第48讲　用样本估计总体高考数学一轮复习讲义练习

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激活思维
1. (人A必二P203例2改)某射击运动员7次训练的成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为( B )
A. 88.5B. 89
C. 91D. 89.5
【解析】 因为7次训练的成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.
2. (2024·南通一调)(多选)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据：
则( BC )
A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
【解析】 甲成绩的极差为93－87＝6，乙成绩的极差为92－88＝4，故A错误；甲成绩的平均值为 eq \f(87＋91＋90＋89＋93,5)＝90，乙成绩的平均值为 eq \f(89＋90＋91＋88＋92,5)＝90，故B正确；甲成绩的中位数为90，乙成绩的中位数为90，故C正确；甲成绩的样本标准差为 eq \r(\f(9＋1＋0＋1＋9,5))＝2，乙成绩的样本标准差为 eq \r(\f(1＋0＋1＋4＋4,5))＝ eq \r(2)，故D错误．
3. (多选)已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是 eq \x\t(x)，方差是s2，极差为R，则下列判断正确的是( AC )
A. 若ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，ax4＋b，ax5＋b，ax6＋b的平均数是 eq \x\t(x)0，则 eq \x\t(x)0＝a eq \x\t(x)＋b
B. 若x1，2x2，3x3，4x4，5x5，6x6的极差是R1，则R1＞R
C. 若方差s2＝0，则x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6
D. 若x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则第75百分位数是 eq \f(x4＋x5,2)
【解析】 对于A， eq \x\t(x)0＝ eq \f(1,6)(ax1＋b＋ax2＋b＋ax3＋b＋ax4＋b＋ax5＋b＋ax6＋b)＝ eq \f(1,6)[a(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＋6b]＝a· eq \f(1,6)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＋b＝a eq \x\t(x)＋b，即 eq \x\t(x)0＝a eq \x\t(x)＋b，所以A正确；对于B，若样本数据为－10，－4，－3，－2，－1，0，可得极差为R＝10，则数据x1，2x2，3x3，4x4，5x5，6x6的极差为R1＝10，此时R＝R1，所以B不正确；对于C，s2＝ eq \f(1,6)[(x1－ eq \x\t(x))2＋(x2－ eq \x\t(x))2＋(x3－ eq \x\t(x))2＋(x4－ eq \x\t(x))2＋(x5－ eq \x\t(x))2＋(x6－ eq \x\t(x))2]，若s2＝0，可得x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6，所以C正确；对于D，由6×75%＝4.5，知这组数据的第75百分位数为x5，所以D错误．
4. (人A必二P216习题T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，_乙_机床的性能更好．
【解析】 甲机床的平均数 eq \x\t(x)甲＝ eq \f(0＋1＋0＋…＋4,10)＝1.5，标准差s甲＝ eq \r(\f(1,10)[(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋…＋(4－1.5)2])≈1.28；乙机床的平均数 eq \x\t(x)乙＝ eq \f(2＋3＋…＋1,10)＝1.2，标准差s乙＝ eq \r(\f(1,10)[(2－1.2)2＋(3－1.2)2＋…＋(1－1.2)2])≈0.87.比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好．
聚焦知识
1. 总体平均数与样本平均数
2. 百分位数
一般地，一组数据的第k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有_k%_的数据小于或等于pk，且至少有_(100－k)%_的数据大于或等于pk.如果将样本数据从小到大排列成一行，那么第k百分位数pk所处位置如图所示．
3. 平均数、中位数和众数
(1) 平均数： eq \x\t(x)＝ eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).
(2) 中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最_中间_的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的_平均数_(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数．
(3) 众数：一组数据中出现次数_最多_的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
4. 标准差与方差
设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为 eq \x\t(x)，则这组数据的标准差和方差分别是s＝
eq \r(\f(1,n)[(x1－\x\t(x))2＋(x2－\x\t(x))2＋…＋(xn－\x\t(x))2])，
s2＝ eq \f(1,n)[(x1－ eq \x\t(x))2＋(x2－ eq \x\t(x))2＋…＋(xn－ eq \x\t(x))2]＝ eq \f(1,n) eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x eq \\al(2,i)－ eq \x\t(x)2.
5. 常用结论
(1) 若数据x1，x2，…，xn的平均数为 eq \x\t(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是_m eq \x\t(x)＋a_．
(2) 若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则：
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差为_s2_；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为_a2s2_．
研题型 素养养成
举题说法
百分位数的估计
例1 (1) (2024·苏州期末)棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度(单位：mm)，按从小到大排序结果如下：
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
则估计这批棉花的第45百分位数为_61.5_．
【解析】 由题意知20×45%＝9，所以这批棉花的第45百分位数为从小到大排列的第9个数与第10个数的平均数，即 eq \f(61＋62,2)＝61.5.
(2) (2024·安庆二模)在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为100分)，将所有数据按[40，50]，(50，60]，(60，70]，(70，80]，(80，90]，(90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为( B )
(例1(2))
A. 80B. 78
C. 76D. 74
【解析】 由0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＝0.4，0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.7，故这次调查数据的第64百分位数位于(70，80]，设这次调查数据的第64百分位数为x，则有 eq \f(x－70,10)＝ eq \f(0.64－0.4,0.7－0.4)，解得x＝78.
计算一组n个数据第p百分位数的步骤：
第一步，按从小到大的顺序排列原始数据；
第二步，计算i＝n×p%；
第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
变式1 (2024·日照一模)有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，7，8，9，10，则这组数据的40%分位数为_7_．
【解析】 因为该组数据共6个，且6×40%＝2.4，所以这组数据的40%分位数为第三个数，即为7.
总体集中趋势估计
例2 (1) (2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
根据表中数据，下列结论中正确的是( C )
A. 100块稻田亩产量中位数小于1 050kg
B. 100块稻田中的亩产量低于1 100kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1 000kg之间
【解析】 对于A，根据频数分布表知，6＋12＋18＝36＜50，所以100块稻田亩产量中位数不小于1 050kg，故A错误；对于B，亩产量不低于1 100kg的稻田频数为24＋10＝34，所以亩产量低于1 100kg的稻田所占比例为 eq \f(100－34,100)＝66%，故B错误；对于C，亩产量的极差最大值为1 200－900＝300，最小值为1 150－950＝200，所以极差介于200kg至300kg之间，故C正确；对于D，估计平均数为 eq \x\t(x)＝ eq \f(1,100)×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误．
(2) (2024·泰安三模)(多选)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( ACD )
(例2(2))
A. m＝0.03
B. 样本质量指标值的平均数为75
C. 样本质量指标值的众数小于其平均数
D. 样本质量指标值的第75百分位数为85
【解析】 由题意知(0.010＋0.015＋0.035＋m＋0.010)×10＝1，解得m＝0.030，故A正确；样本质量指标值的平均数为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5，故B错误；样本质量指标值的众数是 eq \f(70＋80,2)＝75＜76.5，故C正确；前3组的频率之和为(0.010＋0.015＋0.035)×10＝0.60，前4组的频率之和为0.60＋0.030×10＝0.90，故第75百分位数位于第4组，设其为t，则(t－80)×0.030＋0.60＝0.75，解得t＝85，即第75百分位数为85，故D正确．
频率分布直方图中的数字特征
(1) 众数估计值：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2) 中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(3) 平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
变式2 (2023·新高考Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( BD )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
【解析】 对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝ eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6)－ eq \f(x2＋x3＋x4＋x5,4)＝ eq \f(2(x1＋x6)－(x2＋x3＋x4＋x5),12)，因为无法确定2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，如1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5；如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2；如1，2，2，2，2，2，可得m＝2，n＝ eq \f(11,6)，故A错误．对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为 eq \f(x3＋x4,2)，故B正确．对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，如2，4，6，8，10，12，则平均数n＝ eq \f(1,6)×(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7，标准差s1＝ eq \r(\f(1,6)×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(10－7)2＋(12－7)2])＝ eq \f(\r(105),3)，4，6，8，10的平均数m＝ eq \f(1,4)×(4＋6＋8＋10)＝7，标准差s2＝ eq \r(\f(1,4)×[(4－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(10－7)2])＝ eq \r(5)，显然 eq \f(\r(105),3)＞ eq \r(5)，即s1＞s2，故C错误．对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．
总体离散程度估计
例3 (2023·全国乙卷理)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…10)，试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为 eq \x\t(z)，样本方差为s2.
(1) 求 eq \x\t(z)，s2；
【解答】 eq \x\t(x)＝ eq \f(1,10)×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3， eq \x\t(y)＝ eq \f(1,10)×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3， eq \x\t(z)＝ eq \x\t(x)－ eq \x\t(y)＝552.3－541.3＝11，zi＝xi－yi 的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，故s2＝ eq \f(1,10)×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果 eq \x\t(z)≥2 eq \r(\f(s2,10))，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)．
【解答】 由(1)知 eq \x\t(z)＝11，2 eq \r(\f(s2,10))＝2 eq \r(6.1)＝ eq \r(24.4)，故有 eq \x\t(z)≥2 eq \r(\f(s2,10))，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
分层随机抽样的均值与方差
视角1 分层随机抽样中的均值
例 4-1 记样本x1，x2，…，xm的平均数为 eq \x\t(x)，样本y1，y2，…，yn的平均数为 eq \x\t(y) ( eq \x\t(x)≠ eq \x\t(y)).若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为 eq \x\t(z)＝ eq \f(1,4) eq \x\t(x)＋ eq \f(3,4) eq \x\t(y)，则 eq \f(m,n)的值为( D )
A. 3B. 4
C. eq \f(1,4)D. eq \f(1,3)
【解析】 由题意知x1＋x2＋…＋xm＝m eq \x\t(x)，y1＋y2＋…＋yn＝n eq \x\t(y)， eq \x\t(z)＝ eq \f((x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋yn),m＋n)＝ eq \f(m\x\t(x)＋n\x\t(y),m＋n)＝ eq \f(m\x\t(x),m＋n)＋ eq \f(n\x\t(y),m＋n)＝ eq \f(1,4) eq \x\t(x)＋ eq \f(3,4) eq \x\t(y)，所以 eq \f(m,m＋n)＝ eq \f(1,4)， eq \f(n,m＋n)＝ eq \f(3,4)，可得3m＝n，所以 eq \f(m,n)＝ eq \f(1,3).
(1) 抽样比＝ eq \f(样本容量,总体容量)＝ eq \f(各层样本容量,各层个体总量).
(2) 如果第一层的样本量为m，平均值为 eq \x\t(x)；第二层的样本量为n，平均值为 eq \x\t(y)，则样本的平均值为 eq \f(m\x\t(x)＋n\x\t(y),m＋n).
视角2 分层随机抽样中的方差
例 4-2 (2024·荆州模拟节选)某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的个数比例为4∶1.若选择分层随机抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均质量为240克，方差为300，小果的单果平均质量为190克，方差为320，则可估计果园苹果的单果平均质量为_230_克，方差为_704_．
【解析】 因为大果与小果的个数比例为4∶1，所以100个苹果中，大果的个数为 eq \f(4,5)×100＝80，小果的个数为 eq \f(1,5)×100＝20.设大果的单果平均质量为 eq \x\t(x)1克，方差为s eq \\al(2,1)，小果的单果平均质量为 eq \x\t(x)2克，方差为s eq \\al(2,2)，设100个苹果的单果平均质量为 eq \x\t(w)克，方差为s2，则 eq \x\t(x)1＝240，s eq \\al(2,1)＝300， eq \x\t(x)2＝190，s eq \\al(2,2)＝320，所以100个苹果的单果平均质量 eq \x\t(w)＝ eq \f(80×240＋20×190,100)＝230(克)，100个苹果质量的方差s2＝ eq \f(80,100)×[300＋(240－230)2]＋ eq \f(20,100)×[320＋(190－230)2]＝704，故估计果园苹果的单果平均质量为230克，方差为704.
设样本容量为n，平均数为 eq \x\t(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，方差分别为s eq \\al(2,1)，s eq \\al(2,2)，则这个样本的方差为s2＝ eq \f(n1,n)[s eq \\al(2,1)＋( eq \x\t(x)1－ eq \x\t(x))2]＋ eq \f(n2,n)[s eq \\al(2,2)＋( eq \x\t(x)2－ eq \x\t(x))2].
变式 4-2 (2024·南昌一模)(多选)某环保局对辖区内甲、乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数(单位：μg/m3)不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标．已知甲、乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是( ACD )
A. 甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75
B. 甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65
C. 甲地区环境治理达标
D. 乙地区环境治理达标
【解析】 甲地区平均数为80，乙地区平均数为70，则甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是 eq \f(80×10＋70×10,20)＝75，故A正确．s2＝ eq \f(10,20)[(80－75)2＋40]＋ eq \f(10,20)[(70－75)2＋90]＝90，故B错误．甲地区平均数为80，方差为40，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于 eq \f(1,10)×(100－80)2＝40，所以能确定甲地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以甲地区环境治理达标，故C正确．乙地区平均数为70，方差为90，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于 eq \f(1,10)×(100－70)2＝90，所以能确定乙地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以乙地区环境治理达标，故D正确．
随堂内化
1. (2024·苏中苏北八市三调)某同学测得连续7天的最低气温(单位：℃)分别为1，2，2，m，6，2，8，若这组数据的平均数是中位数的2倍，则m＝( D )
A. 2B. 3
C. 6D. 7
【解析】 这组数据的平均数为 eq \f(1＋2＋2＋m＋6＋2＋8,7)＝ eq \f(21＋m,7)，除m外，将数据按升序排列可得1，2，2，2，6，8，结合m的任意性可知中位数为2，则 eq \f(21＋m,7)＝2×2，解得m＝7.
2. (2025·苏州期初)“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升．某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是( D )
A. 至少为300人B. 至少为200人
C. 至多为300人D. 至多为200人
【解析】 由题意，500×60%＝300，因此竞赛成绩不小于80分的人数至多为500－300＝200.
3. (2024·福州质检)(多选)在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是( ABC )
A. 甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差
B. 甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数
C. 甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差
D. 甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数
【解析】 甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的极差等于96－86＝10；平均数等于 eq \f(1,5)×(86＋87＋90＋91＋96)＝90；方差等于 eq \f(1,5)×[(86－90)2＋(87－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(96－90)2]＝12.4；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的极差等于95－86＝9；平均数等于 eq \f(1,5)×(86＋87＋90＋92＋95)＝90；方差等于 eq \f(1,5)×[(86－90)2＋(87－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2＋(95－90)2]＝10.8；第75百分位数等于92.
4. (2024·常州期末)(多选)已知一组样本数据x1，x2，…，xn(n≥4)，其中x1＜0＜xn，若由yk＝2xk＋1(k＝1，2，…，n)生成一组新的数据y1，y2，…，yn，则这组新数据与原数据可能相等的量有( BC )
A. 极差B. 平均数
C. 中位数D. 标准差
【解析】 对于A，不妨设x1＜x2＜…＜xn，则样本数据x1，x2，…，xn(n≥4)的极差为xn－x1，样本数据y1，y2，…，yn的极差为yn－y1＝(2xn＋1)－(2x1＋1)＝2(xn－x1).因为xn－x1＞0，则yn－y1＝2(xn－x1)＞xn－x1，故A错误．对于B，设样本数据x1，x2，…，xn(n≥4)的平均数为 eq \x\t(x)，即 eq \x\t(x)＝ eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，所以样本数据y1，y2，…，yn的平均数为 eq \x\t(y)＝ eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝ eq \f((2x1＋1)＋(2x2＋1)＋…＋(2xn＋1),n)＝ eq \f(2(x1＋x2＋…＋xn),n)＋1＝2 eq \x\t(x)＋1.当 eq \x\t(x)＝－1时， eq \x\t(y)＝2 eq \x\t(x)＋1＝－1，即两组样本数据的平均数相等，故B正确．对于C，当n＝2m－1(m∈N*)时，设样本数据x1，x2，…，xn(n≥4)的中位数为xm，则样本数据y1，y2，…，yn的中位数为2xm＋1.同理可知当xm＝－1时，中位数相等．当n＝2m(m∈N*)时，设样本数据x1，x2，…，xn(n≥4)的中位数为 eq \f(xm＋xm＋1,2)＝q，则样本数据y1，y2，…，yn的中位数为 eq \f(ym＋ym＋1,2)＝ eq \f(2xm＋1＋2xm＋1＋1,2)＝xm＋xm＋1＋1＝2q＋1，同理可知当q＝－1时，两组数据的中位数相等，故C正确．对于D，设样本数据x1，x2，…，xn(n≥4)的标准差为sx，样本数据y1，y2，…，yn的标准差为sy，则s eq \\al(2,x)＝ eq \f(1,n)[(x1－ eq \x\t(x))2＋(x2－ eq \x\t(x))2＋…＋(xn－ eq \x\t(x))2]，s eq \\al(2,y)＝ eq \f(1,n)[(y1－ eq \x\t(y))2＋(y2－ eq \x\t(y))2＋…＋(yn－ eq \x\t(y))2]＝ eq \f(1,n){[(2x1＋1)－(2 eq \x\t(x)＋1)]2＋[(2x2＋1)－(2 eq \x\t(x)＋1)]2＋…＋[(2xn＋1)－(2 eq \x\t(x)＋1)]2}＝ eq \f(4,n)[(x1－ eq \x\t(x))2＋(x2－ eq \x\t(x))2＋…＋(xn－ eq \x\t(x))2]＝4s eq \\al(2,x)，又x1＜0＜xn，所以sx＝ eq \r(\f((x1－\x\t(x))2＋(x2－\x\t(x))2＋…＋(xn－\x\t(x))2,n))＞0，故sy＝2sx＞sx，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误．
练案❶ 趁热打铁，事半功倍．请老师布置同学们及时完成《配套精练》．
练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(提高版)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．
2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(提高版)，成书可向当地发行咨询购买．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·临沂二模)一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的 eq \f(2,5)，则该组数据的第45百分位数是( A )
A. 4 B. 6
C. 8 D. 12
【解析】 根据中位数的定义，该组数据的中位数是 eq \f(m＋12,2).根据极差的定义，该组数据的极差是21－1＝20.依题意得 eq \f(m＋12,2)＝20× eq \f(2,5)，解得m＝4，6×0.45＝2.7∉Z，根据百分位数的定义，该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即4.
2. (2024·莆田四检)已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为 eq \x\t(x)，方差为s2，数据3x1－1，3x2－1，3x3－1，…，3xn－1的平均数为 eq \x\t(x)1，方差为s eq \\al(2,1)，则( C )
A. eq \x\t(x)1＝3 eq \x\t(x)，s eq \\al(2,1)＝9s2
B. eq \x\t(x)1＝3 eq \x\t(x)，s eq \\al(2,1)＝9s2－1
C. eq \x\t(x)1＝3 eq \x\t(x)－1，s eq \\al(2,1)＝9s2
D. eq \x\t(x)1＝3 eq \x\t(x)－1，s eq \\al(2,1)＝9s2－1
3. (2024·赣州二模)已知甲、乙两组数据分别为22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24.若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则( C )
A. 甲、乙两组数据的极差不同
B. 乙组数据的中位数为24
C. 甲、乙两组数据的方差相同
D. 甲组数据的第一四分位数为21.5
【解析】 由乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，设甲、乙两组数据平均数分别为 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，方差分别为s eq \\al(2,1)，s eq \\al(2,2)，则 eq \x\t(x)1＝ eq \f(22＋21＋24＋23＋25＋20,6)＝22.5， eq \x\t(x)2＝ eq \f(25＋22＋a＋26＋23＋24,6).由 eq \x\t(x)2＝ eq \x\t(x)1＋2，即 eq \f(25＋22＋a＋26＋23＋24,6)＝22.5＋2＝24.5，解得a＝27，所以两组数据极差均为5，故A错误；乙组数据按从小到大排列为22，23，24，25，26，27，则中位数为 eq \f(24＋25,2)＝24.5，故B错误；对于C，s eq \\al(2,1)＝ eq \f(1,6)[(22－22.5)2＋(21－22.5)2＋(24－22.5)2＋(23－22.5)2＋(25－22.5)2＋(20－22.5)2]＝ eq \f(35,12)，s eq \\al(2,2)＝ eq \f(1,6)[(25－24.5)2＋(22－24.5)2＋(27－24.5)2＋(26－24.5)2＋(23－24.5)2＋(24－24.5)2]＝ eq \f(35,12)，所以s eq \\al(2,1)＝s eq \\al(2,2)，所以甲、乙两组数据的方差相同，故C正确；对于D，甲组数据按从小到大排列为20，21，22，23，24，25，由i＝6× eq \f(1,4)＝1.5，知第一四分位数为21，所以D错误．
4. (2024·鹰潭一模)某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为5∶3，则单位职工体重的方差为( D )
A. 166 B. 167
C. 168 D. 169
【解析】 依题意，单位职工平均体重为 eq \x\t(x)＝ eq \f(5,8)×64＋ eq \f(3,8)×56＝61(千克)，则单位职工体重的方差为s2＝ eq \f(5,8)[151＋(64－61)2]＋ eq \f(3,8)[159＋(56－61)2]＝169.
二、 多项选择题
5. (2025·惠州二调)某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是( AD )
A. 极差是4
B. 众数小于平均数
C. 方差是2
D. 数据的第80百分位数为4.5
【解析】 数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.对于A，该组数据的极差为5－1＝4，故A正确；对于B，众数为3，平均数为 eq \f(1×2＋2＋3×4＋4＋5×2,10)＝3，所以众数与平均数相等，故B错误；对于C，方差为 eq \f(1,10)[(1－3)2×2＋(2－3)2×1＋(3－3)2×4＋(4－3)2×1＋(5－3)2×2]＝1.8，故C错误；对于D，由10×80%＝8，8是整数，则这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数，即 eq \f(4＋5,2)＝4.5，故D正确．
6. (2024·武汉4月调研)(多选)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是( ACD )
图(1)

图(2)
图(3)
(第6题)
A. 图(1)的平均数＝中位数＝众数
B. 图(2)的平均数＜众数＜中位数
C. 图(2)的众数＜中位数＜平均数
D. 图(3)的平均数＜中位数＜众数
【解析】 图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；图(2)众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确．
7. (2024·嘉兴二模)已知一组数据1，3，5，7，9，其中位数为a，平均数为 eq \x\t(x)，极差为b，方差为s2.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a′，平均数为 eq \x\t(x)′，极差为b′，方差为s′2，则下列说法中正确的是( ACD )
A. 若删去3，则a＜a′
B. 若删去9，则 eq \x\t(x)＜ eq \x\t(x)′
C. 无论删去哪个数，均有b≥b′
D. 若 eq \x\t(x)＝ eq \x\t(x)′，则s2＜s′2
【解析】 对于A，若删去3，根据中位数的定义，a＝5，a′＝ eq \f(5＋7,2)＝6，满足a＜a′，故A正确；对于B，若删去9，根据平均数的定义， eq \x\t(x)＝ eq \f(1＋3＋5＋7＋9,5)＝5， eq \x\t(x)′＝ eq \f(1＋3＋5＋7,4)＝4， eq \x\t(x)＞ eq \x\t(x)′，故B错误；对于C，根据极差的定义，若删去的数是3，5，7中的一个，显然去掉前后极差都是9－1＝8，满足b＝b′，若去掉1，b′＝9－3＝6＜b＝8，若去掉9，b′＝7－1＝6＜b＝8.综上，b′≤b，故C正确；对于D，原数据平均数 eq \x\t(x)＝5，去掉一个数后平均数保持不变，即 eq \x\t(x)′＝5，则剩下的四个数之和为5×4＝20，显然去掉的数只能是5，由方差的定义，s2＝ eq \f(1,5)[(1－5)2＋(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(9－5)2]＝8，s′2＝ eq \f(1,4)[(1－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(9－5)2]＝10，满足s2＜s′2，故D正确．
三、 填空题
8. (2024·三明三模)已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a＝_6_．
【解析】 由题知这组数据的极差是57－1＝56.由于10×30%＝3，故第30百分位数为 eq \f(a＋10,2)，故56＝7× eq \f(a＋10,2)，所以a＝6.
9. (2024·深圳二模)已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则x eq \\al(2,1)，x eq \\al(2,2)，x eq \\al(2,3)的平均数为_5_．
【解析】 由题知 eq \f(x1＋x2＋x3,3)＝2，所以x1＋x2＋x3＝6，由 eq \f((x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2,3)＝1，得x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2)＋x eq \\al(2,3)＝15，所以 eq \f(x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2)＋x eq \\al(2,3),3)＝5.
10. (2025·大同期初)中国跳水队素有“梦之队”称号．单人跳水比赛的计分规则为：运动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分．若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为3.2，7位裁判给他打出的分数分别为9.5，9.5，9，8，9，9.5，8.5，则这7个数据的方差为_ eq \f(2,7)_，该运动员本轮比赛的得分为_88_．
【解析】 7位裁判给他打出的分数分别为9.5，9.5，9，8，9，9.5，8.5，则这7个数的平均数 eq \x\t(x)＝ eq \f(9.5×3＋9×2＋8.5＋8,7)＝9，方差s2＝ eq \f(1,7)[(9.5－9)2×3＋(8.5－9)2＋(8－9)2]＝ eq \f(2,7).从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，则剩下的3个分数为9，9，9.5，则该运动员本轮比赛的得分为(9＋9＋9.5)×3.2＝88.
四、 解答题
11. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60，80)的老年人的年收入按年龄[60，70)，[70，80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60，70)的老年人500人，年龄在[70，80)的老年人300人．现作出年龄在[60，70)的老年人年收入的频率分布直方图(如图所示)．
(第11题)
(1) 根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60，70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
【解答】 根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60，70)的老年人年收入的平均数约为0.04×2＋0.08×3＋0.18×4＋0.26×5＋0.20×6＋0.15×7＋0.05×8＋0.04×9＝5.35.由频率分布直方图可知，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1－0.04×1＝0.96，年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1－(0.05×1＋0.04×1)＝0.91，因此第95百分位数一定位于[7.5，8.5)内，为7.5＋1× eq \f(0.95－0.91,0.05)＝8.3，故可以估计该地年龄在[60，70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3.
(2) 已知年龄在[60，70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70，80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60，80)的老年人年收入的方差．
【解答】 年龄在[60，70)的老年人样本的平均数记为 eq \x\t(x)，方差记为s eq \\al(2,x)；年龄在[70，80)的老年人样本的平均数记为 eq \x\t(y)，方差记为s eq \\al(2,y)；年龄在[60，80)的老年人样本的平均数记为 eq \x\t(z)，方差记为s2.由(1)得 eq \x\t(x)＝5.35，由题意得，s eq \\al(2,x)＝3， eq \x\t(y)＝3.75，s eq \\al(2,y)＝1.4，则 eq \x\t(z)＝ eq \f(500,500＋300)× eq \x\t(x)＋ eq \f(300,500＋300)× eq \x\t(y)＝4.75.由s2＝ eq \f(1,800)×{500×[s eq \\al(2,x)＋( eq \x\t(x)－ eq \x\t(z))2]＋300×[s eq \\al(2,y)＋( eq \x\t(y)－ eq \x\t(z))2]}，可得s2＝ eq \f(1,800)×{500×[3＋(5.35－4.75)2]＋300×[1.4＋(3.75－4.75)2]}＝3，即估计该地年龄在[60，80)的老年人年收入的方差为3.
B组 教材经典回顾
12. (人A必二P216T11)已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l， eq \x\t(x)，s eq \\al(2,1)；m， eq \x\t(y)，s eq \\al(2,2)；n， eq \x\t(z)，s eq \\al(2,3).记总的样本平均数为 eq \x\t(w)，样本方差为s2.
(1) 求证： eq \x\t(w)＝ eq \f(l,l＋m＋n) eq \x\t(x)＋ eq \f(m,l＋m＋n) eq \x\t(y)＋ eq \f(n,l＋m＋n) eq \x\t(z)；
【解答】 eq \x\t(w)＝ eq \f(l\x\t(x)＋m\x\t(y)＋n\x\t(z),l＋m＋n)＝ eq \f(l,l＋m＋n) eq \x\t(x)＋ eq \f(m,l＋m＋n) eq \x\t(y)＋ eq \f(n,l＋m＋n) eq \x\t(z).
(2) 求证：s2＝ eq \f(1,l＋m＋n){l[s eq \\al(2,1)＋( eq \x\t(x)－ eq \x\t(w))2]＋m[s eq \\al(2,2)＋( eq \x\t(y)－ eq \x\t(w))2]＋n[s eq \\al(2,3)＋( eq \x\t(z)－ eq \x\t(w))2]}．
【解答】 s2＝ eq \f(1,l＋m＋n) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(w))2＋\(∑,\s\up6(m),\s\d4(j＝1)) (yj－\x\t(w))2＋\(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1)) (zk－\x\t(w))2))＝ eq \f(1,l＋m＋n)· eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1))(xi－\x\t(x)＋\x\t(x)－\x\t(w))2＋\(∑,\s\up6(m),\s\d4(j＝1)) (yj－\x\t(y)＋\x\t(y)－\x\t(w))2＋\(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))(zk－\x\t(z)＋\x\t(z)－\x\t(w))2)).由 eq \(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1)) (xi－ eq \x\t(x))＝ eq \(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1))xi－l eq \x\t(x)＝0，可得 eq \(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1))2(xi－ eq \x\t(x))( eq \x\t(x)－ eq \x\t(w))＝2( eq \x\t(x)－ eq \x\t(w)) eq \(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1))(xi－ eq \x\t(x))＝0.同理 eq \(∑,\s\up6(m),\s\d4(j＝1))2(yj－ eq \x\t(y))( eq \x\t(y)－ eq \x\t(w))＝0， eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))2(zk－ eq \x\t(z))( eq \x\t(z)－ eq \x\t(w))＝0.因此s2＝ eq \f(1,l＋m＋n) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))2＋\(∑,\s\up6(l),\s\d4(i＝1)) (\x\t(x)－\x\t(w))2＋\(∑,\s\up6(m),\s\d4(j＝1)) (yj－\x\t(y))2＋\(∑,\s\up6(m),\s\d4(j＝1)) (\x\t(y)－\x\t(w))2＋\(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1)) (zk－\x\t(z))2＋\(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1)) (\x\t(z)－\x\t(w))2))＝ eq \f(1,l＋m＋n){l[s eq \\al(2,1)＋( eq \x\t(x)－ eq \x\t(w))2]＋m[s eq \\al(2,2)＋( eq \x\t(y)－ eq \x\t(w))2]＋n[s eq \\al(2,3)＋( eq \x\t(z)－ eq \x\t(w))2]}．
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
名称
定义
总体均值
(总体平均数)
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称 eq \x\t(Y)＝ eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝ eq \f(1,N) eq \(∑,\s\up6(N),\s\d4(i＝1)) Yi为_总体均值_，又称总体平均数
若总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 eq \x\t(Y)＝ eq \f(1,N) eq \(∑,\s\up6(k),\s\d4(i＝1))fiYi
样本均值
(样本平均数)
若从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称 eq \x\t(y)＝ eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝ eq \f(1,n) eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yi为_样本均值_，又称样本平均数
说明：(1) 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 eq \x\t(y)去估计总体平均数 eq \x\t(Y)；
(2) 总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；
(3) 一般情况下，样本量越大，估计越准确
亩产
量
[900，
950)
[950，
1 000)
[1 000，
1 050)
[1 050，
1 100)
[1 100，
1 150)
[1 150，
1 200]
频数
6
12
18
30
24
10
试验
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩
率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩
率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
甲
乙
87
90
96
91
86
90
86
92
87
95