高考数学一轮复习考点讲与练专题49 用样本估计总体同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题49 用样本估计总体同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了下列各组数的方差最小的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•大同期末）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ）
A．8B．9C．8.5D．9.5
2．（2025春•清远期末）下列各组数的方差最小的是
A．5，5，5，5，5B．4，4，5，6，6C．3，3，4，4，4D．5，6，7，8，9
3．（2025春•梅州期末）某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有7个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分．设对于某选手的演讲，7个评委的原始评分分别为：75，80，85，90，85，95，85，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
4．（2025春•德州期末）在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，阅这组数据的分位数是
A．6.5B．8C．8.5D．9
5．（2025春•宜都市期末）若个样本、、、、的平均数是，方差为4，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是
A．16、6B．10、16C．13、18D．13、16
6．（2025春•高县期末）若甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，，的平均数为5，则下列说法不正确的是
A．的值为
B．乙组样本数据的方差为45
C．两组样本数据的样本极差不同
D．两组样本数据的样本中位数一定相同
7．（2025春•河南期末）杨村四中组织“我爱共青团”知识测试，随机调查高一年级100名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，，，，分成五组得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是
A．图中
B．估计样本数据的第80百分位数为93分
C．测试成绩高于80分的人数为45人
D．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为79.5分
8．（2025春•洛阳期末）一组数据8，12，15，6，11，18的第75百分位数是
A．8.5B．11C．14.5D．15
9．（2025春•资阳期末）一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为
A．4B．C．5D．
10．（2025春•泸州期末）本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则
A．图中的值为0.020
B．估计样本数据的众数值为90
C．估计样本数据的第分位数为95
D．估计样本数据的平均数大于中位数
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•资阳期末）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（ ）
A．平均说来甲队比乙队防守技术好
B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
C．甲队比乙队技术水平更稳定
D．乙队很少不失球
（多选）12．（2025•山东模拟）小明和小强在球场上进行罚球练习，双方均以5个罚球为一组，其中小明练习5组，小强练习7组，观将他们每组练习中罚球命中的个数统计如下：
则下列说法正确的是
A．若，则小明和小强罚球命中个数的平均数相同
B．若小明和小强罚球命中个数的极差相同，则
C．若，则小明和小强罚球命中个数的中位数相同
D．若，则小明罚球命中个数的方差小于小强罚球命中个数的方差
（多选）13．（2025春•洛阳期末）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次，并记下自己投掷时出现的点数，从而得到四组数据，这四组数据的相关情况如下：
甲：中位数为3，众数为2；
乙：中位数为3，极差为4；
丙：平均数为3，中位数为2；
丁：平均数为2，方差为3.2．
则在投掷过程中可能出现点数6的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
（多选）14．（2025春•汕头期末）某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有
A．直方图中的
B．过去60天苹果日销售量的平均数估计值为
C．过去60天苹果日销售量的众数估计值为
D．过去60天苹果日销售量的中位数估计值为
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•青岛期末）一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是 ．
16．（2025春•包河区期末）某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93，则这组数据的第75百分位数为 ．
17．（2025春•南京期末）某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ，病人等待时间方差的估计值 ．
18．（2025春•潞州区期末）心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋•宝山区期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8．
（1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数；
（2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5、5.3、5.6、5.8、5.9，求所选女生样本的第40百分位数；
（3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到．
20．（2025春•太原期末）为选派一名学生参加市级实践技能比赛，甲、乙两名同学在实践基地加工直径为的零件测试，从其加工的零件中各随机抽取10件测得数据如下（单位：
甲 11 10 9 11 9 11 10 9 11 9
乙 10 12 10 11 10 9 11 9 9 9
（1）根据样本计算甲、乙所加工零件直径的平均数和方差；
（2）从计算结果分析，应选派哪位同学参加比赛？
21．（2025春•河池期末）2025年选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛．在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下：
（1）求甲运动员的样本数据第75百分位数；
（2）分别计算这两位运动员每轮投篮成绩的平均数和方差；
（3）根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？
22．（2025春•滦州市期末）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．
（1）结合平均数和方差分析谁更优秀；
（2）结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；
（3）结合平均数和命中9环及以上的次数分析谁的成绩好些；
（4）从折线图上两人射击命中环数的走势分析谁更有潜力．
23．（2024秋•陕西期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数；
（Ⅱ）在样本答卷成绩为，，，，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在，中的市民应抽取多少个？
（Ⅲ）若落在，的平均成绩是57，方差是2，落在，的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．
24．（2025春•杨浦区月考）人工智能算力是驱动时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：，数据范围在之间，排序后的数据如下：
（1）直接写出这组数据的众数和极差；
（2）现该实验室准备组建一个服务器集群，为了使该服务器集群总算力最大（即算力总和最大）的同时又满足能耗比的需求（要求该集群的服务器的平均算力不低于，该实验室应该选取多少台服务器组成服务器集群？分别是哪几台？
（3）若该实验室增加2台服务器，算力数据分别是和，通过计算发现，增加这两台服务器前后，该实验室服务器的平均值和第75百分位数都不变，求、的值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】先利用平均数的计算公式求出a的值，然后将数据从小到大排列，由百分位数的定义求解即可．
【解答】解：因为数据10，8，a，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有a＝8×8﹣（10+8+8+7+9+6+8）＝8，
将得分按照从小到大的顺序排列为：
6，7，8，8，8，8，9，10，
因为8×75%＝6为整数，
所以这组数据的75百分位数为．
故选：C．
2．【答案】
【分析】根据方差的意义立即选出正确答案．
【解答】解：因为组数据的所有数据相同，完全集中，
所以组数据的方差为0，
而组，组和组数据的方差都大于0，
所以组方差最小．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义求解．
【解答】解：原始评分从小到大排列为：75，80，85，85，85，90，95，
平均数为，中位数为85，众数为85，
方差为，
有效评分从小到大排列为：80，85，85，85，90，
平均数为，中位数为85，众数为85，
方差为，
所以发生改变的是方差．
故选：．
4．【答案】
【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解．
【解答】解：8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，
将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，9，10，
，
这组数据的分位数．
故选：．
5．【答案】
【分析】由题意可知，，，2，，，再利用平均数和方差的性质求解．
【解答】解：由题意可知，，，2，，，
样本、、、、的平均数是，方差为4，
样本、、、、的平均数为，方差为．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据两组样本数据的平均数与方差的关系，可判定、正确，根据极差的概念，可判定正确，根据中位数的计算方法，可得判定正确．
【解答】解：对于，因为甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为，方差为，
乙组样本数据，，，的平均数为5，
所以，解得，故正确；
对于，设乙组样本数据的方差为，可得，所以正确；
对于，不妨设，则甲组数据的极差为，
乙组数据的极差为，
因为甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，故正确；
对于，设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，
若，可得，
所以两组样本数据的中位数可能相同，故错误．
故选：．
7．【答案】
【分析】由所有矩形面积和为1，用频率分布直方图估计百分位数，平均数，样本估计总体逐项判断即可．
【解答】解：由，解得，故错误；
设第80百分位数为，由，，
所以，则，解得，故错误；
高于80分的频率为，故高于80分的人数为人，故错误；
若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为
，故正确，
故选：．
8．【答案】
【分析】根据百分位数的计算公式，可得答案．
【解答】解：已知一组数据8，12，15，6，11，18，
则由小到大排列为6，8，11，12，15，18，
由，则第75百分位数为15．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据百分位数的计算方法求解即可．
【解答】解：已知一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，
又，
所以第分位数为从小到大排列的第9个数，即第分位数为5．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据频率和为1求参数值，再由频率直方图求众数、百分位数、中位数、平均数依次判断各项正误．
【解答】解：已知某校随机抽取了100名学生进行成绩统计，
对于，由题设，可得，故错；
对于，由直方图知，估计样本数据的众数值为，故错；
对于，由，
则样本数据的第分位数在，内，
设为，则，可得，故对；
对于，由平均数为，
由图易知中位数在，内，设中位数为，则，可得，
所以中位数大于平均数，故错．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】ABD
【分析】用平均数和方差分别估计数据的平均水平和稳定性．
【解答】解：对于A，甲队每场比赛平均失球数是1.6，小于乙队每场比赛平均失球数是2.3，
平均说来甲队比乙队防守技术好，A正确；
对于B，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，B正确；
对于C，甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5，
所以乙队比甲队技术水平更稳定，C错误；
对于D，虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3，算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5，由于标准差很小，方差是0.25更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，D正确．
故选：ABD．
12．【答案】
【分析】根据题意，由平均数、极差、中位数和方差的计算公式，依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，小明罚球命中的平均数，
若，则小强罚球命中个数的平均数为，正确；
对于，小明罚球命中的极差为，
若小明和小强罚球命中个数的极差相同，即小强罚球命中的极差也为4，
则有且，但无法确定的值，错误；
对于，小明罚球命中的中位数为3，
若，则有或或，此时都有小明罚球命中的中位数为3，正确；
对于，小明罚球命中个数的方差为，
若，小强罚球命中个数的平均数为，
则其方差为，
小明罚球命中个数的方差大于小强罚球命中个数的方差，错误．
故选：．
13．【答案】
【分析】通过取掷骰子的点数，即可得，和正确，再通过检验平均数为2，出现点数6时，方差为4，即可求解．
【解答】解：根据题意，依次分析4组数据，
对于甲，若骰子的点数为2，2，3，4，6，此时中位数为3，众数为2，所以甲投掷过程中可能出现点数6，
对于乙，若骰子的点数为2，2，3，4，6，此时中位数为3，极差为4，所以乙投掷过程中可能出现点数6，
对于丙，若骰子的点数为1，2，2，4，6，此时平均数为3，中位数为2，所以丙投掷过程中可能出现点数6，
对于丁，若掷骰子5次，平均数为2，方差为3.2，不妨设这5次骰子的点数分别为，
则，若，则，
此时方差为，
所以丁在投掷过程中不可能出现点数6．
故选：．
14．【答案】
【分析】利用各组频率之和为1可求解的值，进而判定；根据平均数、众数以及中位数的计算公式即可判定．
【解答】解：对于，由频率分布直方图的性质得：
，解得，故正确；
对于，平均数为，
过去60天苹果日销售量的平均数估计值为，故正确；
对于，众数为频率最大的一组的中间值，即，
过去60天苹果日销售量的众数估计值为，故错误；
对于，由于，
，
设中位数为，则，解得，
过去60天苹果日销售量的中位数估计值为，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】3．
【分析】由百分位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据共有8个数，
因为，所以这组数据的第25百分位数为从小到大排列后的第二个数和第三个数的平均数，即为．
故答案为：3．
16．【答案】84．
【分析】根据百分位数的求解公式即可求解．
【解答】解：已知数据是从小到大排列，共有12个数据，
因为，所以这组数据的第75百分位数为第9个数据和第10个数据的平均数，即为．
故答案为：84．
17．【答案】9.5，28.5．
【分析】根据加权平均数以及方差的定义计算即可．
【解答】解：根据题意计算平均数为；
，
故答案为：9.5，28.5．
18．【答案】8.9．
【分析】根据百分位数定义计算求解．
【解答】解：已知心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，
因为，所以这组数据的第60百分位数为．
故答案为：8.9．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）2000；
（2）5.6；
（3）平均数为7.168，方差为7.692．
【分析】（1）结合分层抽样的定义，即可求解；
（2）结合百分位数的定义，即可求解；
（3）结合平均数和方差的定义，即可求解．
【解答】解：（1）按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．
设该校学生总数为，
则，解得，
所以该校学生总数为2000．
（2）由，得所选女生样本的第40百分位数为第11个数5.6．
（3）所有样本数据的平均数；
所有样本数据的方差为．
20．【答案】（1）甲的平均数为10，方差为0.8；乙的平均数为10，方差为1；（2）甲．
【分析】（1）根据平均数，方差公式分别求出甲，乙的平均数，方差即可；（2）比较平均数，方差的大小，然后根据数字特征即可判断求解．
【解答】解：（1）由题意可得甲的平均数为，
方差为；
乙的平均数为，
方差为；
（2）由（1）可得，，
说明甲乙的平均数相同，但是甲的方差小于乙的方差，则甲同学加工零件的技能更稳定，应选派甲参加比赛．
21．【答案】（1）9；
（2）甲的平均数为7，方差为4.6，乙的平均数为7，方差为1.2；
（3）乙发挥的更加稳定，理由见解析．
【分析】（1）根据百分位数的计算公式即可求解，
（2）由平均数和方差的计算公式即可求解，
（3）根据方差的大小即可比较作答．
【解答】解：（1）甲运动员的成绩从小到大排列为4，4，5，6，7，7，8，9，10，10，
因为，
所以甲运动员的样本数据第75百分位数为9；
（2）由题意可知，甲的平均数为，
所以方差为，
乙的平均数为，
方差为；
（3）由（2）知：甲的方差，乙的方差，
所以，
故乙发挥的更加稳定．
22．【答案】（1）甲更优秀；
（2）乙的成绩比甲好些；
（3）乙的成绩比甲好些；
（4）乙更有潜力．
【分析】根据题中折线图数据可计算出甲，乙的平均数，方差，中位数，命中9环及以上次数根据数据性质可逐一判断．
【解答】解：根据题意，甲的数据为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的数据为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
经计算甲，乙的平均数分别为7，7，方差为1.2，5.4，中位数为7，7.5，命中9环及以上次数为1，3，
（1）因为平均数相同，且甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比乙稳定，甲更优秀；
（2）因为平均数相同，甲的中位数小于乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些；
（3）因为平均数相同，且乙命中9环及以上的次数比甲多，所以乙的成绩比甲好些；
（4）甲的成绩在平均线附近波动，而乙一直处于上升趋势，从第4次开始射靶的环数没有比甲少的情况发生，所以乙更有潜力．
23．【答案】（Ⅰ），86；
（Ⅱ）6人；
（Ⅲ），．
【分析】（Ⅰ）由频率和为1列方程求出，根据百分位数的定义求解即可；
（Ⅱ）根据分层抽样原理，求解即可；
（Ⅲ）利用分层抽样方法的平均数与方差公式，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由频率和为1，得，解得，
因为，设第80百分位数为，则，解得，
所以样本成绩的第80百分位数为86；
（Ⅱ）因为成绩为，，，，，的频率比为，
用分层抽样法抽取13个，在，中的市民应抽取（人；
（Ⅲ）在，中的平均成绩是57，方差是2，在，中的平均成绩为69，方差是5，
所以这两组成绩的总平均数为；
总方差为．
24．【答案】（1）众数为220，极差为185；
（2）13台；取所有算力大于等于239的服务器，取1台230的服务器；
（3），．
【分析】（1）观察可直接确定众数、极差；
（2）从大到小区计算均值即可得到满足需求的选取方式；
（3）根据增加前后的数据对比，可求得、的值．
【解答】解：（1）观察已知数据，可得众数为 220，极差为．
（2）因为，
，
所以应该选13台；取所有算力大于等于239的服务器，取1台230的服务器．
（3）增加前，均值为210，则，且，，
由，得第75百分位数为244；
增加后，，第75百分位数为第24与第25个数据的均值，仍为244，
所以，故．小明
3
1
2
5
4
小强
5
2
3
1
4
等待时间分
，
，
，
，
，
频数
4
8
5
2
1
甲
4
7
6
5
4
9
10
7
8
10
乙
7
5
8
6
7
9
7
6
7
8
115
119
120
133
150
160
161
170
180
190
210
220
220
220
220
225
230
230
239
240
240
241
244
245
247
247
249
250
285
300
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
D
D
D
D
C
C
题号
11
12
13
14
答案
ABD
AC
ABC
AB