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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题48离散型随机变量的分布列与数字特征(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题48离散型随机变量的分布列与数字特征(原卷版+解析)，共68页。
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
【题型归纳目录】
题型一：离散型随机变量
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
题型四：离散型随机变量的均值
题型五：离散型随机变量的方差
题型六：决策问题
【典例例题】
题型一：离散型随机变量
例1．（2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
例2．（2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
例3．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
变式1．（2023·浙江·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
变式2．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
题型二：求离散型随机变量的分布列
例4．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
例5．（2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
【方法技巧与总结】
求解离散型随机变量分布列的步骤：
（1）审题
（2）计算
计算随机变量取每一个值的概率
（3）列表
列出分布列，并检验概率之和是否为.
（4）求解
根据均值、方差公式求解其值.
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为：
则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列为
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
例9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
变式8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列如下：
则___________.
【方法技巧与总结】
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确．
题型四：离散型随机变量的均值
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
若，则___________.
例11．（2023·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））随机变量X的分布列如下表所示，则___________．
例12．（2023·江苏常州·高三阶段练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·湖北·高三开学考试）一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6B．15C．19D．22
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
变式13．（2023·山西长治·模拟预测（理））从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
变式15．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在［200，280］的学生中抽取出6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记抽取出的3人中观赛时长在［200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．
变式16．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（理））某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对这5个样品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响．
(1)若样品选择甲方案，样品选择乙方案．求5个样品全部测试合格的概率；
(2)若5个样品全选择甲方案，其样品测试合格个数记为X，求X的分布列及其期望：
(3)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数，
题型五：离散型随机变量的方差
例13．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为（ ）
A．B．3
C．6D．5
变式18．（2023·全国·高三专题练习（理））设，，随机变量X的分布列是（ ）
则方差（ ）
A．既与有关，也与有关B．与有关，但与无关
C．与有关，但与无关D．既与无关，也与无关
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A．B．
C．D．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
变式21．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
变式22．（2023·浙江温州·高三开学考试）已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）
A．B．C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．
【方法技巧与总结】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
题型六：决策问题
例16．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
例17．（2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.
(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
例18．（2023·重庆八中高三阶段练习）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？
变式26．（2023·全国·高三专题练习）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
变式27．（2023·贵州贵阳·二模（理））2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
变式28．（2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个更合理？
变式29．（2023·全国·高三专题练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【方法技巧与总结】
均值与方差在决策中的应用
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
2．（2023·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．（2023·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）．
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
4．（2023·全国·高三专题练习）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
5．（2023·全国·高三专题练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
二、多选题
9．（2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知随机变量的分布列如下表；
记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（ ）A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（ ）
A．B．
C．投资两种项目的收益期望一样多D．投资项目的风险比项目高
12．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的概率分布列为
则下列各式正确的是（ ）A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．
①；②；③；④．
14．（2023·全国·高三专题练习）袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则______.
15．（2023·上海市进才中学高三阶段练习）一袋中装有大小与质地相同的5个红球和3个黑球，任取3球，记其中黑球数为X，则______．
16．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布为，则______．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
18．（2023·全国·模拟预测）台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．
(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？
(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．
（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；
（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量的分布列．
19．（2023·广东佛山·高三阶段练习）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
20．（2023·湖北孝感·高三阶段练习）2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手．
(1)若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；
(2)若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．
21．（2023·湖南·高三阶段练习）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.
(2)记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.
(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
X
P
X
0
1
2
3
P
a
b
X
0
1
2
P
a
0
1
2
3
4
5
6
X
0
1
2
P
m
x
1
P
a
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
－1
0
2
P
a
2a
3a
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
a
2
3
6
P
a
X
0
1
x
P
p
22
23
24
25
26
频数
10
10
15
9
6
商品日销售量（单位：件）
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
-1
0
1
P
0.5
0
1
0
1
2
/百万
0
2
百万
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
4
5
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
专题48 离散型随机变量的分布列与数字特征
【考点预测】
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
【题型归纳目录】
题型一：离散型随机变量
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
题型四：离散型随机变量的均值
题型五：离散型随机变量的方差
题型六：决策问题
【典例例题】
题型一：离散型随机变量
例1．（2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
答案：B
【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，
其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是个，ACD错误；
故选：B.
例2．（2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
答案：B
【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.
故选：B.
例3．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案：D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
变式1．（2023·浙江·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
答案：D
【解析】由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.
故选D.
变式2．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
答案：ABD
【解析】对四个选项，游客数、寻呼次数、汽车车辆数的取值都是随机的整数，满足题意；
但水位数是实数，不是离散型随机变量，不满足题意.
故选：ABD.
题型二：求离散型随机变量的分布列
例4．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
答案：1024
【解析】由题意.
故答案为：1024.
例5．（2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．
故选:C．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意得：
．
故选:A
变式3．（2023·全国·高三专题练习）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3
故选：C.
变式4．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
【解析】（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.
所以乙有机会答题的概率为，
解得；
（2）X的可能取值为0，10，20，30，40；
所以X的分布列为：
.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
【解析】由题意得，X的可能取值为0，1，
，
.
可得X的分布列如表所示：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，
所以，，，
，
，
所以的分布列为
所以．
【方法技巧与总结】
求解离散型随机变量分布列的步骤：
（1）审题
（2）计算
计算随机变量取每一个值的概率
（3）列表
列出分布列，并检验概率之和是否为.
（4）求解
根据均值、方差公式求解其值.
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为：
则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，有，且，，解得，
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列为
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
答案：
【解析】由题意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范围是
故答案为：
例9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
答案：
【解析】由分布列的性质，知，即.
因为，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
答案：
【解析】由分布列的性质，得a＋＋＝1，
∴a＝，而x∈[1,2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝．
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列如下：
则___________.
答案：64
【解析】根据概率分布列的概率性质可知，
所以，即，解得.
故答案为：
【方法技巧与总结】
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确．
题型四：离散型随机变量的均值
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
若，则___________.
答案：
【解析】由随机变量分布列的性质，
得，解得，
∴.
由，得，即.
故答案为： .
例11．（2023·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））随机变量X的分布列如下表所示，则___________．
答案：
【解析】因为，所以，故，
所以．
故答案为：．
例12．（2023·江苏常州·高三阶段练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，
所以，
,
，
所以期望为．
故选：B．
变式9．（2023·湖北·高三开学考试）一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】①计第一步取出2个白球为事件A，即第二步袋子有4个黑球，则
②计第一步取出两球为1黑1白为事件，即第二步袋子有3个黑球1个白球，则
③计第一步取出两个黑球为事件C，即第二步袋子有2个黑球2个白球，则
故由全概率公式，，
同理，
故选：D
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】根据方差和期望的性质可得：,,
故选：D
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6B．15C．19D．22
答案：C
【解析】由题，
则，，
所以.
故选：C.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
答案：A
【解析】由随机变量的分布列，可得期望，
所以.
故选：A.
变式13．（2023·山西长治·模拟预测（理））从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】依题意，X的可能值为0，1，2，则有，，，
于是得，解得，袋中共有10个球，
因此，取出一白一红的概率为，解得，则，
所以取出一红一黄的概率为.
故选：A
变式14．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
【解析】（1）记事件为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，
则；
（2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以的分布列为：
所以.
变式15．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在［200，280］的学生中抽取出6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记抽取出的3人中观赛时长在［200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意，解得，
由频率分布直方图知时长不大于160分钟的频率为，所以中位数是160；
（2）用分层随机抽样方式从观看时长在［200，280］的学生中抽取出6人，则和上的人数比为，因此上有4人，上有2人，
的取值可能为1，2，3，
，，，
的分布为
期望为．
变式16．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（理））某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对这5个样品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响．
(1)若样品选择甲方案，样品选择乙方案．求5个样品全部测试合格的概率；
(2)若5个样品全选择甲方案，其样品测试合格个数记为X，求X的分布列及其期望：
(3)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数，
【解析】（1）因为样品选择甲方案，样品选择乙方案，由已知样品测试合格的概率为，样品测试合格的概率为，
所以5个样品全部测试合格的概率为；
（2）由已知随机变量的取值有，
，，
，，
，，
所以X的分布列为：
∴；
（3）设选择甲方案测试的样品个数为n，则选择乙方案测试的样品个数为，并设通过甲方案测试合格的样品个数为，通过乙方案测试合格的样品个数为，
当时，此时所有样品均选邦方案乙测试，则，
所以，不符合题意；
当时，此时所有样品均选择方案甲测试，则，
所以，符合愿意；
当时，，
所以，
若使，则，
由于，故时符合题意，
综上，选择甲方案测试的样品个数为3，4或者5时，测试合格的样品个数的期望不小于3．
题型五：离散型随机变量的方差
例13．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，得，则，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大，
故选：C.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：B
【解析】由，解得
由随机变量的分布列的性质得，得
所以
故选：B
例15．（2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】根据题意，，，，分布列如下：
根据题意，，，，分布列如下：
，，
，，
可得，
故选：C.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为（ ）
A．B．3
C．6D．5
答案：C
【解析】，只需求的最大值即可，根据题意：，，，
所以，
当时，其最大值为，故的最大值为．
故选：C.
变式18．（2023·全国·高三专题练习（理））设，，随机变量X的分布列是（ ）
则方差（ ）
A．既与有关，也与有关B．与有关，但与无关
C．与有关，但与无关D．既与无关，也与无关
答案：B
【解析】由分布列可得，
故.
故选：B
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为一共有3个盒子，所以，
因此，，
由题意可知：，
，，
，
，所以，
故选：C
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
答案：D
【解析】根据分布列可知，解得，
，
，
所以.
故选：D.
变式21．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
答案：C
【解析】，k＝1，2，3，
，解得，
，
，
.
故选：C
变式22．（2023·浙江温州·高三开学考试）已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由已知可得，解得，
因此，.
故选：C.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【解析】（1）由题意可知，解得，
又∵，解得．
∴．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
【解析】（1）由题意，得
，
，
，
，
由，
又，得，
，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.
（2）设万元投资甲，则万元投资了乙，
则投资甲的利润，投资乙的利润
设为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则
当时，的值最小.
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．
【解析】（1）记事件A：摸出2个红球.则.
（2）由题意可得：X的可能取值为：0，20，50.则：；；.所以数学期望，方差.
【方法技巧与总结】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
题型六：决策问题
例16．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【解析】（1）,
故分布列为：
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，
当时，
当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
例17．（2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.
(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
【解析】（1）由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，
若当天卖完元，
若当天卖不完剩余1箱元，
若当天卖不完剩余2箱元，
所以元.
（2）由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，当天卖不完剩余3箱的概率，
若当天卖完元，
当天卖不完剩余1箱元，
当天卖不完剩余2箱元，
当天卖不完剩余3箱元，
所以元，显然小于每天的进货量为24箱的期望利润，
所以应当购进24箱.
例18．（2023·重庆八中高三阶段练习）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？
【解析】（1）由题意得：
解得，，
∴；
（2）某职工日行步数（百步），，
∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，
则分布列为：
；
在方案乙下：
的可能取值为0，1，2，3
，，
，，
所以分布列为：
，
因为，
所以方案乙更佳．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则．
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，
依题意，，则，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．
，
，，
随机变量的分布列：
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，
所以的范围为：.
变式27．（2023·贵州贵阳·二模（理））2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为．
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为．
(2)若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为．
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为．
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果．
因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大．
变式28．（2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个更合理？
【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
从而；
；
；
；
；
；
；
所以X的分布列为
(2)购买零件所需费用含两部分：
一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当时，费用的期望为：
元，
当时，费用的期望为：
元，
因为，所以选更适合.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【解析】（1）令事件“甲平台日销售量不低于8件”，
则，
令事件“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，
则
（2）设甲平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为
所以，，
设乙平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为：
所以， .
所以，
令得，令得
所以，当时，选择甲平台；当时，甲乙平台均可；当时，选择乙平台.
【方法技巧与总结】
均值与方差在决策中的应用
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
答案：D
【解析】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，
，，
，，
.
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，
则Z的可能取值为0，280，560，840，
，
，，，
.
故选：D.
2．（2023·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
答案：C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
3．（2023·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）．
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
答案：D
【解析】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，
，，
，，
．
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，
则Z的可能取值为0，280，560，840，
，
，，，
．
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
答案：B
【解析】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
答案：A
【解析】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题知，解得.
故选：C
8．（2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
答案：C
【解析】盒 中有10个螺丝钉 ，
从盒中随机地抽取4个的总数为：，
其中有3个是坏的，
恰有1个坏的，恰有2个好的， 4个全是好的，至多2个坏的取法数分别为：
，，，，
恰有1个坏的概率分别为：，
恰有2个好的概率为，
4个全是好的概率为，
至多2个坏的概率为；
故选：．
二、多选题
9．（2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知随机变量的分布列如下表；
记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（ ）A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】由随机变量的分布列知，所以，故B正确；
，故A错误，
函数是偶函数为事件，
满足条件的事件的的可能取值为或，
，故C正确，D错误；
故选：BC．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】依题意，解得，.
故选：AC.
11．（2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（ ）
A．B．
C．投资两种项目的收益期望一样多D．投资项目的风险比项目高
答案：ACD
【解析】依题意可得，所以，
，所以，所以，故A正确；
所以，则，故B错误；
，所以，故C正确；
因为
，
即，所以投资项目的风险比项目高，故D正确；
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的概率分布列为
则下列各式正确的是（ ）A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】由概率分布列可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．
故选：AC
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．
①；②；③；④．
答案：①③
【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，
则，
，
所以①③正确；
又由离散型随机变量Y满足，所以，
，所以②④错误，
故答案为：①③．
14．（2023·全国·高三专题练习）袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则______.
答案：0
【解析】，
，
，
故.
故答案为：0
15．（2023·上海市进才中学高三阶段练习）一袋中装有大小与质地相同的5个红球和3个黑球，任取3球，记其中黑球数为X，则______．
答案：
【解析】的取值为 0，1，2，3，
，，，，
随机变量的概率分布为：
数学期望为．
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布为，则______．
答案：
【解析】由题意知，的分布为，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
【解析】（1）依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，
所以，1，2，且，
，，
所以的分布列为：
故
（2）由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
18．（2023·全国·模拟预测）台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．
(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？
(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．
（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；
（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量的分布列．
【解析】（1）由题可知，若不进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.2 × 10 = 2，
若进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.5 × 0.8 × 10 + 0.5 × 0.6 × (−6) = 2.2，
所以甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内；
（2）（i）因为每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5，
所以一架轰炸机被命中的概率为，
所以恰有一架轰炸机被命中的概率为；
（ii）由题可知的可能取值为 0,1,2,3,4，
因为，
，
，
，
.
所以的分布列为：
.
19．（2023·广东佛山·高三阶段练习）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【解析】（1）3人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有1人通过初赛的概率．
（2）依题意可能取值为0，1，2，3．
设事件A表示“甲参加市赛”，事件B表示“乙参加市赛”，事件C表示“丙参加市赛”，
则，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
（3）方案1：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，
且，所以元，
方案2：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，
方法1：则Z的所有可能取值为1800，2400，3000，3600，
由（2）知，Z的分布列为：
则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
方法2：由（2）知，，
方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，
进入了市赛的选手再奖600元．则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
20．（2023·湖北孝感·高三阶段练习）2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手．
(1)若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；
(2)若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．
【解析】（1）设事件为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，胜负胜，胜胜负，胜胜胜四种情况，
所以；
（2）依题意可得的所有可能结果为、、，
则，，
，
所以的分布列为
所以；
21．（2023·湖南·高三阶段练习）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.
(2)记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.
(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.
【解析】（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件，则.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是
（2）随机变量的所有可能取值为，
则，
，
.
所以的分布列为
.
（3）记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，
所以，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
X
0
10
20
30
40
P
X
0
1
P
0
1
0
1
2
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
X
P
X
0
1
2
3
P
a
b
X
0
1
2
P
a
0
1
2
3
4
5
6
X
0
1
2
P
m
x
1
P
a
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
0
1
2
3
1
2
3
X
0
1
2
3
4
5
P
－1
0
2
P
a
2a
3a
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
a
2
3
6
P
a
X
0
1
x
P
p
0
1
2
22
23
24
25
26
频数
10
10
15
9
6
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
商品日销售量（单位：件）
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
-1
0
1
P
0.5
0
1
0
1
2
/百万
0
2
百万
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
4
5
0
1
2
3
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
0
1
2
3
4
0.1875
0.125
0.1875
0.25
0.25
0
1
2
3
P
Z
1800
2400
3000
3600
P
0
10
20
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
【题型归纳目录】
题型一：离散型随机变量
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
题型四：离散型随机变量的均值
题型五：离散型随机变量的方差
题型六：决策问题
【典例例题】
题型一：离散型随机变量
例1．（2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
例2．（2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
例3．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
变式1．（2023·浙江·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
变式2．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
题型二：求离散型随机变量的分布列
例4．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
例5．（2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
【方法技巧与总结】
求解离散型随机变量分布列的步骤：
（1）审题
（2）计算
计算随机变量取每一个值的概率
（3）列表
列出分布列，并检验概率之和是否为.
（4）求解
根据均值、方差公式求解其值.
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为：
则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列为
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
例9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
变式8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列如下：
则___________.
【方法技巧与总结】
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确．
题型四：离散型随机变量的均值
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
若，则___________.
例11．（2023·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））随机变量X的分布列如下表所示，则___________．
例12．（2023·江苏常州·高三阶段练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·湖北·高三开学考试）一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6B．15C．19D．22
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
变式13．（2023·山西长治·模拟预测（理））从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
变式15．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在［200，280］的学生中抽取出6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记抽取出的3人中观赛时长在［200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．
变式16．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（理））某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对这5个样品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响．
(1)若样品选择甲方案，样品选择乙方案．求5个样品全部测试合格的概率；
(2)若5个样品全选择甲方案，其样品测试合格个数记为X，求X的分布列及其期望：
(3)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数，
题型五：离散型随机变量的方差
例13．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为（ ）
A．B．3
C．6D．5
变式18．（2023·全国·高三专题练习（理））设，，随机变量X的分布列是（ ）
则方差（ ）
A．既与有关，也与有关B．与有关，但与无关
C．与有关，但与无关D．既与无关，也与无关
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A．B．
C．D．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
变式21．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
变式22．（2023·浙江温州·高三开学考试）已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）
A．B．C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．
【方法技巧与总结】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
题型六：决策问题
例16．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
例17．（2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.
(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
例18．（2023·重庆八中高三阶段练习）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？
变式26．（2023·全国·高三专题练习）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
变式27．（2023·贵州贵阳·二模（理））2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
变式28．（2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个更合理？
变式29．（2023·全国·高三专题练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【方法技巧与总结】
均值与方差在决策中的应用
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
2．（2023·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．（2023·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）．
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
4．（2023·全国·高三专题练习）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
5．（2023·全国·高三专题练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
二、多选题
9．（2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知随机变量的分布列如下表；
记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（ ）A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（ ）
A．B．
C．投资两种项目的收益期望一样多D．投资项目的风险比项目高
12．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的概率分布列为
则下列各式正确的是（ ）A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．
①；②；③；④．
14．（2023·全国·高三专题练习）袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则______.
15．（2023·上海市进才中学高三阶段练习）一袋中装有大小与质地相同的5个红球和3个黑球，任取3球，记其中黑球数为X，则______．
16．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布为，则______．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
18．（2023·全国·模拟预测）台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．
(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？
(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．
（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；
（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量的分布列．
19．（2023·广东佛山·高三阶段练习）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
20．（2023·湖北孝感·高三阶段练习）2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手．
(1)若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；
(2)若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．
21．（2023·湖南·高三阶段练习）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.
(2)记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.
(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
X
P
X
0
1
2
3
P
a
b
X
0
1
2
P
a
0
1
2
3
4
5
6
X
0
1
2
P
m
x
1
P
a
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
－1
0
2
P
a
2a
3a
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
a
2
3
6
P
a
X
0
1
x
P
p
22
23
24
25
26
频数
10
10
15
9
6
商品日销售量（单位：件）
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
-1
0
1
P
0.5
0
1
0
1
2
/百万
0
2
百万
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
4
5
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
专题48 离散型随机变量的分布列与数字特征
【考点预测】
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
【题型归纳目录】
题型一：离散型随机变量
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
题型四：离散型随机变量的均值
题型五：离散型随机变量的方差
题型六：决策问题
【典例例题】
题型一：离散型随机变量
例1．（2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
答案：B
【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，
其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是个，ACD错误；
故选：B.
例2．（2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
答案：B
【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.
故选：B.
例3．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案：D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
变式1．（2023·浙江·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
答案：D
【解析】由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.
故选D.
变式2．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
答案：ABD
【解析】对四个选项，游客数、寻呼次数、汽车车辆数的取值都是随机的整数，满足题意；
但水位数是实数，不是离散型随机变量，不满足题意.
故选：ABD.
题型二：求离散型随机变量的分布列
例4．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
答案：1024
【解析】由题意.
故答案为：1024.
例5．（2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．
故选:C．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意得：
．
故选:A
变式3．（2023·全国·高三专题练习）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3
故选：C.
变式4．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
【解析】（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.
所以乙有机会答题的概率为，
解得；
（2）X的可能取值为0，10，20，30，40；
所以X的分布列为：
.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
【解析】由题意得，X的可能取值为0，1，
，
.
可得X的分布列如表所示：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，
所以，，，
，
，
所以的分布列为
所以．
【方法技巧与总结】
求解离散型随机变量分布列的步骤：
（1）审题
（2）计算
计算随机变量取每一个值的概率
（3）列表
列出分布列，并检验概率之和是否为.
（4）求解
根据均值、方差公式求解其值.
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为：
则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，有，且，，解得，
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列为
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
答案：
【解析】由题意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范围是
故答案为：
例9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
答案：
【解析】由分布列的性质，知，即.
因为，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
答案：
【解析】由分布列的性质，得a＋＋＝1，
∴a＝，而x∈[1,2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝．
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列如下：
则___________.
答案：64
【解析】根据概率分布列的概率性质可知，
所以，即，解得.
故答案为：
【方法技巧与总结】
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确．
题型四：离散型随机变量的均值
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
若，则___________.
答案：
【解析】由随机变量分布列的性质，
得，解得，
∴.
由，得，即.
故答案为： .
例11．（2023·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））随机变量X的分布列如下表所示，则___________．
答案：
【解析】因为，所以，故，
所以．
故答案为：．
例12．（2023·江苏常州·高三阶段练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，
所以，
,
，
所以期望为．
故选：B．
变式9．（2023·湖北·高三开学考试）一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】①计第一步取出2个白球为事件A，即第二步袋子有4个黑球，则
②计第一步取出两球为1黑1白为事件，即第二步袋子有3个黑球1个白球，则
③计第一步取出两个黑球为事件C，即第二步袋子有2个黑球2个白球，则
故由全概率公式，，
同理，
故选：D
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】根据方差和期望的性质可得：,,
故选：D
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6B．15C．19D．22
答案：C
【解析】由题，
则，，
所以.
故选：C.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
答案：A
【解析】由随机变量的分布列，可得期望，
所以.
故选：A.
变式13．（2023·山西长治·模拟预测（理））从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】依题意，X的可能值为0，1，2，则有，，，
于是得，解得，袋中共有10个球，
因此，取出一白一红的概率为，解得，则，
所以取出一红一黄的概率为.
故选：A
变式14．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
【解析】（1）记事件为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，
则；
（2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以的分布列为：
所以.
变式15．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在［200，280］的学生中抽取出6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记抽取出的3人中观赛时长在［200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意，解得，
由频率分布直方图知时长不大于160分钟的频率为，所以中位数是160；
（2）用分层随机抽样方式从观看时长在［200，280］的学生中抽取出6人，则和上的人数比为，因此上有4人，上有2人，
的取值可能为1，2，3，
，，，
的分布为
期望为．
变式16．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（理））某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对这5个样品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响．
(1)若样品选择甲方案，样品选择乙方案．求5个样品全部测试合格的概率；
(2)若5个样品全选择甲方案，其样品测试合格个数记为X，求X的分布列及其期望：
(3)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数，
【解析】（1）因为样品选择甲方案，样品选择乙方案，由已知样品测试合格的概率为，样品测试合格的概率为，
所以5个样品全部测试合格的概率为；
（2）由已知随机变量的取值有，
，，
，，
，，
所以X的分布列为：
∴；
（3）设选择甲方案测试的样品个数为n，则选择乙方案测试的样品个数为，并设通过甲方案测试合格的样品个数为，通过乙方案测试合格的样品个数为，
当时，此时所有样品均选邦方案乙测试，则，
所以，不符合题意；
当时，此时所有样品均选择方案甲测试，则，
所以，符合愿意；
当时，，
所以，
若使，则，
由于，故时符合题意，
综上，选择甲方案测试的样品个数为3，4或者5时，测试合格的样品个数的期望不小于3．
题型五：离散型随机变量的方差
例13．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，得，则，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大，
故选：C.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：B
【解析】由，解得
由随机变量的分布列的性质得，得
所以
故选：B
例15．（2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】根据题意，，，，分布列如下：
根据题意，，，，分布列如下：
，，
，，
可得，
故选：C.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为（ ）
A．B．3
C．6D．5
答案：C
【解析】，只需求的最大值即可，根据题意：，，，
所以，
当时，其最大值为，故的最大值为．
故选：C.
变式18．（2023·全国·高三专题练习（理））设，，随机变量X的分布列是（ ）
则方差（ ）
A．既与有关，也与有关B．与有关，但与无关
C．与有关，但与无关D．既与无关，也与无关
答案：B
【解析】由分布列可得，
故.
故选：B
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为一共有3个盒子，所以，
因此，，
由题意可知：，
，，
，
，所以，
故选：C
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
答案：D
【解析】根据分布列可知，解得，
，
，
所以.
故选：D.
变式21．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
答案：C
【解析】，k＝1，2，3，
，解得，
，
，
.
故选：C
变式22．（2023·浙江温州·高三开学考试）已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由已知可得，解得，
因此，.
故选：C.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【解析】（1）由题意可知，解得，
又∵，解得．
∴．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
【解析】（1）由题意，得
，
，
，
，
由，
又，得，
，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.
（2）设万元投资甲，则万元投资了乙，
则投资甲的利润，投资乙的利润
设为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则
当时，的值最小.
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．
【解析】（1）记事件A：摸出2个红球.则.
（2）由题意可得：X的可能取值为：0，20，50.则：；；.所以数学期望，方差.
【方法技巧与总结】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
题型六：决策问题
例16．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【解析】（1）,
故分布列为：
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，
当时，
当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
例17．（2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.
(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
【解析】（1）由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，
若当天卖完元，
若当天卖不完剩余1箱元，
若当天卖不完剩余2箱元，
所以元.
（2）由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，当天卖不完剩余3箱的概率，
若当天卖完元，
当天卖不完剩余1箱元，
当天卖不完剩余2箱元，
当天卖不完剩余3箱元，
所以元，显然小于每天的进货量为24箱的期望利润，
所以应当购进24箱.
例18．（2023·重庆八中高三阶段练习）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？
【解析】（1）由题意得：
解得，，
∴；
（2）某职工日行步数（百步），，
∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，
则分布列为：
；
在方案乙下：
的可能取值为0，1，2，3
，，
，，
所以分布列为：
，
因为，
所以方案乙更佳．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则．
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，
依题意，，则，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．
，
，，
随机变量的分布列：
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，
所以的范围为：.
变式27．（2023·贵州贵阳·二模（理））2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为．
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为．
(2)若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为．
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为．
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果．
因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大．
变式28．（2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个更合理？
【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
从而；
；
；
；
；
；
；
所以X的分布列为
(2)购买零件所需费用含两部分：
一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当时，费用的期望为：
元，
当时，费用的期望为：
元，
因为，所以选更适合.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【解析】（1）令事件“甲平台日销售量不低于8件”，
则，
令事件“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，
则
（2）设甲平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为
所以，，
设乙平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为：
所以， .
所以，
令得，令得
所以，当时，选择甲平台；当时，甲乙平台均可；当时，选择乙平台.
【方法技巧与总结】
均值与方差在决策中的应用
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
答案：D
【解析】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，
，，
，，
.
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，
则Z的可能取值为0，280，560，840，
，
，，，
.
故选：D.
2．（2023·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
答案：C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
3．（2023·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）．
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
答案：D
【解析】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，
，，
，，
．
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，
则Z的可能取值为0，280，560，840，
，
，，，
．
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
答案：B
【解析】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
答案：A
【解析】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题知，解得.
故选：C
8．（2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
答案：C
【解析】盒 中有10个螺丝钉 ，
从盒中随机地抽取4个的总数为：，
其中有3个是坏的，
恰有1个坏的，恰有2个好的， 4个全是好的，至多2个坏的取法数分别为：
，，，，
恰有1个坏的概率分别为：，
恰有2个好的概率为，
4个全是好的概率为，
至多2个坏的概率为；
故选：．
二、多选题
9．（2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知随机变量的分布列如下表；
记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（ ）A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】由随机变量的分布列知，所以，故B正确；
，故A错误，
函数是偶函数为事件，
满足条件的事件的的可能取值为或，
，故C正确，D错误；
故选：BC．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】依题意，解得，.
故选：AC.
11．（2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（ ）
A．B．
C．投资两种项目的收益期望一样多D．投资项目的风险比项目高
答案：ACD
【解析】依题意可得，所以，
，所以，所以，故A正确；
所以，则，故B错误；
，所以，故C正确；
因为
，
即，所以投资项目的风险比项目高，故D正确；
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的概率分布列为
则下列各式正确的是（ ）A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】由概率分布列可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．
故选：AC
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．
①；②；③；④．
答案：①③
【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，
则，
，
所以①③正确；
又由离散型随机变量Y满足，所以，
，所以②④错误，
故答案为：①③．
14．（2023·全国·高三专题练习）袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则______.
答案：0
【解析】，
，
，
故.
故答案为：0
15．（2023·上海市进才中学高三阶段练习）一袋中装有大小与质地相同的5个红球和3个黑球，任取3球，记其中黑球数为X，则______．
答案：
【解析】的取值为 0，1，2，3，
，，，，
随机变量的概率分布为：
数学期望为．
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布为，则______．
答案：
【解析】由题意知，的分布为，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
【解析】（1）依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，
所以，1，2，且，
，，
所以的分布列为：
故
（2）由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
18．（2023·全国·模拟预测）台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．
(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？
(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．
（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；
（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量的分布列．
【解析】（1）由题可知，若不进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.2 × 10 = 2，
若进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.5 × 0.8 × 10 + 0.5 × 0.6 × (−6) = 2.2，
所以甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内；
（2）（i）因为每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5，
所以一架轰炸机被命中的概率为，
所以恰有一架轰炸机被命中的概率为；
（ii）由题可知的可能取值为 0,1,2,3,4，
因为，
，
，
，
.
所以的分布列为：
.
19．（2023·广东佛山·高三阶段练习）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【解析】（1）3人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有1人通过初赛的概率．
（2）依题意可能取值为0，1，2，3．
设事件A表示“甲参加市赛”，事件B表示“乙参加市赛”，事件C表示“丙参加市赛”，
则，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
（3）方案1：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，
且，所以元，
方案2：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，
方法1：则Z的所有可能取值为1800，2400，3000，3600，
由（2）知，Z的分布列为：
则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
方法2：由（2）知，，
方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，
进入了市赛的选手再奖600元．则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
20．（2023·湖北孝感·高三阶段练习）2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手．
(1)若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；
(2)若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．
【解析】（1）设事件为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，胜负胜，胜胜负，胜胜胜四种情况，
所以；
（2）依题意可得的所有可能结果为、、，
则，，
，
所以的分布列为
所以；
21．（2023·湖南·高三阶段练习）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.
(2)记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.
(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.
【解析】（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件，则.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是
（2）随机变量的所有可能取值为，
则，
，
.
所以的分布列为
.
（3）记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，
所以，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
X
0
10
20
30
40
P
X
0
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P
0
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0
1
2
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
X
P
X
0
1
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3
P
a
b
X
0
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P
a
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5
6
X
0
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m
x
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a
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P
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0.3
0.3
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X
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－1
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2
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2a
3a
X
1
2
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2b—a
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2
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P
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0
1
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0
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23
24
25
26
频数
10
10
15
9
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X
0
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P
X
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2
3
P
0
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3
X
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18
19
20
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P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
商品日销售量（单位：件）
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
X
6
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8
P
0.4
0.5
0.1
X
0
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2
3
4
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P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
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0
1
P
0.5
0
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0
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/百万
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百万
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0
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0
1
2
4
5
0
1
2
3
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
0
1
2
3
4
0.1875
0.125
0.1875
0.25
0.25
0
1
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3
P
Z
1800
2400
3000
3600
P
0
10
20
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