高考数学一轮复习考点讲与练专题45 直线与双曲线的位置关系同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题45 直线与双曲线的位置关系同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了，则直线的方程是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025•凯里市模拟）已知点是双曲线上第一象限的点，的左、右焦点分别为，，若△是面积为的等边三角形为坐标原点），则直线的方程是
A．B．
C．D．
2．（2025春•江西月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，若△为等边三角形，则的离心率等于
A．B．C．2D．
3．（2025•碑林区模拟）设是双曲线上一点，，是的左、右焦点，若，则
A．10或4B．13或1C．10D．13
4．（2025•甘肃三模）已知是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，过点作，与的另外一个交点为，连接，与轴交于点，若，则的离心率为
A．B．C．D．3
5．（2025•瑶海区模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的角平分线交轴于点，且，则双曲线的离心率的值为
A．B．C．D．
6．（2025•吉林模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，，则△的周长为
A．B．8C．D．
7．（2025•威海模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为
A．B．C．2D．
8．（2025•云南模拟）已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限．若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为
A．B．C．2D．
9．（2025春•越秀区月考）已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
10．（2025•广东模拟）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为
A．6B．7C．8D．9
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•揭阳期末）已知双曲线，其左、右焦点分别是，，过点的直线与交于，两点，则
A．的离心率为
B．当的倾斜角为时，
C．直线的斜率可以为
D．上存在点，使
（多选）12．（2025•李沧区模拟）已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则
A．B．△为直角三角形
C．△周长的最小值为D．的最小值为2
（多选）13．（2025•湘阴县三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则
A．双曲线的焦距为4
B．双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为2
C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则
D．为圆上一点，的最大值为3
（多选）14．（2025•项城市三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点在第一象限），中点为，△，△的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，则下列结论正确的是
A．，，三点共线
B．直线斜率存在时，
C．若，则直线的斜率为
D．的取值范围是
三．填空题（共4小题）
15．（2024秋•玉溪期末）已知，是双曲线的两个焦点，点在上，如果，则△的面积为 ．
16．（2025•安顺模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若上存在一点，使得，，则的离心率 ．
17．（2025春•沙坪坝区期中）直线与双曲线交于、两点，且过该双曲线的右焦点，若满足条件的直线有且仅有4条，则的取值范围是 ．
18．（2025春•普陀区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若△的面积为，则的值为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025•景德镇模拟）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）直线与双曲线交于点，，其中点在第二象限．
①求；
②已知双曲线的左、右顶点分别为，，设直线，的斜率分别为，，求．
20．（2025•青山湖区模拟）已知为坐标原点，动直线与直线，分别交于点，，的横坐标同号），且△的面积为，记线段的中点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程．
（2）设点，过点作与轴不重合的直线与曲线交于，两点．
记直线，的斜率分别为，，求的值；
（ⅱ）若直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与，分别交于点，，求证：点是线段的中点．
21．（2025•宜昌模拟）已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于，两点，当轴时，．
（1）求的方程；
（2）过作直线的垂线，垂足为．
证明：直线过定点；
求△面积的最小值．
22．（2025•汉中模拟）在平面直角坐标系中，，为双曲线上两不重合的动点，点，且当，，，四点共线时，．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标；
（3）若，均在的右支上，且线段是△的角平分线，求直线的方程．
23．（2025•武进区模拟）已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点，为上任意一点，为过的直线．
记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值；
设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹．
24．（2025•宝山区二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于、两点．
（1）当直线过点，且时，求△的周长；
（2）已知点，若直线、的斜率之和为0，且，当、分别与轴交于点、时，求△的面积；
（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据题意作图，根据等边三角形的面积，求出的长度，求出和的坐标，求出直线方程．
【解答】解：设双曲线焦点，，
若△是面积为的等边三角形，
此时，
解得，
易知，
所以，
即，
此时直线方程为，
即．
故选：．
2．【答案】
【分析】利用通径，结合三角形的边角关系，综合求解离心率．
【解答】解：法一：设的半焦距为，则直线的方程为，代入，解得，
．
△为等边三角形，，
，
即，解得离心率．
法二：设的半焦距为，则直线的方程为，代入，解得，
，
△为等边三角形，，
由双曲线的定义知，即，，
的离心率．
故选：．
3．【答案】
【分析】先利用双曲线的定义得出或13，再结合双曲线的性质得出即可．
【解答】解：由已知，，故根据双曲线的定义知，
因为，所以，解得或13，
又，所以．
故选：．
4．【答案】
【分析】设为的中点，设，，，，，，，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得，的关系，从而可求双曲线离心率．
【解答】解：取的中点，连接，如图，
为的中点，故，
设，，，，，，，，
是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，
可知，在双曲线上，可得，两式相减可得，，
即，显然，并且，
可得，，
又，则，即，
，即，，
又，则，
即，故，
，而，故，
故，则双曲线的离心率为．
故选：．
5．【答案】
【分析】利用直线的方程解出，再由角平分线定理得到，然后用，，表示此式，得到离心率的齐次式化简可得．
【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为，，
根据题意可得双曲线的一条渐近线方程为（即，
所以点到渐近线的距离为，
由于垂直渐近线，所以的方程为，即
联立，解得，
由角平分线定理知，即，
代入和的距离公式：，
两边平方后化简：，
代入，整理得，
即，，
解得，
所以，
故选：．
6．【答案】
【分析】设，，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，，得即可求解．
【解答】解：以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，，如图所示，
设，，由在以为直径的圆上可得，
，四边形为矩形，则，
由双曲线，得，，，
，又由双曲线的定义有，
，得，
，
即，而，
，△的周长为．
故选：．
7．【答案】
【分析】利用已知条件求解，结合余弦定理，综合求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，
可知，，，，，
，，
可得，可得，
所以．
故选：．
8．【答案】
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出，的长，进而得到四边形的面积表达式，根据面积为定值求出双曲线的离心率．
【解答】解：根据题意画出大致图像如图，
双曲线的渐近线方程为：，即．
设，，是双曲线右支上一点，
根据点到直线的距离公式可得：
．
直线，垂直于渐近线，
直线，的斜率分别为．
直线，的方程为．
联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，
进而，
联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，
进而，
四边形的面积为：
，
点在双曲线上，，化简得，
四边形的面积为：．
又四边形的面积为定值，则，
，此时离心率为．
故选：．
9．【答案】
【分析】令，可得出，，由双曲线的定义可得出、，在△中，利用余弦定理可出，可得出、，然后在△中利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值．
【解答】解：双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，
令，由，得，，
由双曲线定义，，
在△中，，
由余弦定理可得，
得，
整理得，
解得，可得，．
在△由余弦定理，
得，
整理得，则．
故选：．
10．【答案】
【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果．
【解答】解：因为双曲线，
所以，焦点，
可得，
所以，
当，，三点共线时，最小，
因为直线和相互垂直，
且和分别过定点和，
又因为直线与直线的交点为，
所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2，
所以，
当过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小．
所以的最小值为6，
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据双曲线离心率的定义，圆锥曲线弦长公式，直线与双曲线的交点情况，以及焦点三角形的性质，逐一判断各选项正误，求出结果．
【解答】解：已知，，则，则离心率，所以正确；
如图所示，已知，，
得直线解析式为，
联立方程组得，
消去得，
可知．
设交点，，，，
则，，
根据弦长公式可得，所以正确；
双曲线渐近线方程为，
当时，直线与双曲线仅有一个交点，不符合题意，所以错误；
设，，可知，，
根据正弦定理可知，
可知，则，，
因为，
所以，
化简得，
化简得，
化简，
解得，此时，
所以上存在点，使，所以正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据双曲线渐近线方程，双曲线定义，点到直线距离公式即可求解．
【解答】解：选项：双曲线渐近线方程为，圆，半径1，
利用点到直线距离公式：，解得，故错误；
选项：双曲线，，，
计算，垂直，故△为直角三角形，正确；
选项，由双曲线定义，
周长，
当，，共线时，最小为，周长最小值，正确；
设，由双曲线方程得，圆，则，
将代入：，
，
当时，取最小值2，故最小值为，而非2，错误．
故选：．
13．【答案】
【分析】对于，由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，，，则双曲线的焦距为，由此可判断；
对于，由可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，由此可判断；
对于，由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断；
对于，由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得，由此可判断．
【解答】解：对于，双曲线右支上点到右焦点的最小距离为右顶点到右焦点的距离，即，
当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得，
由双曲线中的平方关系，联立解得，
所以双曲线的焦距为，故正确；
对于，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，
圆的圆心为，半径为2，且经过原点，
则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线，
则圆心到渐近线的距离为，
由垂径定理可知所截的弦长为，故正确；
对于，由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，
则垂线方程为，
由，
得垂足，
则，故错误；
对于，圆的圆心为，半径为1，
由双曲线的定义可知，
则，当且仅当在线段的延长线上取等，
即的最大值为3，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】设点，，，，，，在项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断．由斜率公式及点差法可以判断，设直线的倾斜角为，得到，进而可判断．
【解答】解：依题意，得，，得，
则，，，，
设点，，，，，
对于项，如图，设△的内切圆的切点为，，，
由双曲线的定义得，，而，
得，而，，
得，又因为，
得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，
同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点均在直线上，故项正确．
对于项，由相减得，，
得，即，故项正确；
对于项，设直线的倾斜角为，连接，，
则，，
，，，
若，则，故项错误；
对于项，由选项分析，，为直线的倾斜角，
因为双曲线的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角分别为，
因为直线与双曲线的右支交于，两点，
所以，
令，则，则在单调递减，在单调递增，
故，
故，故项正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】16．
【分析】根据题意求出，，，由及双曲线的定义求出，再利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：已知双曲线，
则，，
所以，
不妨设，
根据双曲线定义可得①，
又，
所以②，
联立①②解得，
所以△的面积．
故答案为：16．
16．【答案】．
【分析】画出图形，结合双曲线的定义以及已知条件，转化求解离心率即可．
【解答】解：如图，不妨在第一象限，设与轴的交点为，连接，
，可知，，可得，，则，
，
，
可得，．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】根据直线与双曲线相交的情形，可知要使与双曲线相交弦长为4的直线有且仅有4条，需要通径长小于4且实轴长小于4，由此列式求解．
【解答】解：由题意，要使过双曲线的右焦点，且满足的直线有且仅有4条，
则，且，
即．
的取值范围是．
故答案为：．
18．
【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案．
【解答】解：已知双曲线方程为，
则，
则，
又双曲线的左、右焦点分别为、，
则，，
又过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，且△的面积为，
设，，，
则，
解得，
由题意可得直线的斜率，
则方程为，
将代入上式，
则，
解得，
即，
由题意可得，
则．
故答案为：1．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）①；
②．
【分析】（1）根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求解即可；
（2）①将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可；
②根据点，都在双曲线的左支上，且点在第二象限，得到，结合①中信息以及斜率公式求解即可．
【解答】解：（1）因为点在双曲线上，
所以，①
因为双曲线的离心率为，
所以，②
又，③
联立①②③，
解得，，
则双曲线的标准方程为；
（2）①设，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以；
②，
因为点，都在双曲线的左支上，且点在第二象限，
所以，
此时．
则．
20．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析．
【分析】（1）先设点的坐标，再结合面积公式结合中点坐标计算求出轨迹方程；
（2）（ⅰ）联立直线和双曲线结合斜率公式计算化简求值；设直线的方程为，再代入计算化简得出斜率积为定值；
（ⅱ）联立直线和双曲线结合根与系数关系化简得出计算证明．
【解答】解：（1）由题设，，
线段的中点坐标为，
由题意得，，
又，
所以，
则．
线段的中点坐标为，
则，，
所以，得，
故曲线的方程为．
（2）（ⅰ）由题意知直线的斜率不为0，设，，，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，
得，
其中△，且，
则，
则
．
当直线的斜率不存在时，当直线的斜率不存在时，可令，，
故，．
综上，．
（ⅱ）由题知直线的斜率存在，由（ⅰ）的解法一知直线的方程为，
且，
直线的方程为，
令，得．
，则直线的方程为，
令，得．
由于
，
所以，
故点为线段的中点．
21．
【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程；
（2）设，，，，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标；
应用三角形面积公式、弦长公式，结合，求面积的最小值．
【解答】解：（1）由题设，则，
由轴时，，不妨令，代入双曲线得，
所以，则所求方程为；
（2）证明：设，，，，则，由斜率不为0，设，
联立双曲线并整理得，则，△，
所以，，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，
因为，所以，
而，则，
所以过定点，；
由，
由，，可得，
令，，则，
由，故，当时取等号．
综上，的最小值为．
22．【答案】（1）；（2）和或和；（3）．
【分析】（1）根据对称性可得点坐标，继而得到方程；
（2）由（1）知渐近线有2条，分类讨论即可；
（3）设联立曲线，线段是△的角平分线可知倾斜角的关系再转换成斜率，得到，再由直线过点即可求解．
【解答】解：（1），，，四点共线时，，根据双曲线对称性，
，关于原点对称，不妨设在的右侧，即，在圆上，
又，，
与圆联立，
得，，
代入，，
双曲线的标准方程为．
（2），渐近线为或，
直线与的渐近线垂直，且经过点，
当渐近线为时，直线，
与轴交点为，轴交点为，
当渐近线为时，直线，
与轴交点为，轴交点为，
综上，直线与两坐标轴交点的坐标为和或和．
（3）如图，
根据题意直线斜率存在，设，，，，，
联立，
，，
解得或，
，
，
设直线，，的倾斜角分别为，，，
是△的角平分线，
，
，
，
又点在上，所以，
故，
整理得，
解得或，
又或，所以，
故直线的方程为．
23．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为；答案见解析．
【分析】（1）首先设任一点的坐标为，然后根据点到直线的距离公式结合已知条件列出等式，化简即可求得双曲线的方程；
（2）对于，首先根据已知条件将点，的坐标求出来，然后根据两点距离公式列出的表达式，然后化简即可求得定值；
对于，分两种情况讨论，当直线斜率存在和不存在时，当斜率存在时，根据直线垂直与对称的性质可求出的轨迹为圆．
【解答】解：（1）设上任一点，
而直线转化为，，
根据点到直线的距离公式可得：
．
因为上任一点到两条直线和的距离的平方差为，
所以，
化简得，
即．
（2）由（1）可知，所以，所以点，
证明：依题意可知直线的方程为，
因为直线与直线交于点，
所以将代入直线方程
可得到点的坐标为．
因为线与直线交于点，
所以将代入直线方程
可得到点的坐标为．
所以，，
所以．
因为直线过点，所以，即．
所以为定值，且定值为．
设点关于直线的对称点，，
当时，，此时的轨迹为点．
当时，设，
则，解得，
因为点，在双曲线上，
所以，
即，
化简得：．
所以，
即，
点轨迹与重合，不合题意；
或，即，
所以点轨迹为以为圆心，半径为的圆，此时也在圆上．
24．【答案】（1）16；（2）2；（3）．
【分析】（1）根据双曲线定义求解即可；
（2）分别求出直线、的直线方程，得出点、的坐标，利用面积公式即求解；
（3）令直线方程为：，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求解即可．
【解答】解：（1）根据双曲线定义得：，，
两式相加得，
即，
由已知得，
所以△的周长为16；
（2）设直线、的倾斜角分别为、，
由已知得，
不妨设，
则，
则，
可求得，，
所以直线，令，解得，
直线，令，解得，
所以△的面积为；
（3）设，，，，由，知，，
若直线斜率不存在，则，此时，与点重合，不符题意，舍．
设直线方程为：，
与双曲线，
联立化简得，
，△显然成立，
设交点，、，，
由韦达定理：，
由，得，，，
从而，即，
将韦达定理代入，
化简得，
因为，即，
由已知，在双曲线上，得，
从而，
得代入式，
，
化简得，
即，
解得，
点的坐标为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
D
C
C
A
D
A
题号
11
12
13
14
答案
ABD
BC
ABD
ABD