高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第08课时直线与双曲线的位置关系(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第08课时直线与双曲线的位置关系(原卷版+解析)，共38页。

【回归教材】
1.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
2.直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
=
或
3.双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化
【典例讲练】
题型一 直线与双曲线位置关系
【例1-1】已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【例1-2】若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习1-1】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【练习1-2】直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型二 双曲线的弦长
【例2-1】过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________.
【例2-2】求直线被双曲线截得的弦长.
归纳总结：
【练习2-1】已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【练习2-2】设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
题型三 中点弦问题
【例3-1】双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
【例3-2】已知双曲线的实轴长为2，一条渐近线方程为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程．
归纳总结：
【练习3-1】已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
题型四 直线与双曲线的综合应用
【例4-1】直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【例4-2】已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
归纳总结：
【练习4-1】设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
【练习4-2】已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．
【完成课时作业（五十七）】
【课时作业（五十七）】
A组 基础题
1．直线与双曲线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
2．已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
3．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．【多选题】已知双曲线，则下列说法正确的（ ）
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．直线被双曲线C截得的弦长为
D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
6．已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.
7．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．
8．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．
9.已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
B组 能力提升
1．【多选题】已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．的面积为 D．的面积为1
2．若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．
3．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③．
第 8 课时 直线与双曲线的位置关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
2.直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
=
或
3.双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化
【典例讲练】
题型一 直线与双曲线位置关系
【例1-1】已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ①
(1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，
故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，
则k∈，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).
(4)若4－3k2<0且k2≠1则k∈，方程组无解，故直线与双曲线无交点.
综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；
当k∈时，直线与双曲线有两个公共点；
当k∈时，直线与双曲线无公共点.
【例1-2】若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围
【详解】
由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，
设交点，
联立可得，
由题意可得
解得：，
故选：D．
归纳总结：
【练习1-1】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】
【分析】
设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.
【详解】
当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
【练习1-2】直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
联立直线与双曲线方程，消元，分和两种情况讨论，当时只需，解得即可；
【详解】
解：联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
题型二 双曲线的弦长
【例2-1】过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________.
【答案】
【例2-2】求直线被双曲线截得的弦长.
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线与双曲线的方程消元得到关于的一元二次方程，求得两根之和与两根之积，代弦长公式即可求解
【详解】
设直线与双曲线交于，两点
由
所以，
所以
即直线被双曲线截得的弦长为
归纳总结：
【练习2-1】已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值.
【详解】
由双曲线可知：
的周长为.
当轴时,的周长最小值为
故选：C
【练习2-2】设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；
（2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；
(1)
解：抛物线
的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
(2)
解：依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
题型三 中点弦问题
【例3-1】双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率.
【详解】
设，则，
将两点坐标代入双曲线方程得：；
将上述两式相减可得：
即，也即
所以，即
故答案为：
【例3-2】已知双曲线的实轴长为2，一条渐近线方程为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由实轴长得到，由渐近线斜率得到，即可得到方程；
（2）由倾斜角得到直线斜率，设直线方程，联立双曲线方程，消去，利用韦达定理即可表示线段的中点的纵坐标，解出参数即可.
(1)
由题，，由得，，
所以双曲线的标准方程为：
(2)
直线斜率，设直线为，联立得得，设两点坐标分别为、，线段的中点的纵坐标为4，则，直线方程为.
归纳总结：
【练习3-1】已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设，利用点差法求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；
（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.
(1)
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为为弦的中点,故 ，所以，
所以直线的方程为，即，
由方程组得，其 ，
说明所求直线存在，
故直线的方程为.
(2)
假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，
设该直线与双曲线交于C,D两点，
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为为弦的中点,故 ，所以，
所以直线的方程为，即，
由方程组 ,得 ，
根据 ，说明所求直线不存在,
故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.
题型四 直线与双曲线的综合应用
【例4-1】直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1);
(2)存在，或.
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程及双曲线方程，消元得一元二次方程，利用判别式求解即可；
（2）设A、B两点的坐标分别为,，假设存在，利用AF⊥BF的坐标表示及根与系数的关系化简即可得解.
(1)
将直线l的方程代入双曲线C的方程，
整理得 ①
依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，则
解得k的取值范围为．
(2)
设A、B两点的坐标分别为,，则由①得②．
假设存在实数k，使得AF⊥BF，则，
即：，
整理得③．
把②式及代入③式化简得：，
解得或，
∴存在实数或，使得AF⊥BF．
【例4-2】已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题知，进而设直线l的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；
（2）设直线l的方程为，进而结合向量的坐标表示得，，，，再结合M，N在双曲线上得，是方程的两根，进而得.
(1)
解：当时，双曲线，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得，
所以，，
由，
可得，所以，
所以．
(2)
证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为，则．
由，得，
所以，，，．
又点M在双曲线C上，所以，
化简得，
同理．
故，是方程的两根，则，为定值．
归纳总结：
【练习4-1】设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，，再根据，即可求出，即可得解；
（2）设点，A，的坐标分别为，，，且，依题意可得，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入整理即可得解；
(1)
解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，
∴，，∵，
∴，，∴双曲线的方程为．
(2)
解：设点，A，的坐标分别为，，，且，
∵，∴，
即，①
设直线的方程为，②
将②代入中整理，得，
∴，，代入①，
整理可得，得，联立②消得，
∴点落在某一定直线上．
【练习4-2】已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意可得即可求出、，从而求出双曲线方程；
（2）设直线的方程为，设、，联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得，即可求出的取值范围，再根据向量数量积的坐标表示得到，即可求出的范围；
(1)
解：根据题意，由离心率，又，所以，
又右顶点为，即，故双曲线的标准方程为．
(2)
解：设直线的方程为，设、，
则由，消去整理得到，
∵直线与双曲线一支交于、两点，，解得．
因此
，
∵，故，
故．
【完成课时作业（五十七）】
【课时作业（五十七）】
A组 基础题
1．直线与双曲线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】
联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.
【解答过程】
由得 整理得，；
所以，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线的渐近线方程为：
与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.
所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B
2．已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，
然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.
【详解】
的坐标为，设点坐标为，
易得，解得，
因为直线与轴垂直，且，
所以可得，则，即，
所以，离心率为．
故选：A.
3．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率
【详解】
不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出直线的方程，从而可求得点的坐标，从而可求得，再利用等面积法即可求得内切圆的半径.，即可得解.
【详解】
解：设，由题意知，直线的斜率为，
则直线的方程为，
∴，化简整理得，
即，∴或（舍去），
则，即，∴，，
设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，，
则由，得，
∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径）
故的内切圆的面积为．
故选：B．
5．【多选题】已知双曲线，则下列说法正确的（ ）
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．直线被双曲线C截得的弦长为
D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用双曲线方程求解焦点坐标，离心率，渐近线方程，结合直线与双曲线的位置关系的判定和弦长，然后分析判断选项的正误，即可求解.
【详解】
由双曲线的焦点在轴上，且，则，
其渐近线方程为，
对于A中，由双曲线C的离心率为，故A正确；
对于B中，由双曲线的渐近线方程为，与双曲线C的渐近线不相同，
所以B错误；
对于C中，由代入双曲线中，可得，
即交点的坐标为和，所以截得的弦长为，所以C错误；
对于D中，当时，此时直线与渐近线平行，且过原点，
可得直线与双曲线没有公共点，即交点的个数为0个；
当时，此时直线与渐近线平行，且不过原点，
可得直线与双曲线只有一个公共点，即交点的个数为1个；
当时，此时直线与渐近线不平行，可得直线与双曲线有2个公共点，即交点的个数为2个，
综上可得，直线与双曲线C的公共点个数可能为0，1，2，所以D正确.
故选：AD.
6．已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.
【答案】
【解析】
【分析】
中点弦问题，可以用点差法进行求解.
【详解】
设，则，
∵A、B在双曲线上，∴，
①－②得：，
即
即，
∴：，即，
由，∵，故与双曲线有两个交点满足题意，
故l方程为：.
故答案为：.
7．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线可求c与a的关系，根据即双曲线的定义可求，在焦点三角形中，利用余弦定理可求出cs∠，从而可求sin∠，根据即可求出a，从而可求2c．
【详解】
∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b，
∴．
设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则，
设∠=θ，在△中，由余弦定理得，
，
即，化简可得，
∴，
∵，
，，，，．
故答案为：．
8．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由焦距可以设出焦点坐标，利用双曲线的定义求出实轴的长度，进而可得双曲线的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，消去，写出韦达定理，由得出直线的纵截距，再利用弦长公式求解即可．
【详解】
（1）由已知，设焦点坐标为，则，
又，解得，
故双曲线的方程为：；
（2）设直线，与双曲线的方程联立可得：
设，则，，
，
，，解得，
因此．
9．已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于a,b的等式，结合离心率即可求得a,b，可得双曲线方程；
（2）判断出符合题意的点存在，并判断其位于轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合可得､的斜率之和为，列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.
(1)
设，由条件知的斜率等于，
即，又， ,
，，
双曲线的方程为：.
(2)
存在点满足恒成立，且点在轴上.
理由如下:设点，过点，设直线,
由,消去得, ,
设，
由韦达定理得，①,，②
，､的斜率之和为，
即，因为，，
所以代入整理得：，③
将①②代入③可得，即,④
④式对任意实数都成立，，
,即存在点满足恒成立，且点在轴上.
B组 能力提升
1．【多选题】已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的面积为D．的面积为1
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据点差法，结合双曲线的定义逐一判断即可.
【详解】
，，因为A，B关于坐标原点对称，则，曲已知得，，两式相减得，所以，因为，所以，得，所以选项B正确A错误；
因为P在右支上，记，则，因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为．所以选项D正确C错误．
故选：BD．
【点睛】
关键点睛：应用点差法和双曲线的定义是解题的关键.
2．若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
设对称的两点为，，直线的方程为与双曲线联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点，利用判别式以及在直线上即可求解.
【详解】
设双曲线存在关于直线对称的两点为，，
根据对称性可知线段被直线垂直平分，
且的中点在直线上，且，
故可设直线的方程为，
联立方程，整理可得，
∴，，
由，可得或，
∴，，
∵的中点在直线上，
∴，可得，或.
故答案为：或.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用直线与直线垂直可得直线的斜率为，可设直线的方程为，代入双曲线 可得关于的一元二次方程，利用判别式，可以求出的范围，利用韦达定理可得的中点再代入即可与的关系，即可求解.
3．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
(1)
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
(2)
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，
点到直线的距离，
故的面积为．
4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
(1)
右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
(2)
由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.