高考数学一轮复习考点讲与练专题47 直线与抛物线的位置关系讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题47 直线与抛物线的位置关系讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了直线与抛物线的位置关系，弦长问题，抛物线的焦点弦问题等内容，欢迎下载使用。

1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置关系
(2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.
①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．
4.抛物线的切线
(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋eq \f(p,2k)(k≠0)．
常见结论：
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－csα)，|BF|＝eq \f(p,1＋csα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；
(8)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，|DE|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))＝eq \f(2p,cs2α).
►考点01 抛物线的切线

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例1】（2024•南昌一模）已知抛物线的焦点为，是抛物线在第一象限部分上一点，若，则抛物线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件求得点的横纵坐标，进而求解结论．
【解答】解：因为抛物线的焦点为，是抛物线在第一象限部分上一点，且，
所以：，可得，
故，
又，可得，
故时，．
可得抛物线在点处的切线方程为：，即．
故选：．
【例2】（2023秋•益阳期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点），则分别过点，的抛物线的切线交点轨迹方程是 ．
【答案】．
【分析】设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之积，求出以，可得的值，即求出抛物线的方程，求导，可得在，处的切线方程，两个方程联立，可得两条切线的交点的轨迹方程．
【解答】解：设直线的方程为，设，，，，
联立，整理可得：，
可得，，
所以，
解得，
即抛物线的方程为，
可知，所以直线点处的切线方程为，而，
所以在处的切线方程为，
同理可得在处的切线方程为，
联立，解得，，
即两条切线的交点坐标为．
所以两条切线交点轨迹方程是．
故答案为：．
【例3】（2024•邢台开学）已知，是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）设，从而得到点的坐标为，再根据点是抛物线上任一点，代入方程，整理可得；
（2）设，，，，，，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，同理可得，从而得到直线的方程为，再由点到直线的距离公式及基本不等式计算可得．
【解答】解：（1）设，
因为为的中点，
所以点的坐标为，
又点是抛物线上任一点，
所以，
整理得，
即的方程为；
（2）设，，，，，，
则，，，
由抛物线的方程为，
即，
则，
所以的方程为，
即，
所以，
同理可得，
所以直线的方程为，
则点到直线的距离
，
当且仅当，
即时取等号，
所以点到直线的距离的最小值为．
【例4】（2024春•小店区月考）在直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点．
（1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
（2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点符合题意，理由如解答过程．
【分析】（1）直接利用函数的求导求出直线的斜率，进一步求出直线的方程；
（2）利用直线和曲线的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由已知，得，因为，所以，斜率，
因此，切线方程为，即．
（2）存在符合题意的点，理由如下：
设点为符合题意的点，，，，，直线，的斜率分别为，．
联立方程，得，
因为，则△，可得，，
从而．
因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，
则直线与直线的倾斜角互补，故，
所以点符合题意．
【例5】（2023秋•梅州期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线在第一象限上的点，且其到焦点的距离为5．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线在点处的切线方程．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据题意可得焦点，准线为，由抛物线的定义可得，，解得，，即可得出答案．
（2）设抛物线在点处的切线方程为，把点坐标代入，即，联立，得关于的一元二次方程，由△，解得，，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为抛物线的方程为，
所以，即，则焦点，准线为，
因为点是抛物线在第一象限上的点，且其到焦点的距离为5，
所以，，
所以，
把代入得，
所以．
（2）设抛物线在点处的切线方程为，
所以，即，
联立，得，
△，
解得，
所以，
所以切线方程为．
►考点02 焦点弦、中点弦问题

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例6】（2024秋•泉州期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出直线的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，直线的方程为，即，
联立，化简整理可得，，
若线段的中点为，
则，解得（负值舍去）．
故选：．
【例7】（2025•东西湖区模拟）已知抛物线，直线与交于，两点，为弦的中点，则直线的斜率为 1 ．
【答案】1．
【分析】利用点差法可推得，结合题目条件可求得直线的斜率．
【解答】解：设点，，，，则，所以，
整理得，即，
由抛物线标准方程为，以及为弦的中点知，，所以．
故答案为：1．
【例8】（2024•泰安二模）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得所求距离．
【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
设，，则，，
由抛物线的定义可得，
在中，，，
可得，
即有，
解得舍去），
则．
故选：．
【例9】（2024秋•汉滨区期中）过抛物线焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若△是正三角形，则
A．B．C．D．2
【答案】
【分析】先由△是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果．
【解答】解：过抛物线焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，
又△是正三角形，
则直线的斜率一定存在，
设直线的倾斜角为，
根据△是正三角形，
有，
又，
所以，
联立，
得，
设，，，，
则，
由抛物线的定义可得：．
故选：．
【例10】（2024秋•朝阳区期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点．若线段的中点为，则直线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设，，，，结合点差法可得：，然后求解即可．
【解答】解：设，，，，
则，，
两式相减可得：，
又，
则，
即直线的方程为，
即．
故选：．
►考点03 直线与抛物线的综合问题

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例11】（2025春•衡阳期末）已知抛物线经过点，的焦点在轴的正半轴上，点，在上运动．
（1）求的方程．
（2）若直线的方程为，求△内切圆的半径．
（3）设点，且平分，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）是，．
【分析】（1）将代入，结合，则，得到的方程为；
（2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出△的面积，进而利用求出半径；
（3）由角平分线得到，设，，，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线过定点．
【解答】解：（1）因为抛物线经过点，
所以，
解得或，
因为抛物线的焦点在轴的正半轴上，
所以，
则，
故抛物线的方程为；
（2）设，，，．
联立，消去并整理得，
此时△，
由韦达定理得，，
则，
，
因为点到直线的距离，
所以△的面积，
则；
（3）因为平分，
所以，
设，，，，
则，
因为，，
所以，
整理得，
所以，
即，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
因为，
所以，
即，
所以直线方程为．
则直线过定点．
【例12】（2025春•宜城市期中）如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点．
（1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度；
（2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求△的面积．
【答案】（1）5；
（2）．
【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可．
（2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可．
【解答】解：（1）因为抛物线的方程为，
所以焦点为，准线方程为，
又直线直线过点，
所以设直线的方程为，联立
得，
根据题意可知△，解得，
此时，代入抛物线中得，
所以；
（2）由题意可设直线的方程为，，，，，连接，
联立，得到，由△，
则．
因为，且，，
所以，解得，
当时，，，所以直线，
联立方程，得，
则，
因为，所以为的中点，又为的中点，直线交于点，
所以点为△的重心，所以
，
同理当时，，综上可得．
【例13】（2025春•娄星区期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）①求证：；
②求的最小值．
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②18．
【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用，解出未知数，得到方程；
（2）①验证轴时成立，再求解当不垂直于轴时，直线的方程，令，得，直接判断；
②连接，，证明，再证明得到，设直线的倾斜角为，表示为，求解即可．
【解答】解：（1）因为抛物线，所以焦点为，准线为，
如图，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，
联立，得，
易知△，则，，
又，，
所以，当且仅当时取等号，
因为的最小值为6，所以，，
所以抛物线的标准方程为．
（2）①证明：当轴时，，．
当不垂直于轴时，设直线的方程为，，
则直线的方程为，
令，得，即为的中点，所以．
综上可得，．
②如图，连接，，因为，，
所以，则．
由①知，为的中点，故．
设直线的倾斜角为，，可得，则，
因为，
所以．
所以，
因为，所以，同理，
则，
所以，
所以的最小值为18．
【例14】（2025春•东坡区期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且，，是抛物线上异于的两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线恒过定点．
【答案】（1）．
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意利用抛物线焦半径公式求得，可得答案；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线，的斜率之积为进行化简可得，的关系式，即可证明结论
【解答】解：（1）由题意得，，点的横坐标为1，且，
则，
，
抛物线的方程为；；
（2）证明：当直线的斜率不存在时，
设，，
因为直线，的斜率之积为
则，化简得．
所以，，此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，，，
联立，化简得，需满足△，
根据根与系数的关系得，
因为直线，的斜率之积为，
所以，即，即，
解得（舍去）或，
所以，即，满足△，所以，
即，
综上所述，直线过定点．
【例15】（2025春•云南期末）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，．
（1）求的方程；
（2）求以为直径的圆的标准方程；
（3）设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由椭圆的方程，结合抛物线的性质求解；
（2）结合圆的方程的求法求解即可；
（3）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式求解即可．
【解答】解：（1）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，，
则，
则，
则，
则的方程为；
（2）由题意可得：，
则以为直径的圆的标准方程为；
（3）由题意可得：，
则过点且倾斜角为的直线的方程为，
联立，
消可得：，
设，，，，
则，，
则．标准方程
弦长公式
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
求抛物线切线方程的方法
方法一
首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解
方法二
首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程
方法三
过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)
解决焦点弦、中点弦问题的策略
(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．
(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．
(3)解决中点弦问题的常用方法为“根与系数的关系法”和“点差法”．
(4)若AB为抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，M(x0，y0)为弦AB的中点，k为直线AB的斜率，则k＝eq \f(p,y0).
解决直线与抛物线综合问题的策略
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则一般用弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．