(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第49讲《直线与椭圆的位置关系》（讲）（解析版）

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第49讲 直线与椭圆的位置关系（讲）
思维导图

知识梳理
1．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
2．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.

题型归纳
题型1 直线与椭圆的位置关系
【例1-1】（2020春•孝感期中）直线y＝kx+k与焦点在y轴上的椭圆+＝1总有两个公共点，则实数m的取值范围是　 　．
【分析】求出直线恒过的定点，利用直线y＝kx+k与焦点在y轴上的椭圆+＝1总有两个公共点，列出不等式组求解即可．
【解答】解：直线y＝kx+k恒过（﹣1，0），直线y＝kx+k与焦点在y轴上的椭圆+＝1总有两个公共点，
可得：解得m∈（1，4）．
故答案为：（1，4）．
【例1-2】（2019秋•大兴区期中）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点（1，）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当m取何值时，直线y＝x+m与椭圆C：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？
【分析】（1）设出椭圆C的标准方程，利用交点坐标和椭圆C经过点（1，），列出方程组，即可解出a，b的值，从而得出椭圆C的标准方程；
（2）联立椭圆方程与直线y＝x+m，利用△的值即可求出直线y＝x+m与椭圆C：有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点时m的值．
【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为+＝1，（a＞b＞0），
由题意可得：，解得，
∴椭圆C的标准方程为：＝1；
（2）联立，消去y得：7x2+8mx+4m2﹣12＝0，
则△＝64m2﹣4×7×（4m2﹣12）＝336﹣48m2，
①当△＞0，即﹣时，方程有两个不同的实数根，∴直线y＝x+m与椭圆C有两个公共点，
②当△＝0，即m＝时，方程有两个相等的实数根，∴直线y＝x+m与椭圆C只有一个公共点，
③当△＜0，即m或m时，方程无实数根，∴直线y＝x+m与椭圆C没有公共点．
【跟踪训练1-1】已知直线l：y＝2x+m，椭圆C：+＝1，试问：当m取何值时，直线l与椭圆C，
（1）有两个不重合的公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点？
【分析】直线方程与椭圆方程联立，消去y化为关于x的一元二次方程，利用判别式判断方程实数根的个数即可．
【解答】解：由，消去y化为：9x2+8mx+2m2﹣4＝0，
计算△＝64m2﹣36（2m2﹣4）＝﹣12m2+144，
令△＝0，得m2＝12，
解得m＝±2；
（1）当﹣2＜m＜2时，△＞0，方程有两个不等实根，直线与椭圆有2个不重合的公共点；
（2）当m＝﹣2或m＝2时，△＝0，方程有两个相等实根，直线与椭圆只有1个公共点；
（3）当m＜﹣2或m＞2时，△＜0，方程有无实根，直线与椭圆没有公共点．
【名师指导】
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

题型2 弦长问题
【例2-1】（2019秋•北碚区期末）已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y＝x+2交椭圆C于A、B两点．求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）弦AB的中点坐标及弦长．
【分析】（1）由椭圆C的焦点为F1（）和 F2（），长轴长为6，能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0），由，得10x2+36x+27＝0，故，，由此能求出弦AB的中点坐标及弦长．
【解答】解：（1）∵椭圆C的焦点为F1（）和 F2（），长轴长为6，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝2，a＝3，∴b＝1，
∴椭圆C的标准方程
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
AB线段的中点为M（x0，y0）
由，消去y，得10x2+36x+27＝0，
∴，，
∴，∵，
∴弦AB的中点坐标为（，），

＝
＝．
【例2-2】（2019秋•路南区校级期中）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆方程；
（2）过P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长．
【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；
（2）设以点P（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出k，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A，B，再求出|AB|．
【解答】解：（1）由椭圆C：的离心率为＝，2b＝4得b＝2，
设a＝2k，，b＝k＝2，所以a＝4，
所以椭圆方程为．
（2）设以点p（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝4，则y1+y2＝2，
分别代入椭圆的方程得，，，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）＝0，所以k＝＝﹣，
∴点P（2，1）为中点的弦所在直线方程为x+2y﹣4＝0，
由，得y（y﹣2）＝0，所以y＝0，x＝4；y＝2，x＝0，
所以|AB|＝．
【跟踪训练2-1】（2020•沙坪坝区校级模拟）椭圆＝1，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若|CD|＝4，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设点C的坐标为（m，n），则D（﹣m，﹣n），由弦长公式可知|CD|＝＝4，由两点间距离公式可知|CD|＝＝4，从而解得|m|＝1，|n|＝，代入椭圆方程求出b2的值即可得解．
【解答】解：设点C的坐标为（m，n），则D（﹣m，﹣n），
由弦长公式可知，|CD|＝＝＝4，∴|m|＝1，
由两点间距离公式可知，|CD|＝＝4．
∴|n|＝，
代入椭圆方程有，，∴．
∴椭圆的方程为．
故选：D．
【跟踪训练2-2】（2019•海安县校级模拟）已知椭圆＝1的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，求直线l的方程．

【分析】（1）由题意可得：＝，•2cb＝2，a2＝b2+c2．联立解得：a2，b2，c．可得椭圆的方程．
（2）设直线l方程为：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为：M（x0，y0）．与椭圆方程联立化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，|AB|＝|x1﹣x2|＝．可得x0＝，点M到直线x＝1的距离为d＝|x0﹣1|＝．以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，得﹣d2＝，代入解出即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：＝，•2cb＝2，a2＝b2+c2．
联立解得：a2＝6，b2＝2，c＝2．
∴椭圆的方程为：+＝1．
（2）设直线l方程为：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为：M（x0，y0）．
联立，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
|AB|＝|x1﹣x2|＝＝．
∴x0＝，点M到直线x＝1的距离为d＝|x0﹣1|＝|﹣1|＝．
以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，得﹣d2＝，∴﹣＝，
解得k＝±1．
∴直线l的方程为：y＝±（x﹣2）．
【名师指导】
1．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|；
②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)；
③|AB|＝ ；
④|AB|＝ .
2．弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．

题型3 中点弦问题
【例3-1】（2019秋•海淀区校级月考）已知：椭圆+＝1，求：
（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
【分析】（1）设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），可得：+＝1，+＝1，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
（2）设直线方程为：y＝2x+m，弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x，y）．与椭圆方程联立化为：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，由△＞0，化为：m2＜68．再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．
【解答】解：（1）设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），可得：+＝1，+＝1，
相减可得：+＝0，
把＝2，＝﹣1，k＝代入可得：k＝．
∴以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程为：y+1＝（x﹣2），化为：x﹣2y﹣4＝0．
（2）设直线方程为：y＝2x+m，弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x，y）．
联立，化为：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，
△＝256m2﹣68（4m2﹣16）＞0，化为：m2＜68．
∴x1+x2＝﹣＝2x，化为：x＝．
y＝2×+m＝．
∴y＝﹣x．
【例3-2】（2019•怀化模拟）已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，直线l：y＝3x﹣2截C所得弦AB的中点的横坐标为，则C的短轴长为　10　．
【分析】椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，可得中点M（ ，﹣）．设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用平方差法及其a2﹣b2＝50，联立解得a2，b2．
【解答】解：椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，所以c＝5，
椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，可得中点的纵坐标：＝，所以中点M（ ，﹣）．
设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则，，相减可得：，
又y1+y2＝﹣1，x1+x2＝1，＝＝3，又a2﹣b2＝50，
联立解得a2＝75，b2＝25．
∴则C的短轴长为：10．
故答案为：10．
【例3-3】（2019•深圳二模）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M．若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解MF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．
【解答】解：F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，
点F1关于直线AB：bx﹣ay＝ab的对称点M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程为x＝c，
MF1的方程y＝﹣，可得M（c，﹣），
MF1的中点为（0，﹣），代入直线bx+ay＝ab，可得：ac＝b2＝a2﹣c2，e＝＞1，
可得e2+e﹣1＝0，
解得e＝．
故选：C．

【跟踪训练3-1】（2020•香坊区校级三模）已知斜率为k1（k1≠0）的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2＝（　　）
A． B．﹣4 C． D．﹣2
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），因为AB中点为C，推出x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0①，再把x12+＝1，x22+＝1，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+＝0，把①代入得1+k1k2＝0，推出k1k2＝﹣4．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），
则x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，①
因为A，B两点在椭圆x2+＝1上，
所以x12+＝1，x22+＝1，
两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+＝0，
把①代入得，1+＝1+k1k2＝0，
故k1k2＝﹣4．
故选：B．
【跟踪训练3-2】（2019秋•宁阳县校级期中）已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为F（1，0），点在椭圆上，
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F且不与坐标轴垂直，直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，由椭圆可得，解出即可得出．
（Ⅱ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），直线AB的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程可得（3k2+2）x2﹣6k2x+3（k2﹣2）＝0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N的坐标，可得AB的垂直平分线NG的方程为，进而得出．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），把点A，B的坐标分别代入椭圆方程相减可得：，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得斜率k＝﹣，又，可得，又（x0，y0）在椭圆内，即，可得0＜x0＜1，利用AB的垂直平分线为，即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为，
则
由（2）得6a2+3b2＝4a2b2（3）
由（1）得b2＝a2﹣1代入（3）得6a2+3（a2﹣1）＝4a2（a2﹣1），
即4a4﹣13a2+3＝0，即（4a2﹣1）（a2﹣3）＝0a2＝3，或
∵a2＞1，∴a2＝3，得，
∴b2＝2，，
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），
直线AB的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），
代入，整理得（3k2+2）x2﹣6k2x+3（k2﹣2）＝0，
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，
则，，
∴，，
∴AB的垂直平分线NG的方程为，
y＝0时，，
∵k≠0，∴3（3k2+2）＞6，，，
∴．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），
由，（1）﹣（2）得，
斜率，
又，∴，
∴，得0＜x0＜1，
∵（x0，y0）在椭圆内，即，
将代入得，
解得x0＜3
∴0＜x0＜1，
则AB的垂直平分线为，y＝0时，．
【跟踪训练3-3】（2020•娄底模拟）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A、B两点是椭圆E上关于y轴对称的点，若△ABF能构成一个内角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率e＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．2﹣
【分析】取右焦点F'，连接BF'，作出图形，数形结合即可得到答案．
【解答】解：如图，设椭圆E的右焦点为F'，连接BF'，
则四边形FABF'为等腰梯形，其中，
∴，，，
∴在焦点三角形△FF′B中，，
即椭圆E的离心率为．
故选：C．

【名师指导】
1.处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
2.求解椭圆上对称问题的常用方法
（1）将对称两点所在的直线方程与椭圆方程联立，由Δ＞0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．
（2）用参数表示中点坐标，利用中点在椭圆内部建立关于参数的不等式，解不等式得参数范围．

题型4 椭圆与向量的综合问题
【例4-1】（2020春•山西期中）设点M和N分别是椭圆C：＝1（a＞0）上不同的两点，线段MN最长为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线MN过点Q（0，2），且＞0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．
【分析】（1）当线段MN为长轴时，其长度最长，所以4＝2a，a＝2，于是可得椭圆C的标准方程；
（2）直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+2，将其与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0解得，写出韦达定理，并求得y1y2＝，因为，所以x1x2+y1y2＞0，又解得k2＜4，故①．然后设直线OP的斜率为k'，利用点差法可得②，由①②即可求出直线OP斜率的取值范围．
【解答】解：（1）因为线段MN最长为4，所以4＝2a，即a＝2，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+2，
联立，整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，
由△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12＝16（4k2﹣3）＞0，可得．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝．
因为，所以，即k2＜4，故．
设直线OP的斜率为k'，
因为，两式相减得，所以，则，
故直线OP的斜率的取值范围是．
【例4-2】（2019秋•洛阳期末）已知P（2，0）为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线PA，PB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若＝2，求△OAB面积的最大值．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），可得kPA•kPB＝＝﹣．又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，a＝2，解得b，即可得出椭圆C的标准方程．
（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，有＝2，可得y1＝﹣2y2，利用根与系数的关系可得：m2＝．△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，即可得出．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则kPA•kPB＝＝﹣．
又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，
又a＝2，解得b＝1．
∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．
（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，
∵＝2，∴y1＝﹣2y2，
∴+＝﹣，代入可得：m2＝．
∴△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，
∴S2＝m2•＝××＝9×．
∴S＝＝≤1，当且仅当t2＝时取等号．
∴△OAB面积的最大值为1．
【跟踪训练4-1】（2020•丹东二模）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，＝3，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（　　）
A． B． C．﹣1 D．
【分析】不妨设F（c，0），计算M的坐标，根据等腰三角形得到N点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．
【解答】解：不妨设F（c，0），，则M（﹣3c，0），
易知△MNF中只能∠MNF＝120°，
△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则N（﹣c，c），
将N代入椭圆方程得到，即，
解得或e2＝3（舍去），
故e＝，
故选：B．
【跟踪训练4-2】（2020•邵阳三模）在直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的离心率，直线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：
①；
②存在最大值；
③．
正确结论有　 　．（填序号）
【分析】由已知题意离心率求得的范围，得到∠AOB的范围，画出图形，由向量的加法法则及数量积运算逐一核对三个命题得答案．
【解答】解：由e＝＞，
得＞，可得＞3，即＞，则∠AOB＜60°．
对于①，根据向量加法的平行四边形法则，结合∠AOB＜60°，
可得＜成立，故①正确；
对于②，，由于∠AOB＜60°，∴没有最大值，
故②错误；
对于③，当∠AOB＝60°时，|OA|＝|OB|＝，
∴＝36．
∵∠AOB＜60°，∴＞36，则，故③正确．
故答案为：①③．

【名师指导】
解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．