高考数学一轮复习考点讲与练专题50 变量间的相关关系及回归模型同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题50 变量间的相关关系及回归模型同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了下列四组成对数据，下列命题为真命题的是，的数据如下，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•天津期末）在研究线性回归模型时，成对样本数据，，2，，所对应的点均在直线上，则样本相关系数
A．B．1C．D．无法确定
2．（2025春•商水县期末）已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为r1＝﹣0.96，r2＝﹣0.49，r3＝0.01，r4＝0.95，则线性相关程度最强的是（ ）
A．A组B．B组C．C组D．D组
3．（2025春•山西期末）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最大的是（ ）
A．r1B．r2C．r3D．r4
4．（2025春•枣庄期末）下列四组成对数据：
①，，，，；②，，，，；③，，，，，④，，，，．
其中样本相关系数最小的是
（附：样本相关系数
A．①B．②C．③D．④
5．（2025春•枣庄期末）下列命题为真命题的是
A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
B．若与线性相关越强，则，在线性回归直线上的点越多
C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D．线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好
6．（2025春•宿迁期末）对于变量，有观测数据，，得散点图1；对于变量，有观测数据，，得散点图2．表示变量，之间的线性相关系数，表示变量，之间的线性相关系数，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
7．（2025春•海安市月考）现有一组样本数据，，，，都在直线上，则该组样本数据的相关系数为
A．B．C．1D．2
8．（2025春•青岛月考）为了研究变量与的线性相关关系，收集了5组样本数据（如表），若去掉样本点后，则样本的相关系数
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
9．（2025春•广州期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下：
（参考公式：，参考数据：样本相关系数，则下列判断正确的是
A．与呈负相关关系B．经验回归直线经过点
C．经验回归方程为D．与的线性相关程度较强
10．（2025春•石家庄期末）下列说法中正确的是
A．回归直线至少经过一个样本点
B．在回归分析模型中，决定系数越小，模型的拟合效果越好
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
D．当样本相关系数时，成对样本数据正相关
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•兴庆区期末）下列说法正确的是
A．设有一个经验回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．在一元线性回归模型中，决定系数越接近于1，说明回归的效果越好
（多选）12．（2025春•沧州期中）关于样本相关系数，下列说法正确的是
A．，
B．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
C．当时，成对样本数据之间没有任何相关关系
D．当时，成对样本数据正相关
（多选）13．（2025春•宜都市期末）下列说法中，正确的是
A．当决定系数越接近于1时，说明模型的拟合效果越好
B．若经验回归方程为，则点的残差为
C．若随机变量，则
D．若随机变量，，，，则
（多选）14．（2025春•滨州期末）某同学经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，，，，数据为其中一对样本数据，经统计分析，变量和变量具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，则下列结论正确的为
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
．
A．若，则
B．根据所求经验回归方程，数据的残差值为0.1
C．若将样本数据，，，，，，调整为，，，，，，，则调整数据后所得经验回归方程为
D．若该同学将样本数据错误的记为，则样本相关系数将变小
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•绍兴期末）已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为 ．
16．（2025春•黔西南州期末）在线性回归分析模型中，变量与相对应的四组数据为，，，，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则 ．
附：，，．
17．（2025春•西青区期末）已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为，，2，3，，经验回归方程为，若 ．
18．（2025•临翔区模拟）变量与相对应的一组数据为：，，，，； 变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，是则与的大小关系是 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•萍乡期末）某市统计了一景点在2024年6月至10月的旅游收入y（单位：万元），得到如下表格：
（1）求y与x的相关系数r（精确到0.001），并用相关系数说明该组数据中y与x之间是否可用线性回归模型进行拟合；（注：若|r|≥0.75，则认为y与x之间具有很强的线性相关关系）
（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如图所示的2×2列联表，请填写列联表，并判断能否有95%的把握认为“游客是否喜欢该景点与性别有关”．
附：相关系数r＝，参考数据：≈3.162，＝940．
χ2＝．
20．（2025春•泉州期末）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响．根据市场调研与模拟，对收集的数据，，2，3，，进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如
表中，．
（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值；
（3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布，．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元．记为每件产品获得的奖励，求（精确到．
附：①对于一组数据，，2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
②若随机变量，，则，．
③．
21．（2025春•毕节市期末）2024年1月24日，云南省统计局发布数据，2023年度云南省生产总值（GDP）为30021亿元，年度GDP首次突破3万亿元．以下是2020年至2024年云南省生产总值表．
（1）根据以上数据，在答题卡上画出散点图，并判断成对数据是否线性相关？
（2）建立生产总值y（亿元）关于年份代码x的经验回归方程ŷ=b̂x+â（â，b̂精确到1），并预测2025年度云南省生产总值．
参考公式：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
22．（2025春•石家庄期末）一组实验数据如表：
（1）根据表中数据，计算x，y．
（2）根据表中数据计算样本相关系数r．（保留两位小数）
（3）由数据用最小二乘法可得线性回归方程为ŷ=−0.56x+12.92，统计学中常用决定系数R2刻画回归效果，例如假设R2＝0.8，就说明响应变量y的差异有80%由解释变量x引起．请计算本题的R2（保留两位小数），并指出本题中响应变量Y的差异在多大程度上由解释变量X引起．
（附：r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2i=1n (yi−y)2=i=1nxiyi−nxyi=1n xi2−nx2i=1n yi2−ny2，R2=1−i=1n (yi−ŷ)2i=1n (yi−y)2，i=15 (yi−ŷ)2=0.32，2=1.414）．
23．（2025春•潞州区校级期末）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据绘制了散点图，如图所示．
由图可知，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y=a+bx和指数函数模型y＝cedx．分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为ŷ=96.54e−0.2x，lny与x的相关系数r1＝﹣0.94．
（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．
参考数据：（其中ui=1xi）
24．（2025春•立山区校级期末）自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示：
（表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算）
可能用到的估计值：109.6166≈10.46；0.5786≈0.76；10≈3.16．
（1）求y关于x的回归方程ŷ=b̂x+â；
（2）用（1）所求回归方程预测该地2027年（x＝7）的人民币储蓄存款额；
（3）求样本（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的相关系数r．（精确至0.01）
附：b̂=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x，r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1nxi2−nx2⋅i=1n (yi−y)2．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据线性相关系数的定义直接得解．
【解答】解：根据题意可知，，又直线的斜率为，满足正相关，故．
故选：．
2．【答案】A
【分析】利用相关系数的含义，判断相关系数的绝对值的大小即可．
【解答】解：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小，因此线性相关最强的是A．
故选：A．
3．【答案】A
【分析】根据散点图的特征，结合相关系数的定义即可判断．
【解答】解：由散点图的趋势，以及相关系数的性质可知r1＞0且接近1，r2＜0，r3与r4绝对值较小，
所以最大的是r1．
故选：A．
4．【答案】
【分析】观察数据，对于①，样本相关系数为1，对于③，样本相关系数为，再对②和④进行观察和计算，最终可得答案．
【解答】解：对于①，数据均在上，故样本相关系数为1；
对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0；
对于③，数据均在上，故样本相关系数为；
对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故；
综上，样本相关系数最小的是③．
故选：．
5．【答案】
【分析】由残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断；与线性相关越强，，在线性回归直线上的点不一定越多，可判断；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，可判断；值越大，则模型的拟合效果越好，可判断．
【解答】解：对于选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；
对于选项，与线性相关越强，，在线性回归直线上的点不一定越多，故错误；
对于选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故错误；
对于选项，线性回归分析中决定系数值越大，则模型的拟合效果越好，故错误．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据散点图和相关系数的概念进行判断即可．
【解答】解：根据散点图1和散点图2可以看出，随的增大而增大，随的增大而减小，
所以，．
因为散点图1的数据点比散点图2的数据点更集中，所以，
所以，
所以．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为样本数据，，，，都在直线上，
所以该组样本数据的相关系数．
故选：．
8．【答案】
【分析】由题意可知样本中心点为，再结合相关系数的性质判断即可．
【解答】解：由题意可知，，，
所以样本中心点为，
所以去掉样本点后，则样本的相关系数不变．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据经验回归方程的性质即可求解．
【解答】解：选项，样本相关系数，因此与呈正相关，而非负相关，错误；
选项，经验回归直线必过样本中心点，
则，，因此样本中心点为，而非，错误；
选项，，
，
则，
，
因此，经验回归方程应为，与选项的不符，错误；
选项，线性相关程度判断相关系数的绝对值越接近1，线性相关程度越强，
，绝对值接近1，因此与的线性相关程度较强，正确．
10．【答案】
【分析】根据回归直线方程的性质、决定系数的性质，结合残差图的特征逐一判断即可．
【解答】解：选项，根据回归直线方程的性质可知，回归直线过样本中心点，
每个样本点不一定都在回归直线方程上，所以本选项说法不正确；
选项，根据决定系数性质可知，因为在回归分析模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好，所以本选项说法不正确；
选项，因为残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，
所以本选项说法不正确，
选项，当样本相关系数时，成对样本数据正相关，因此本选项说法正确．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据回归方程的性质以及相关系数的性质逐项判断即可．
【解答】解：设有一个线性回归方程，，则变量增加一个单位时，平均减少5个单位，所以不正确；
两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，不正确；
残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，正确；
在一元线性回归模型中，决定系数越接近于1，说明回归的效果越好，正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据相关系数的定义及性质逐项判断各命题即可．
【解答】解：对于选项，由相关系数性质可得，，故正确；
对于选项，由相关系数性质可得当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故正确；
对于选项，当时，成对样本数据之间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系，故错误，
对于选项，由相关系数性质可得当时，成对样本数据正相关，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】由决定系数与拟合效果间的关系判断；求出残差判定；由方差的性质判定；根据正态分布的性质，比较和判断．
【解答】解：线性回归模型中，决定系数越接近于1时，表示回归拟合的效果越好，故正确；
经验回归方程为，取，得，
则点的残差为，故错误；
若随机变量，由方差的运算性质可得，故正确；
由，，，，知，，
所以，
由知，，，
所以，
所以，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】直接计算平均数判断，计算预估值后得残差判断，根据数据的变化确定新回归直线中的系数得方程判断，利用数据点与回归直线的远近变化确定相关系数的变化判断．
【解答】解：对于，，因此，故正确；
对于，由经验回归方程知当时，，因此残差为，故错误；
对于，将样本数据，，，，，，调整为，，，，，，，
根据计算公式，经验回归方程中系数不改变，但增加了3，原来是，
所以新的系数为，所以调整数据后所得经验回归方程为，故正确；
对于，原回归直线中样本数据的预估点是，现变为，远离了回归直线，
因此线性相关性减弱，相关系数的绝对值变小，原来是3，因此相关系数变小，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】根据相关系数的计算公式求解．
【解答】解：由题意可知，，，
所以，
，，
所以相关系数．
故答案为：．
16．【答案】1．
【分析】由题意可知四个点都在直线上，进而求出的值．
【解答】解：由题意可知，四组数据，，，都在直线，
所以．
故答案为：1．
17．【答案】．
【分析】利用经验回归方程必过样本中心点，则即可求解参数．
【解答】解：根据题意可知，，可得，
则根据经验回归方程为经过样本中心点，
所以有．
故答案为：．
18．【分析】由给出的数据可知：变量与之间的正相关，可得；变量与之间的负相关，．即可得出．
【解答】解：由变量与相对应的一组数据为：，，，，．
可得：变量与之间的正相关，因此．
而由变量与相对应的一组数据为，，，，，可知：变量与之间的负相关，．
因此与的大小关系是．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）0.791，说明见解析；
（2）列联表见解析，有95%的把握．
【分析】（1）根据题意分别求出，，再结合相关系数公式即可求解；
（2）根据题意先补全二联表，然后利用独立性检验公式计算即可求解．
【解答】解：（1），，
，
，
所以，
因为|r|≥0.75，所以y与x之间具有很强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；
（2）列联表如下：
假设：游客是否喜欢该景点与性别无关，
代入计算得：，
所以假设不成立，即有95%的把握认为“游客是否喜欢该景点与性别有关”．
20．【答案】（1）更适合；
（2），8.1千万件；
（3）2.27．
【分析】（1）根据散点图可判断，更适合；
（2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解；
（3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果．
【解答】解：（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型；
（2）由得：，即，
由表中数据得：，
所以，
所以，所以，
所以关于的回归方程为．
当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件．
（3）因为科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布，，
则该正态分布曲线对称轴为，
则，，
所以
，
所以，
所以（元．
21．【答案】（1）答案见解析，正线性相关关系；
（2），33490亿元．
【分析】（1）由题，作出散点图，根据散点图及线性相关的概念判断；
（2）根据相关公式计算，可得回归方程，代入即可预测结果．
【解答】解：（1）画出成对数据的散点图，如图所示：
从散点图看生产总值（亿元）与年份代码的数据呈现出正线性相关关系，且相关程度很强；
（2）由题意可知，，，
所以，
，
所以，
所以，
所以生产总值关于年份代码的经验回归方程为，
当时，，
所以根据预测2025年云南省生产总值的估计值为33490亿元．
22．【答案】（1），；
（2）﹣0.99；
（3）R2＝0.98，响应变量Y的差异有98%由解释变量X引起．
【分析】（1）根据平均数的计算即可求解，
（2）根据相关系数的计算公式即可求解，
（3）根据所给公式，代入即可求解．
【解答】解：（1）X＝2，3，8，9，11，
则，
Y＝12，10，8，8，7，
所以；
（2），
（3）由于，
响应变量Y的差异有98%由解释变量X引起．
23．【答案】（1）；
（2）用反比例函数模型拟合效果更好，21元．
【分析】（1）令，求出，求出，求出关于的回归方程；
（2）求出与的相关系数，证明反比例函数模型拟合效果更好即可求解．
【解答】解：（1）令，则，又，
所以，
则，所以，
即关于的回归方程为；
（2），
又，所以，故用反比例函数模型拟合效果更好，
由（1）可得当时，（元，
所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元．
24．【答案】（1）ŷ=0.204x+4.484；（2）5.912；（3）约为0.85．
【分析】（1）根据最小二乘法所得的公式，即可求解；
（2）根据（1）的回归直线方程计算，即可求解；
（3）根据相关系数的公式，即可求解．
【解答】解：（1）因为x=15×(1+2+3+4+5)=3，y=15×(4.76+4.61+5.32+5.41+5.38)=5.096，
i=15 xi2=1+4+9+16+25＝55，x2=9，i=15 xiyi=78.48，
又y2=25.9692，
所以b̂=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2=78.48−5×3×5.09688−5×9=0.204，
所以â=y−b̂x=5.096−0.204×3＝4.484，
所以ŷ=0.204x+4.484；
（2）由（1）可知当x＝7时，ŷ=0.204×7+4.484=5.912；
（3）根据题意可得r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1nxi2−nx2⋅i=1n (yi−y)2=i=1nxiyi−nx⋅yi=1n xi2−nx2⋅i=1n yi2−ny2=2.0410⋅0.5786≈×0.76=≈0.85．
1
2
3
4
5
0.5
0.8
1
1.2
1.5
超市
广告支出
1
2
4
6
7
销售额
20
30
40
44
46
月份x
6
7
8
9
10
旅游收入y
20
22
21
22
30
喜欢
不喜欢
合计
男
100
女
40
合计
135
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
30.5
15
15
46.5
年份
2020年
2021年
2022年
2023年
2024年
年份代码x
1
2
3
4
5
生产总值y（亿元）
24555
27146
28954
30021
31534
X
2
5
8
9
11
Y
12
10
8
8
7
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
i=18 uiyi
u
u2
i=18 ui2
i=18 yi
i=18 yi2
0.61×6185.5
e﹣2
183.4
0.34
0.115
1.53
360
22385.5
61.4
0.135
年份
2021
2022
2023
2024
2025
时间代号x
1
2
3
4
5
储蓄存款y（千亿元）
4.76
4.61
5.32
5.41
5.38
x2
y2
i=1n yi2
i=1nxiyi
i=1n (xiyi)2
9
25.9692
130.4246
78.48
1554.2872
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
A
C
B
C
D
D
题号
11
12
13
14
答案
CD
ABD
ACD
ACD
喜欢
不喜欢
合计
男
75
25
100
女
60
40
100
合计
135
65
200