意，20组随机数中，表示甲获胜的是：123，114，152，512，125，151共6个，
据此估计甲获得冠军的概率为．
故选：．
【例9】（2025春•滨州期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为
A．0.45B．0.5C．0.55D．0.6
【答案】
【分析】根据题意，分析20组随机数中，能表示至少2次击中目标的组数，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在20组随机数中，
能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组，
则其3次射击至少2次击中目标的概率；
故选：．
【例10】一个容量为20的样本，数据分组及各组的频数如下：，，2；，，3；，，4；，，5；，，4；，，2．则样本数据在区间，内的频率是
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
【答案】
【分析】利用频率计算公式求解．
【解答】解：一个容量为20的样本，数据分组及各组的频数如下：
，，2；，，3；，，4；，，5；，，4；，，2．
则样本数据在区间，内的频率是：
．
故选：．
►考点03 互斥事件与对立事件的概率

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【例11】（2025春•崂山区期末）已知事件，，满足：（A），（B），则下列结论正确的为
A．若（B）（C），则与相互对立
B．若，则
C．若事件与相互独立，则
D．若事件与相互独立，则
【答案】
【分析】根据对立事件的概念可判断；根据事件的包含关系可判断；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为，不一定互斥，即使（B）（C），无法得到与对立，错误；
对于，，则（A），错误；
对于，事件与相互独立，则（A）（B），
则（A）（B），正确；
对于，若事件与相互独立，则、相互独立，
则（B），错误．
故选：．
【例12】（2025春•河南月考）已知事件，互斥，且（A），（B），则
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.9
【答案】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解．
【解答】解：根据题意，事件，互斥，则（A）（B）．
故选：．
【例13】（2025春•重庆期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】事件、互斥，事件都不发生的对立事件是事件与至少有一个发生，由此即可求出答案．
【解答】解：根据题意，事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的，
所以事件，都不发生的概率为：．
故选：．
【例14】（2025春•衡水期末）已知随机事件和相互独立，且（A），（B），则
A．0.9B．0.85C．0.8D．0.78
【答案】
【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案．
【解答】解：随机事件和相互独立，且（A），（B），
事件和相互独立，（A），（B），
（A）（B），
（A）（B）．
故选：．
【例15】（2025春•龙岗区期末）已知两个随机事件和，其中，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】因为和是两个随机事件，由（A）（B）即可求出结果．
【解答】解：两个随机事件和，其中，，，
（A）（B），
（A）（B）
．
故选：．
►考点04 古典概型

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【例16】（2025春•开封期末）从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】解：根据题意，将两名男生编号为，，两名女生编号为1，2，记“抽到的两人都是男生”为事件，
在有放回简单随机抽样方式下，，，，，，，，，，，，，
，，，，共16个样本点，
，，，，有4个样本点，
所以；
无放回简单随机抽样方式下，的样本空间为：，，，，，，
，，，，，，共12个样本点，
，，，，，，，，，，，共16个样本点，
，，有2个样本点，
所以．
故选：．
【例17】（2025春•贵州期末）袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由古典概型直接列式求解．
【解答】解：由题可得，袋中共有个球，
则取到红球的概率为．
故选：．
【例18】（2025春•肇庆期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可．
【解答】解：根据题意，设 “该同学能进入面试”，
设该同学答对的题目数量为，则，
则（A）．
故选：．
【例19】（2025春•潮州期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是
A．0.61B．0.63C．0.625D．0.66
【答案】
【分析】根据频率和概率的关系即可判断．
【解答】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，
所以合计列对应的频率最为合适．
故选：．
【例20】（2025春•定州市期末）为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败．计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果．据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】找出12组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的数据，由此计算所求的概率值．
【解答】解：用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，
根据题意可知，表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436，
故所求的概率值为．
故选：A．
►考点05 古典概型与统计的交汇问题

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【例21】（2025春•朝阳区期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求该样本的第80百分位数；
（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；
（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在[60，70）和[70，80）内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在[60，70）内，另一人成绩在[70，80）内的概率．
【答案】（1）84分；
（2）71分；
（3）．
【分析】（1）根据频率和为1求得a＝0.03，再由百分位数的定义求第80百分位数；
（2）由频率直方图的平均数求法求平均分；
（3）根据分层抽样确定6中的人数分布，再应用列举法求古典概型的概率．
【解答】解：（1）由题可得（0.05+0.010+0.015×2+0.025+a）×10＝1，解得a＝0.03．
因为（0.010+0.015×2+0.03）×10＝0.7＜0.8，0.7+0.025×10＝0.95＞0.8，
所以样本的第80百分位数位于区间[80，90），设为m，
则0.7+（m﹣80）×0.025＝0.8，解得m＝84，
故该样本的第80百分位数为84分．
（2）由题可得平均分为：＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71分，
故试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为71分．
（3）由题可得区间[60，70）和[70，80）的频率比为0.15：0.3＝1：2，
所以抽出的6名同学中2名位于区间[60，70），4名位于[70，80），
设2名位于区间[60，70）的同学为a，b，4名位于区间[70，80）的同学为A，B，C，D，
则6名同学中随机抽取2名同学有：（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（a，D），
（b，A），（b，B），（b，C），（b，D），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共15种情况，
这2名同学中，有一人成绩在[60，70）内，另一人成绩在[70，80）内有：
（a，A），（a，B），（a，C），（a，D），（b，A），（b，B），（b，C），（b，D）共8种情况，
所以有一人成绩在[60，70）内，另一人成绩在[70，80）内的概率为．
【例22】（2025春•南关区期末）某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）估计在这40名读书者中年龄分布在区间，上的人数；
（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）从年龄在区间，上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间，上的人数恰为1的概率．
【答案】（1）30；
（2）平均数为54，中位数为55；
（3）．
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；
（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；
（3）计算出抽取的6人中，位于，的有2人，记为，，数学成绩位于，的有4人，记为，，，，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知，年龄在区间，上的频率为，
所以40名读书者中年龄分布在区间，上的人数为；
（2）40名读书者年龄的平均数为，
设40名读书者年龄的中位数为，则，
解得：，
即40名读书者年龄的中位数为55岁；
（3）由频率分布直方图知：年龄在区间，上的读书者有2人，分别记为，，
年龄在区间，上的读书者有4人，分别记为，，，，
从上述6人中选出2人，则有 、，，，，，，，、， ，，，，，，共15种情况，
其中恰有1人在，的情况有，，，，，，，，共8种情况，
所以恰有1人在，的概率．
【例23】（2025春•德州期末）某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]分组的样本频率分布直方图，如图所示．
（1）求直方图中a的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数；
（2）现在从分数在[80，90）和[90，100）的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在[80，90）内，另一人分数在[90，100）内的概率．
【答案】（1）a＝0.01，中位数为108；
（2）．
【分析】（1）由频率分布直方图各组频率之和为1可求a的值；根据直方图中的估算中位数的求法计算中位数．
（2）由[80，90）和[90，100）的频率确定求出这两组分层抽样的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能情况个数，及其中恰好一人分数在[80，90）内，另一人分数在[90，100）内的个数，进而求得相应的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得（0.006+0.012+0.04+0.026+a+0.006）×10＝1，
解得a＝0.01，
本次联考该校数学成绩在[80，90）的频率为0.006×10＝0.06，
在[90，100）的频率为0.012×10＝0.12，
在[100，110）的频率为0.04×10＝0.4，
因为0.06+0.12＝0.18＜0.5，0.06+0.12+0.4＝0.58＞0.5，
所以中位数在[100，110）之间，设为m，
则0.06+0.12+（m﹣100）×0.04＝0.5，
解得m＝108，
所以本次联考该校数学成绩的中位数为108；
（2）成绩在[80，90）的人数与成绩在[90，100）的频率的人数之比为1：2，
抽取的6人中成绩在[80，90）的有2人，成绩在[90，100）的频率的有4人，
假设成绩在[80，90）的2人分别记为A1，A2，成绩在[80，90）的4人分别记为B1，B2，B3，B4.随机抽取两人的样本空间为：
{A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，
A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4}共15个，
两人中恰好一人分数在[80，90）内，另一人在[90，100）内包含：
{A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4}共8个，
所以．
【例24】（2025春•天津期末）2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段，、，、、，后得到如图频率分布直方图．观察图形信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）估计这组数据的第75百分位数；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数落在，内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在，内的概率．
【答案】（Ⅰ），分．
（Ⅱ）82．
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）由频率和为1求出，再由平均数公式求解即可；
（Ⅱ）由百分位数的定义求解即可；
（Ⅲ）由分层随机抽样先计算出在区间，和，抽取的人数，再利用列举法分别表示出总事件数与符合题意的事件数，再求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图可得，解得，
所以估计本次竞赛成绩的平均分为：
分．
（Ⅱ）因为，，
所以这组数据的第75百分位数位于区间，上，设为，
则，解得．
（Ⅲ）因为区间，和，的频率比为，
所以随机抽取一个容量为6的样本，
则在区间，抽取2人，设为，，
在区间，抽取4人，设为，，，，
从中任取2人，共有，，，，，
，，，，，，，
，，，15种情况，
其中至多有1人的分数在，内的有，，，，，
，，，，9种情况，
所以至多有1人的分数在，内的概率为．
【例25】（2025春•长春期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：
经计算得，其中为抽取的第件产品的评分．，2，3，，6．
（1）求这组样本平均数和方差；
（2）从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率．
【答案】（1）平均数9.9，方差0.02；
（2）．
【分析】（1）根据平均数和方差计算公式求解即可；
（2）由列举法结合概率公式求解．
【解答】解：（1）由题意可知，，
所以样本方差为；
（2）设事件为两次都抽到一等品，
用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品，用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品，
则该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有15个样本点，
则，，，，，，
所以，
即两件均为一等品的概率为．定义
表示法
图示
并事件
事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
定义
表示法
图示
包含关系
若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
互斥事件
如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
若A∩B＝∅，则A与B互斥
对立事件
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \(A,\s\up6(－))
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立
事件关系判断的策略
判断事件的互斥、对立关系
一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生
判断事件的交、并关系
一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件
频率与概率的关系
区别
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值
联系
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率
423
123
423
344
114
453
525
332
152
342
534
443
512
541
125
432
334
151
314
354
求互斥事件概率的一般方法
直接法
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算
间接法
先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便
公式法求解古典概型问题的步骤
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
66
126
183
375
命中的频率
0.66
0.63
0.61
0.625
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．
10.1
9.8
10.0
9.7
10.0
9.8