高考数学一轮复习考点讲与练专题52 两个计数原理、排列与组合讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题52 两个计数原理、排列与组合讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了两个计数原理，解决排列与组合问题的四大原则等内容，欢迎下载使用。

1．两个计数原理
(1)分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
辨析：两个计数原理的联系与区别
2.排列与组合
(1)排列与组合的概念
(2)排列数与组合数
①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
②从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
(3)排列数、组合数的公式及性质
常用结论：
1．排列数、组合数常用公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq \\al(m－1,n).
(2)Aeq \\al(m,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1).
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1).
(5)Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m,n－1)＋…＋Ceq \\al(m,m＋1)＋Ceq \\al(m,m)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1).
2．解决排列与组合问题的四大原则
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
►考点01 两个计数原理

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【例1】（2025春•沧州期中）某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有
A．11种B．22种C．30种D．60种
【答案】
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果．
【解答】解：某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，
第一步，从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种．
故选：．
【例2】（2025春•清远期末）如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有
A．5种B．6种C．7种D．9种
【答案】
【分析】利用分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，可得答案．
【解答】解：由题意，电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有种．
故选：．
【例3】（2025春•舟山期末）甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏．第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（ ）
A．36B．48C．52D．64
【答案】C
【分析】通过4次传球后仍回到甲手得出第四次传球只能传给甲，由此得出限制条件，根据分步乘法即可计算出传法总数．
【解答】解：第1次传球有4种方法，第2次传球分成“在甲手中”和“不在甲手中”两类方法，
第3次传球，球也不一定在甲手中，第4次传球只能在甲手中；
所以当第2次传球后球在甲手中时，则第3次传球可能为丙或乙或丁或戊，共4种方法；
当第2次传球后球不在甲手中时，有3种方法，则第3次传球有3种方法，
所以经过4次传球，球仍回到甲的传法总数为：4×（1×4+3×3）＝52（种）．
故选：C．
【例4】（2025春•武汉期末）高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中、、、四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为
A．120B．160C．180D．240
【答案】
【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域有5种涂法，有4种涂法，讨论，同色和异色，根据乘法原理可得结论．
【解答】解：由题意，区域有5种涂法，有4种涂法，
，不同色，有3种，有2种涂法，有种，
，同色，有3种涂法，有种，
所以共有180种不同的涂色方案．
故选：．
【例5】（2025春•顺义区期末）“万物和生——故宫博物院藏动物题材绘画特展”在故宫博物院文华殿书画馆开展，展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元．现有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中的一个单元进行参观，则至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有
A．12种B．18种C．19种D．24种
【答案】
【分析】根据计数原理利用间接法计算即可．
【解答】解：由题可知，有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中的一个单元进行参观，
至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有种．
故选：．
►考点02 简单的排列问题

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【例6】（2025春•临沂期末）已知、、、四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是
A．8B．10C．12D．16
【答案】
【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解．
【解答】解：已知、、、四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，
若排在从左到右的第二个位置，
则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能，相邻，但这与题意矛盾，
若不能排在从左到右的第三或第四个位置，
则此时有种不同的排法；
若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法；
由加法原理可知，所求为．
故选：．
【例7】（2025春•西宁期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有 种．
A．6B．12C．36D．72
【答案】
【分析】结合相邻问题捆绑法求解即可．
【解答】解：已知甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，
先将甲乙丙“捆绑”，然后与丁戊进行全排列，有种排列方式，
再将甲乙丙解绑，并只对甲乙丙进行排列，有种排列方式，
则不同的站队方法共有种．
故选：．
【例8】（2025春•鄂尔多斯期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有 种．
A．20B．30C．36D．48
【答案】
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合插空法求解即可．
【解答】解：已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，
则不同站法有种．
故选：．
【例9】（2025春•天津期末）2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力．若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（ ）
A．280B．336C．360D．408
【答案】D
【分析】利用间接法，首先求第一个节目不排大合唱的方法种数，再减去两个节目相邻的方法，即可求解．
【解答】解：若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，
要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，
第一个节目不排大合唱，共有种不同的排法，
第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目相邻共种，
所以第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目不相邻共有600﹣192＝408种排法．
故选：D．
【例10】（2025春•湖南期末）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有
A．48种B．72种C．96种D．144种
【答案】
【分析】分乙在第五道和在第六道两种情况，再考虑甲，结合排列知识进行求解，相加得到答案．
【解答】解：6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，
当乙在第五道，甲有3种站法，其余4人进行全排列，有种站法，则共有种；
当乙在第六道，甲有3种站法，其余4人进行全排列，有种站法，则共有种，
所以共有种不同排法．
故选：．
►考点03 简单的组合问题

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【例11】（2025春•西宁期末）某不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球5个，红球3个，从中随机取出两个球，则两个球同色的概率是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】应用古典概型结合组合数运算化简求解．
【解答】解：已知从不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球5个，红球3个，随机取出两个球，
则两个球同色的概率是．
故选：．
【例12】（2025春•新洲区期末）某班从包括甲乙在内的7名学生中，选择4人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ）
A．32B．30C．25D．20
【答案】C
【分析】甲乙两人至多一人参加的对立事件为甲乙都参加，利用事件的对立面求方法数即可．
【解答】解：已知从包括甲乙在内的7名学生中，选择4人参加植树活动，且甲乙两人至多一人参加，
根据题意，7名学生中，选择4人参加植树活动共有种方法，
而甲乙都参加的情况有种方法，
则甲乙两人至多一人参加的方法数有35﹣10＝25种．
故选：C．
【例13】（2025春•沧州期末）现安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，则不同的安排方法共有（ ）
A．480种B．1080种C．1560种D．2640种
【答案】C
【分析】首先将6名大学生分组，使得每所学校都有大学生去实习，然后对每一组利用排列数和组合数求出安排方法种数，然后它们的和即是答案．
【解答】解：安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，
可以将6名大学生分为3，1，1，1或2，2，1，1四组，
则不同的安排方法共有种．
故选：C．
【例14】（2025春•大同期末）在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去、、三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有
A．24种B．36种C．6种D．12种
【答案】
【分析】分类讨论小区安排的人数，应用分步分类及排列组合数求不同的安排方法数即可．
【解答】解：根据题意，四位普查员要去、、三个小区进行数据采集，甲普查员不能去小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区，
①小区安排一人，有种，
②小区安排两人，有种，
所以共24种．
故选：．
【例15】（2025春•郑州期末）有三个储水点，分别储存着、、水．小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满．若要将这水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为
A．55440B．41320C．32770D．27720
【答案】
【分析】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，问题相当于把3个甲、4个乙、5个丙进行排序，结合组合计数原理以及分步乘法计数原理可求得结果．
【解答】解：将分别储存着、、水的三个储水点记为甲、乙、丙，
问题相当于把3个甲、4个乙、5个丙进行排序，
排序的方法有种．
故选：．
►考点04 相邻问题

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【例16】（2025春•仙桃期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有
A．48种B．72种C．96种D．144种
【答案】
【分析】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解．
【解答】解：已知甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，要求甲和乙相邻，且都不站在两端，
当甲和乙相邻，
则有种排法，
又从丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法，
所以不同的排列方式有种排法．
故选：．
【例17】（2025春•天津期中）在某颁奖仪式上，队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解．
【解答】解：已知队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，
选择左、右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排，
将剩余的11名队员全排列，
由分步乘法计数原理可知，满足条件的排法种数为．
故选：．
【例18】（2024秋•梧州期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为
A．2880B．1440C．720D．576
【答案】
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法求解．
【解答】解：先阅读题意，分两步完成：
第一步：将4名女生排在一起，有种方法，
第二步：将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，
故4名女生相邻的站法种数为．
故选：．
【例19】（2025春•武汉期中）参加实践活动的2名教师和，，，，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且、相邻的方法有 种．
A．20B．12C．36D．24
【答案】
【分析】由分步乘法计数原理，结合捆绑法及插空法求解即可．
【解答】解：将、捆绑当作一个整体，然后将志愿者全排，
有种排法，
然后将2名教师插入志愿者之间的2个空中，
有种排法，
则教师不站在两端且不相邻，且、相邻的方法有种．
故选：．
【例20】（2025春•天津期中）有4辆车停放于6个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有多少种不同的停放方法？
A．360B．240C．120D．60
【答案】
【分析】先将甲乙捆绑在一起，当作整体，然后与另外的两辆车在5个车位中选3个进行排列即可．
【解答】解：有4辆车停放于6个并排的车位中，
又乙车必须与甲车相邻停放，
则有种不同的停放方法．
故选：．
►考点05 不相邻问题

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【例21】（2025春•荆州期末）6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ）
A．240B．480C．960D．1920
【答案】B
【分析】结合不相邻问题插空法求解即可．
【解答】解：6名同学排成一排照相，
则甲、乙不相邻的不同排法种数为＝480．
故选：B．
【例22】（2024秋•唐县期末）在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为
A．30B．36C．60D．72
【答案】
【分析】分两种情况讨论：第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，第二种：当第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩下的2个女生排好，2个男生插空，然后分别求解即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，此种情况有种排法，
第二种：当第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩下的2个女生排好，2个男生插空，此种情况有种排法，
所以共有种排法，
故选：．
【例23】（2025春•江宁区期末）有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有
A．12种B．8种C．6种D．4种
【答案】
【分析】利用捆绑法求出丙和乙相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况，得出甲站在两端且乙和丙相邻的情况，最后间接法即可求出结果．
【解答】解：已知甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，
把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，
甲站在两端且乙和丙相邻的情况有，
则甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有种．
故选：．
【例24】（2025春•青岛期中）甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲乙不相邻，则不同排法种数是
A．120B．240C．360D．480
【答案】
【分析】先将丙、丁、戊、己4人排成一列，然后将甲与乙插空即可．
【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲乙不相邻，
则不同排法种数是．
故选：．
【例25】（2025•辽宁模拟）某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为
A．36B．48C．72D．120
【答案】
【分析】先排1名司机，2名医生，分为三类，再将护士插空，求出每种情况下的排法，相加得到答案．
【解答】先排1名司机，2名医生有：①医生、司机、医生；②司机、医生、医生；③医生、医生、司机，共三类．
对于①，3名护士随意插空有种排法，2名医生交换位置有种排法，
所以共有种排法；
对于②，3名护士先选1人插入2名医生之间有种排法，
再在余下的3个空中插入余下的2名护士有种排法，
2名医生交换位置有种排法，
所以共有种排法；
对于③，3名护士先选1人插入2名医生之间有种排法，
再在余下的3个空中插入余下的2名护士有种排法，
2名医生交换位置有种排法，
所以共有种排法，
综上，共有种．
故选：．
►考点06 特殊元素(位置)问题

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【例26】（2025春•大通县期末）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是
A．240种B．360种C．480种D．600种
【答案】
【分析】利用特殊元素优先法，先安排这名歌手，再余下的歌手进行全排列即可．
【解答】解：先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为种方法，
所以不同排法的种数为种．
故选：．
【例27】（2025春•福建期末）2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”．假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有
A．16种B．32种C．48种D．64种
【答案】
【分析】应用排列组合数依次安排舍长、副舍长和1、2班同学，再应用分步乘法求不同的排法数．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
先将舍长、副舍长排到中间的2个位置上，有种排法，
再从两侧各选1个位置，把不相邻的两位1班同学安排其中，有种排法，
最后把不相邻的两位2班同学安排到余下的2个位置上，有种排法．
所以，共有种．
故选：．
【例28】（2025•陕西模拟）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已确定1人跑第1棒或第4棒，另有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为
A．60B．56C．84D．120
【答案】
【分析】根据题意，设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒，再分类讨论即可得解．
【解答】解：由题设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒，
当甲排第1棒时，乙、丙均不参与，则有种，
乙、丙至少有一人参与，则有种；
当甲排第4棒时，乙、丙均不参与，则有种，
乙、丙至少有一人参与，则有种．
故合适的选择方法种数为种．
故选：．
【例29】（2025春•沙坪坝区期末）某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队．派驻到3个地区、、进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到地区，则不同的派驻方式有
A．36种B．72种C．98种D．108种
【答案】
【分析】根据题意，分医生甲一人去地区以及医生甲和另外一名医生去地区，再结合排列组合知识可解．
【解答】解：根据题意，若医生甲一人去地区，则有种方法；
若医生甲和另外一名医生去地区，则有种方法，
则共有种不同的派驻方式．
故选：．
【例30】（2025•上虞区模拟）某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有
A．48种B．96种C．144种D．192种
【答案】
【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．
【解答】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种，
再排其余4节，有种，
根据乘法原理，共有种方法．
故选：．
►考点07 分组、分配问题

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【例26】（2025春•鼓楼区期末）某户外探险俱乐部组织10名成员名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战，为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有
A．35种B．105种C．210种D．231种
【答案】
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合平均分组问题求解即可．
【解答】解：将这10人平均分成两组，
不同的分组方法共有种，
又3名女性在同一组，
不同的分组方法共有种，
则不同的分组方法共有种．
故选：．
【例27】（2025•辽宁三模）9本不同的书平均分成三摞，如图所示，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取一本，则不同的取法有 种．
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题意，不同的取法等价于不同的排列数，即先把9本书分为3组，再排列为三堆即可．
【解答】解：根据题意，9本不同的书平均分成三摞，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取一本，
则不同的取法等价于不同的排列数，
则将9本书平均分为3组，再进行排列三堆即可，
则共有．
故选：．
【例28】（2025春•杭锦后旗期中）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是
A．6B．12C．18D．24
【答案】
【分析】利用分步乘法原理和分组分配方法求解．
【解答】解：将6本不同的书平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，
第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法，
第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法，
所以共有种分配方法．
故选：．
【例29】（2025春•莎车县期中）（每一小题均须以数字作答）
（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？
（2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？
（3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？
【答案】（1）15；
（2）90；
（3）1560．
【分析】（1）利用分组法可解；
（2）利用分组法可解；
（3）分为当4名同学得书为1，1，2，2或1，1，1，3两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有种方法；
（2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有种；
（3）当4名同学得书为1，1，2，2时，有种；
当4名同学得书为1，1，1，3时，有种，
则共有种．
【例30】（2025春•绿园区月考）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？
（2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？
（3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？
（4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？
（5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？
【答案】（1）15；（2）15；（3）90；（4）360；（5）1560．
【分析】（1）利用平均分组分配，结合排列组合即可求；
（2）根据部分平均分组，结合排列组合即可求解；
（3）根据给定条件，利用组合计数问题、结合分步乘法计数原理列式计算即得；
（4）根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解；
（5）分4位同学分得的书本数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，
最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别，
故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法；
（2）无序部分均匀分组问题：共有（种分法；
（3）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种；
（4）先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法，
最后余下的3本全选有种选法，
同时3人不同，需要排序，故有（种分配方式；
（5）分两类：
第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种；
第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种；
由加法原理，知共有种不同分法．原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
都是对完成一件事的方法种数而言
区别一
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
各个步骤都完成才算完成这件事(每步中的每一种方法都不能独立完成这件事)
区别二
各类方法之间是相互独立的，既不能重复也不能遗漏
各步之间是相互依存的，缺一不可
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！).
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n)．
特别地，Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！．
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m－1,n－1)＋Ceq \\al(m,n－1)
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么；
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
(3)弄清分步、分类的标准是什么；
(4)利用两个计数原理求解．
求解排列问题的常用方法
(1)对于无限制条件的排列问题，直接列出排列数计算即可．
(2)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
相邻问题的解题方法
元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
不相邻问题的解题方法
元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
解决特殊元素、特殊位置问题的原则与方法
(1)原则：解“在”与“不在”这类有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
解决分组分配问题的策略
(1)对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题．
(2)对于整体均分，分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(3)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.