高考数学一轮复习考点讲与练专题53 二项式定理讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题53 二项式定理讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了二项式定理，二项式系数的性质，各二项式系数和等内容，欢迎下载使用。

1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项Ceq \\al(\s\up7(\f(n,2)),n)取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Ceq \\al(\s\up7(\f(n-1,2)),n)与Ceq \\al(\s\up7(\f(n-1,2)),n)相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n．
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1．
常见结论：
(a＋b)n的展开式形式上的特点：
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
►考点01 求二项展开式中的特定项(或系数)

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例1】（2025春•自贡期末）二项式展开式中的常数项为
A．960B．160C．D．
【答案】
【分析】根据展开式的特点直接计算即可．
【解答】解：二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，
令，解得，
常数项为．
故选：．
【例2】（2025春•大兴区期末）在的展开式中，的系数为
A．B．20C．D．10
【答案】
【分析】利用二项式定理求解．
【解答】解：的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，
令，解得，
则的系数为．
故选：．
【例3】（2025春•云浮期末）在的展开式中，含的项的系数为
A．84B．42C．21D．7
【答案】
【分析】先根据二项式定理写出通项；再令即可求解．
【解答】解：由二项式定理可得：的展开式的通项为：，
则含的项的系数为．
故选：．
【例4】（2025春•玉林期末）展开式的常数项为
A．20B．90C．40D．120
【答案】
【分析】由二项展开式的通项求得常数项对应的值，再将的值代入通项求系数即可．
【解答】解：因为展开式的通项为，
当时，，所以展开式的常数项为．
故选：．
【例5】（2025春•四川期末）在的展开式中，的系数为
A．30B．15C．D．
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求解．
【解答】解：二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，
令，则的系数为．
故选：．
►考点02 已知两个因式之积求其特定项(或系数)

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例6】（2025春•西青区期末）的展开式中的系数是
A．0B．2C．4D．10
【答案】
【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解．
【解答】解：由的展开式中的项是：．
故选：．
【例7】（2025春•广州期末）（x﹣y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．0B．10C．﹣20D．20
【答案】A
【分析】先求得（x+y）5展开式的通项公式，分别求x2y3和x3y2的项，结合题意即可求得答案．
【解答】解：由题意得（x+y）5展开式的通项公式为，
令r＝2，，
令r＝3，，
所以x3y3的系数为10×1+10×（﹣1）＝0，
即（x﹣y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为0．
故选：A．
【例8】（2025春•临沂期末）的展开式中的常数项是
A．12B．8C．D．
【答案】
【分析】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值．
【解答】解：二项式的通项公式为，，1，2，3，4，5，
当时，．当时，，
故的展开式中常数项的值为．
故选：．
【例9】（2025春•崇左期末）展开式中的系数是
A．15B．C．30D．
【答案】
【分析】写出展开式通项，结合乘积形式求对应项，进而确定的系数．
【解答】解：对于，展开式通项为，，1，，6，
令，则；令，则，
所以展开式中的系数是．
故选：．
【例10】（2025春•运城期末）在的展开式中，含xy4项的系数为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【答案】C
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解．
【解答】解：因为，
（x+y）5展开式的通项公式，k＝0，1，2，3，4，5，
所以的展开式中含xy4的项的系数为＝0．
故选：C．
►考点03 已知三项式求其特定项(或系数)

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例11】（2025春•浙江期中）的展开式中的系数为
A．60B．20C．D．
【答案】
【分析】利用组合数的性质列式可求得答案．
【解答】解：的展开式中的系数为：．
故选：．
【例12】（2025春•兰山区期末）展开式中常数项为
A．B．C．1D．481
【答案】
【分析】根据二项式定理直接求解即可．
【解答】解：根据二项式定理，表示6个相乘，
所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：
①6个中全部选项展开，
常数项为；
②6个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开，
常数项为；
③6个中有2个选择项，4个选择项展开，常数项为；
所以，其常数项为：．
故选：．
【例13】（2025春•鲤城区期中）的展开式中，的系数为
A．24B．C．12D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解．
【解答】解：的展开式中，项是4个多项式中取2个用，一个用，余下一个用，
该项为．
的系数为．
故选：．
【例14】（2025春•河南月考）的展开式中含项的系数为
A．B．C．280D．420
【答案】
【分析】结合二项式展开式的通项公式求解即可．
【解答】解：由二项式定理可得：的展开式中含项的系数为．
故选：．
【例15】（2025•江西模拟）在的展开式中，的系数为
A．3B．6C．60D．30
【答案】
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：表示6个因式的乘积，
在6个因式中，1个因式选，2个因式选，3个因式选，
故的系数为．
故选：．
►考点04 二项式系数和与各项的系数和问题

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例16】（2025春•西青区期末）若展开式的二项式系数之和为64， 6 ；展开式中项的系数为 ．
【答案】6；15．
【分析】第一空，由二项式系数之和为64可得；第二空，由第一空分析可得展开式通项，据此可得答案．
【解答】解：第一空，由题意可得二项式系数和为，解得；
第二空，由第一空可得展开式通项为，，1，，6，
令，则，
则展开式中项的系数为．
故答案为：6；15．
【例17】（2025春•福州期末）已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则
A．40B．41C．D．
【答案】
【分析】利用二项式系数的性质可求得，进而可求得答案．
【解答】解：的展开式中所有项的二项式系数和为16，
，解得；
．
故选：．
【例18】（2025春•涪城区期中）的展开式的二项式系数和为
A．1B．C．32D．
【答案】
【分析】由二项式系数和公式直接计算即可求解．
【解答】解：二项式的展开式的二项式系数和为．
故选：．
【例19】（2025•南通模拟）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可．
【解答】解：的二项展开式中，二项式系数之和等于256，
则，
即，
则二项展开式中二项式系数最大的项为．
故选：．
【例20】（2025春•贵州期中）若（2+x）11＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+a11（x+1）11，则a0＝ 1 ，a1+a2+⋯+a11＝ 2047 ．（结果用数字表达）
【答案】1；2047．
【分析】分别令x＝﹣1，x＝0联立即可求解．
【解答】解：令x＝﹣1，则a0＝1，
令x＝0，则＝2048，
则a1+a2+...+a11＝2048﹣1＝2047．
►考点05 二项展开式中的系数最值问题

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例21】（2025春•福清市期末）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为
A．15B．10C．9D．8
【答案】
【分析】展开式共有9项，所以．
【解答】解：的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故第5项为中间项，
二项式的展开式共有9项，．
故选：．
【例22】（2025春•临沂期中）二项式展开式中，系数最大值为
A．280B．448C．560D．672
【答案】
【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数．
【解答】解：展开式通项公式为且为整数，
要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，
则第1项的系数为1，第3项的系数为84，第5项的系数为560，第7项的系数为448，
故二项式展开式中，系数最大值为560．
故选：．
【例23】（2025春•渝中区期中）的展开式中，二项式系数最大的项是第 项．
A．9B．10C．11D．12
【答案】
【分析】利用二项式系数的性质直接计算即可．
【解答】解：由二项式定理知其展开式有21项，
根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项．
故选：．
【例24】（2025春•盐田区月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第 项．
A．3B．4C．2或3D．3或4
【答案】
【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解．
【解答】解：由于展开式仅有第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，
的展开式的通项公式，1，2，3，4，5，6，7，，
设展开式中系数最大项是，则，
即，
解得，而，因此或，，，
所以展开式中系数最大的项是第3或4项．
故选：．
【例25】（2025•南充模拟）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则
A．9B．10C．11D．12
【答案】
【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有11项，可求得的值．
【解答】解：因为展开式中，二项式系数最大的项只有第6项即最大，
根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，
所以，解得．
故选：．
►考点06 二项式定理的综合应用

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例26】（2025春•滨州期末）被8除的余数为
A．2B．4C．6D．7
【答案】
【分析】直接利用二项式的展开式以及整除问题的应用求出结果．
【解答】解：，故被8除余数为7，
所以被8除的余数为6．
故选：．
【例27】（2025春•濮阳期末）设，则中最大的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】求出展开式的通项公式，然后设最大，根据展开式建立不等式组求出的值，再分别判断系数的符号，进而可以求解．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，，20，
设最大，则，解得，则或14，
当时，，当时，，
所以系数最大的为．
故选：．
【例28】（2025春•青州市期末）的展开式的第二项的二项式系数为
A．10B．5C．D．
【答案】
【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案．
【解答】解：二项式的展开式的第2项的二项式系数为．
故选：．
【例29】（2025春•台州期末）关于的展开式，下列说法正确的是
A．第7项的二项式系数最大
B．当时，被3除的余数为2
C．展开式中存在常数项
D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列
【答案】
【分析】利用二项式系数的单调性可判断选项；利用二项展开式可判断选项；利用二项展开式通项可判断选项；假设、、成等差数列，利用等差中项的性质结合组合数公式求出的值，可判断选项．
【解答】解：：因为二项式的展开式共有15项，则第8项的二项式系数最大，错；
：当时，，
展开式的前7项都能被3整除，故被3整除的余数为1，错；
：二项式的展开式通项为，
由得，故展开式中不存在常数项，错；
：由选项可知，展开式中每一项的系数都为其二项式系数，
不妨设、、成等差数列，
所以，即，
整理得，解得或，合乎题意，对．
故选：．
【例30】（2025•枣庄模拟）已知，则被4除的余数为
A．3B．2C．1D．0
【答案】
【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案．
【解答】解：已知，
令，由已知可得，，
令，可得，
所以．
因为
，
所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0．
故选：．
求二项展开式中特定项的步骤
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m.
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题．
求三项展开式中特定项(系数)的方法
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al(\s\up7(\f(n,2)),n)；当n为奇数时，展开式中第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al(\s\up7(\f(n-1,2)),n)或Ceq \\al(\s\up7(\f(n+1,2)),n).
2．二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))注意解出k后要检验首末两项．
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.