高考数学一轮复习考点讲与练专题52 两个计数原理、排列与组合同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题52 两个计数原理、排列与组合同步练习（含答案解析），共3页。
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•安徽期末）某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为
A．20B．18C．16D．14
2．（2025春•西青区期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有
A．种B．种C．种D．种
3．（2025春•邯郸期中）某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有
A．48种B．36种C．24种D．12种
4．（2025春•天津期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡．现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（ ）
A．8种B．10种C．12种D．14种
5．（2025春•海口期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为
A．24B．48C．72D．120
6．（2025春•新城区期末）某同学从4个球类项目和2个田径类项目中选1个项目参加，则不同的选择方案共有
A．6种B．8种C．12种D．16种
7．（2025春•库尔勒市期末）某班有女生22人，男生24人，现从该班级选1名同学参加某活动，不同的选法有（ ）
A．22种B．24种C．46种D．48种
8．（2025春•阳泉期末）某校高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，则他们不同的选法种数是
A．B．C．D．
9．（2026•成都模拟）在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有
A．24种B．36种C．48种D．60种
10．（2025春•肇庆期末）从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为
A．540B．180C．360D．1080
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•石家庄期末）A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ）
A．五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种
B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法
C．五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法
D．A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法
（多选）12．（2025春•福清市期末）从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有
A．若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种
B．若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法
C．若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法
D．若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法
（多选）13．（2025春•贵州期中）某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是
A．若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法
B．若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法
C．若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法
D．若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法
（多选）14．（2025春•南阳期末）数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的五位数构成集合，则下列说法正确的是
A．中有偶数60个
B．中数字1，2相邻的数有36个
C．中2，4不相邻的数有72个
D．将中的元素从小到大排列，第55个数为31024
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•三明期末）《数术记遗》记述了我国古代十余种算法．甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种．
16．（2025•临沂模拟）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法．
17．（2025•山东模拟）甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有 种不同的分配方案．
18．（2025•浦东新区三模）袋中有7个互不相同的小球，其中白球4个，黑球2个，红球1个．现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，每次取1个，取后不放回，直到有人取到白球为止．则最终由乙取到白球，且过程中红球已取出的不同取法数为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•贵州期中）某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目．
（1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数；
（2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数；
（3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数．
20．（2025春•安徽期中）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
21．（2025春•保定期末）高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动．（用数字作答下列问题）
（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数．
22．（2025春•眉山期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
（3）2名老师之间必要有男女学生各1人．
23．（2025春•宜昌期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业．教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教．
（1）若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？
（2）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？
（3）若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？
24．（2025春•山东月考）从包含甲、乙2人的7人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
（4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
（5）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据题意，分两步进行分析：先将4名专家分为2组，再将分好的2组安排到2个不同的医院．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
首先把4人分为2组，有2种情况：
①一个医院1人，一个医院3人，此时有种，
②两个医院各2人，此时有种，
则有种分组方法，
再将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况，
故不同的分配方案有种．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据题意可知每人均有3种菜品可供选择，结合分步乘法计数原理即可得结果．
【解答】解：学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，
则每人均有3种菜品可供选择，
所以选法的可能方式共有种．
故选：．
3．【答案】
【分析】利用分类加法计数原理可求．
【解答】解：学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，
根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．
故选：．
4．【答案】B
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合特殊元素、特殊位置优先处理求解即可．
【解答】解：已知包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，
则不同的参赛方案有＝10种．
故选：B．
5．【答案】
【分析】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算可得结果．
【解答】解：秀英区有4种选择，龙华区有3种选择，
当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择；
当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择；
当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择；
所以不同的着色方法的种数为．
故选：．
6．【答案】
【分析】利用分类加法计数原理可得结果．
【解答】解：若选择的为田径类项目，有2种选择，
若选择的为球类项目，有4种选择，
由分类加法计数原理可知，不同的选择方案种数为种．
故选：．
7．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算得解．
【解答】解：某班有女生22人，男生24人，现从该班级选1名同学参加某活动，
完成不同选法这件事有两类办法：选女生有22种方法；选男生有24种方法，
所以不同的选法有22+24＝46种．
故选：C．
8．【答案】
【分析】由乘法计数原理即可求解．
【解答】解：高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，
每一位同学都有3种选择，根据分步乘法计数原理可得一共有种情况．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据题意先排乙、丙、丁三名同学，再利用插空法排甲即可．
【解答】解：甲、乙、丙、丁四名同学分别到敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，且甲不在相邻两天，
则先排乙、丙、丁三名同学，有种方法，
再利用插空法，将甲插入4个空中，有种方法，
则共有种方法．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件的分配方式，结合组合数和排列数进行分步计算．
【解答】解：由题意先选人，甲乙都去有种选择，甲乙都不去有种选择，
又每个工地要求至少有一名工程师，
所以分配方案为2，2，1，有种方案，
所以不同分配方法的种数为．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】ACD
【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A，根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D．
【解答】解：对于选项A，将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，
则共有＝24×2＝48种情况，故选项A正确；
对于选项B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，
一共有种安排方法，故选项B错误；
对于选项C，由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，
所以共有＝20种方法，故选项C正确；
对于选项D，从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，
假若前两天值日的人为分别为AB，
则6天的安排有ABCABC，ABCACB，ABCBAC，ABCBCA，ABACBC共有5种，
故总的安排有6×5＝30，故选项D正确．
故选：ACD．
12．【答案】
【分析】根据题设及各项描述，应用组合数依次求出不同选法数，即可判断．
【解答】解：对于，选出的4个球全部为蓝球，有种，故对；
对于，选出的4个球中蓝球红球各有2个，有种，故错；
对于，蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，有种，故错；
对于，若蓝球的0号和红球的6号都不在选出的4个球内，有种，从10个球中任选4个，有种，
所以蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，有种，故对．
故选：．
13．【答案】
【分析】利用倍缩法计算，利用插空法判断，利用捆绑法判断，分丙排尾与丙不在排尾两种情况讨论，即可判断．
【解答】解：对于选项位专家站成一排合影留念，若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，
将6位专家全排列，其中专家甲、乙、丙三人的顺序固定，则用倍缩法，有种排法，故选项正确；
对于选项：若专家甲、乙两人不相邻，先将其余四人全排列，再将甲、乙两人插空，
有种排法，故选项正确；
对于选项：若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，先将甲、乙、丙三人作为一组与其余三人全排列，组内再排乙、丙，
有种排法，故选项错误；
对于选项：若丙排尾，则有种排法，若丙不在排尾，则有种排法，
综上可得若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有种排法，故选项错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】分个位数是否为零两种情况讨论即可判断；利用捆绑法即可判断，利用排除法结合捆绑法即可判断；易得第55个数的首位为3，再列举即可判断．
【解答】解：对于选项
若个位数不为0，则个位数只能是2，4之一，
0只能在中间3个位置任选一个位置，
剩余3个数字在剩余的三个位置上任意排列，
则有个．
若个位数为0，则有个；
所以偶数有60个，故正确；
对于选项，将1，2看成一个整体，首位不为0，
则有个，
所以中数字1，2相邻的数有36个，故正确；
对于选项，种共有个元素，
其中2，4相邻有个，
所以中2，4不相邻的数有个，故错误；
对于选项，
首位为1，则有个，
首位为2，则有个，
首位为3，则有个，
所以将中的元素从小到大排列，第55个数的首位为3，
则第49个数为30124，第50个数为30142，第51个数为30214，第52个数为30241，
第53个数为30412，第54个数为30421，第55个数为31024，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】150．
【分析】把5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，再安排给3人，由此计算可得．
【解答】解：5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，有种方法，
再安排给3人，则不同的分工收集方案种．
故答案为：150．
16．【答案】720．
【分析】利用插空法即可解．
【解答】解：根据题意，只需要从七个节目利用插空法即可，且每次插入一个节目都会增加一个空，
则一共有种插法．
故答案为：720．
17．
【分析】人数的分配有和两种；然后分别求解即可．
【解答】解：人数的分配有和两种；
若是，则有种，
若是，则有种，
则共有150种不同的分配方案．
故答案为：150．
18．【答案】28．
【分析】可先列出满足题意的所有情况，再结合排列组合知识计算即可．
【解答】解：根据题意，由题意可得满足条件的基本事件有：
红，白，红，黑，黑，白，黑，黑，红，白，黑，红，黑，白，
则事件有4种情况；
事件有种情况；
事件有种情况；
事件有种情况，
则共有种不同取法．
故答案为：28．
四．解答题（共6小题）
19．
【分析】（1）由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及分步乘法计数原理求解．
（2）由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
（3）由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：（1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，
则不同的安排方法种数为；
（2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，
则不同的安排方法种数为；
（3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，
则不同的安排方法种数．
20．【答案】（1）256种；
（2）144种；
（3）12种．
【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解；
（2）先分组再分配即可；
（3）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，利用组合数即可求解，
【解答】解：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法．
（2）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有（种放法．
（3）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有（种放法．
21．【答案】（1）120；
（2）78．
【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数；
（2）用分类法求排法种数．
【解答】解：（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种．
（2）甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法．
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种．
22．【答案】（1）96；（2）1728；（3）3840．
【分析】（1）按照特殊元素先排的原则即可；（2）互不相邻问题，利用插空法；（3）利用捆绑法即可．
【解答】解：（1）由题意可得共种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，
最后排剩余的3名男学生有种站法，所以共有种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有 种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
23．【答案】（1）60；
（2）90；
（3）540．
【分析】（1）按照分步乘法计数原理计算可得结果；
（2）按照分组分配的方式计算可得结果；
（3）可分为三类，在每一类中再利用分步乘法计数原理计算可得结果．
【解答】解：（1）已知若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，
6名教师选1名到甲学校任教，有种方法，
从剩余的5名教师中选2名到乙学校，有种方法，
剩余3名教师都分配到丙学校去任教，有种方法，
则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，共有种分配方法；
（2）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，
则6名教师按1，1，4分为三个组，有种方法，
则三所学校中一学校4人，另外两校各1人共有种分配方法．
（3）由题可得教师的分配方案可以是：①1，2，3；②1，1，4；③2，2，2，
①6名教师按1，1，4分为三个组有种分法，
则6人分配到三所学校共有种分配方法；
②6名教师按1，2，3分为三个组有种方法，
则6人分配到三所学校共有种分配方法；
③6名教师平均分配到3所学校有种方法，
则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：360+90+90＝540种方法．
24．【答案】（1）40；
（2）240；
（3）120；
（4）120；
（5）140．
【分析】（1）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑；
（2）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑；
（3）元素相邻用捆绑法；
（4）元素不相邻用插空法；
（5）按甲跑第四棒和甲不跑第四棒分类．
【解答】解：从包含甲、乙2人的7人中选4人参加米接力赛，
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒的排法有；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒的排法有；
（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒的排法有；
（4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒的排法有；
（5）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的排法有．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
C
A
C
B
B
A
题号
11
12
13
14
答案
ACD
AD
AB
ABD