高考数学一轮复习考点讲与练专题53 二项式定理同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题53 二项式定理同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了展开式中的系数是，的展开式中常数项为，的展开式中的系数为，若，则，设，若，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•长春期末）已知的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2025春•农安县期末）展开式中的系数是
A．15B．C．30D．
3．（2025春•红河州期末）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为
A．40B．C．D．60
4．（2025春•碑林区期末）的展开式中常数项为
A．B．160C．D．
5．（2025春•龙岗区期末）的展开式中的系数为
A．6B．C．12D．
6．（2025春•安徽期末）已知二项式的展开式中的系数是10，则实数
A．B．1C．D．2
7．（2025春•安徽期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为
A．2B．3C．4D．5
8．（2025•巴中模拟）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为
A．32B．C．16D．24
9．（2025春•延庆区期末）若，则
A．0B．C．81D．80
10．（2025春•河北期末）设，若，则
A．1B．C．3D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•石家庄期末）若展开式中二项式系数和为64，则下列说法正确的是
A．B．所有项的系数和为
C．展开式中的有理项共有3项D．第三项的二项式系数最大
（多选）12．（2025春•株洲期末）已知，则
A．
B．
C．
D．
（多选）13．（2025春•泰安期末）已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是
A．
B．所有项系数的和为1
C．二项式系数最大的项为第6项
D．有理项共有3项
（多选）14．（2025春•泉州期末）已知，则
A．
B．
C．的展开式的二项式系数之和为
D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•天津期末）在的展开式中，常数项为 ．
16．（2025春•沙坪坝区期末）已知，则 ．
17．（2025春•大兴区期末）已知，则 ．
18．（2025•浦东新区模拟）已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为 ．（结果用数值表示）
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•雅安期末）在的展开式中：
（1）若，求的系数；
（2）若展开式的二项式系数和为32，求展开式的系数和．
20．（2025春•福清市期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．（2025春•西宁期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等．
（1）求的值，并求二项式系数的最大值；
（2）求第四项的二项式系数与系数；
（3）的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值．
22．（2025春•沧州期末）已知二项展开式．
（1）求的值；
（2）求的值．
23．（2025春•广东期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2．
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项．
24．（2025春•天津期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】结合二项展开式的通项即可求解．
【解答】解：由题意可得，Tr+1＝＝，
令3n﹣4r＝0，则r＝，
故当r＝3时，n取得最小值4．
故选：A．
2．【答案】
【分析】利用二项式定理求解．
【解答】解：展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，
令，解得，
则的系数是．
故选：．
3．【答案】
【分析】利用二项式系数的性质求出值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项作答．
【解答】解：依题意，，解得，
于是二项式的展开式通项公式为，
令，得，则，
所以其展开式中常数项为60．
故选：．
4．【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．
【解答】解：的展开式的，
当时，即时，的展开式为常数项：．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解．
【解答】解：的展开式中的系数为．
故选：．
6．【答案】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的的系数，从而求得 的值．
【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为，
令，可得，故的系数是，故，
故选：．
7．【答案】
【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项．
【解答】解：已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，
则，
又，
所以，
则展开式通项为，
令，
则，3，6，9，
所以展开式中有4项的有理项．
故选：．
8．【答案】
【分析】利用赋值法求解即可．
【解答】解：设，
令可得，即，
令可得，即
上述两式子相加得，，
故展开式中，的偶数次幂的项的系数和为24．
故选：．
9．【答案】
【分析】求出二项式的展开式的通项公式，分别令的指数为1，2，3，4，求出，，，，进而可以求解．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，
令，则，则，
令，则，则，
令，则，则，
令，则，则，
所以．
故选：．
10．【答案】
【分析】令，可得，解出的值即可即．
【解答】解：设，
令，则可得．
又，则．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据二项式系数和公式，结合代入法、二项式的通项公式逐一判断即可．
【解答】解：：由题意可得二项式系数和为，解得，故正确；
：在中，令，所有项的系数和为，故正确；
：二项式的展开式的通项公式为，
当，2，4，6时，对应的项都是有理项，共有4项，故不正确；
：二项式的展开式共有7项，根据二项式系数的性质可知：第四项的二项式系数最大，故不正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可．
【解答】解：对于，令，得，故正确；
对于，令，得，故错误；
对于，令，得，
结合选项可得，故正确；
对于，令，，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】对于，由得即可判断；对于，令即可验算；对于，由二项式系数的增减性即可判断；对于，由二项式展开式即可判断．
【解答】解：由题意，解得，错误；
在中，令，可得，即所有项系数的和为1，正确；
二项式系数最大的项为第7项，错误；
二项式展开式通项公式为，
所以第项为有理项，当且仅当，6，12，故有理项共有3项，正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】令得即可判断，利用二项式定理的通项公式求即可判断，二项式系数之和为即可判断，令和即可求即可判断．
【解答】解：由，
令有，故正确；
由，故正确；
的展开式的二项式系数之和为，故错误；
令有，
令有，
两式相加有，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为0，进而可以求解．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，
令，解得，则常数项为．
故答案为：．
16．【答案】15．
【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式及赋值法求解即可．
【解答】解：已知，
令，
则，
又，
则．
故答案为：15．
17．【答案】41．
【分析】利用赋值法求解．
【解答】解：令，可得，
令，可得，
两式相加得：，
则．
故答案为：41．
18．【答案】12．
【分析】根据各项系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得指定项的系数．
【解答】解：令，得的展开式中各项的系数和为，解得，
则，
展开式的通项为：，
当时，可得展开式中含项的系数为：．
故答案为：12．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）280；（2）243．
【分析】（1）直接利用二项式的展开式求出结果；
（2）利用赋值法的应用求出结果．
【解答】解：（1）若，故展开式中的系数为；
（2）展开式的二项式系数和为32，故，解得；
令，故展开式的系数和为．
20．【答案】（1）80．
（2）242．
【分析】（1）法一：写出通项公式，得到，得到答案；
法二：写出的展开式，得到；
（2）法一：赋值法得到，，求出答案；
法二：写出的展开式，得到，，，，，求出答案．
【解答】解：（1）法一：由通项公式，得，
令得，，则．
法二：由二项式定理，得
，则．
（2）法一：因为，
所以令，得，
令，得
则．
法二：由二项式定理，得
因为
所以，，，，，
所以．
21．【答案】（1），最大值为252；（2）二项式系数：120，系数：960；（3）第8项的系数最大，最大值为15360．
【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得：，求出的值，进而求解二项式系数的最大值；
（2）直接根据二项式定理的通式进行求解即可；
（3）首先由，得：，进而可知，2，3，4，5，6，时，，，9，时，，从而确定第8项的系数最大，进而求解出系数的最大值．
【解答】解：（1）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等．
即，故；
因为10是偶数，故二项式系数的最大值为，
（2），故，所以第四项的二项式系数为，系数为；
（3）因为，故，因为，令，
得：因为是正整数，故，2，3，4，5，6，时，；
，9，时，，所以第8项的系数最大，最大值为．
22．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解；
（2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值，即可用赋值法求对应系数和．
【解答】解：（1）由题意令，可得，
令，可得，
所以；
（2）展开式的通项为，，1，，2025，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
所以，
令，则，
即．
23．【答案】（1）8；．
（2）．
【分析】（1）根据题意，利用展开式的二项式系数，列出方程，即可求解；
（2）由（1），求得展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：，
解得．
（2）由（1）知，二项式展开式的通项为，
令，
解得，
所以展开式中的项为．
24．【答案】（1）1；（2）180；（3）．
【分析】由二项式系数和求出的值，（1）令即可求解；（2）求出展开式的通项公式，令的指数为0即可求解；（3）利用二项式系数的性质求出，再由（2）的通项公式即可求解．
【解答】解：由题意可得，解得或（舍去），所以，
则二项式为，
（1）令，则二项式的展开式的各项系数和为；
（2）二项式的展开式的通项公式为，，1，，10，
令，则，所以常数项为；
（3）因为，则二项式的展开式共有11项，所以第6项的二项式系数最大，
即．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
D
B
C
D
B
D
题号
11
12
13
14
答案
AB
ACD
BD
ABD