高考数学一轮复习考点讲与练专题44 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题44 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质同步练习（含答案解析），共3页。
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•昌江区期末）若双曲线C1与双曲线C2：有相同渐近线，且C1过点（2，3），则双曲线C1的标准方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
2．（2025•焦作三模）若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为
A．14B．12C．10D．8
3．（2025春•安徽月考）若椭圆的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则双曲线的标准方程为
A．B．C．D．
4．（2025春•仙游县期末）已知双曲线的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线的实轴长为
A．6B．8C．10D．12
5．（2025春•昌江区期末）已知双曲线，斜率为的直线过原点且与双曲线交于，两点，且以为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
6．（2025•渝中区模拟）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线，的左焦点为，左、右顶点分别为、，点为双曲线左支上一点且满足轴，点为线段上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若，则该双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
7．（2025•南昌一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则△的面积为
A．20B．12C．24D．10
8．（2025春•濮阳期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交的两条渐近线于，两点，且，则
A．B．C．D．
9．（2025春•周口期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若△的面积为12，则的值为
A．B．C．D．1
10．（2025•临翔区模拟）双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•泸州期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则
A．的实轴长为B．的离心率为
C．到的右焦点的距离为D．的一个顶点坐标为
（多选）12．（2025春•安康期末）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则
A．
B．的离心率为
C．的一条渐近线为
D．的焦点到渐近线的距离为的
（多选）13．（2024秋•山西期末）已知双曲线，则
A．双曲线的实轴长为8
B．双曲线的虚轴长为3
C．双曲线的离心率为
D．双曲线的渐近线的斜率为
（多选）14．（2025•广西模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为的离心率），则
A．B．的虚轴长为
C．D．的一条渐近线的斜率为
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•昌江区期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则 ．
16．（2025春•上海月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于，两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 ．
17．（2025春•虹口区月考）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
18．（2025春•虹口区月考）已知、是双曲线的左右焦点，是的一条渐近线，以为圆心的圆与相切于．若双曲线的离心率为，则 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•连云港期末）已知双曲线的离心率为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线经过点，
①若直线与双曲线的左支相切，求直线的方程；
②若双曲线的右顶点为，直线与双曲线交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．
20．（2025春•毕节市期末）已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21．（2025春•鹤壁期末）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F．过点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，其中B位于第一象限，且AB⊥AC．
（1）求E的方程；
（2）过点F且斜率为的直线l与E交于M，N两点，求△BMN的面积．
22．（2025春•江西月考）已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线与双曲线交于，两点，若△的面积为，求实数的值．
23．（2025•陕西模拟）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，点到双曲线上动点的距离的最小值为．
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与的上支交于点、下支交于点，且，求的方程．
24．（2025春•长安区期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，．
（1）求的标准方程；
（2）若，求直线的斜截式方程；
（3）若，，三点不共线，且，证明：直线过定点．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解．
【解答】解：根据题意可知，C1和C2有相同的渐近线，所以设双曲线C1的方程为，
将（2，3）代入得，所以双曲线C1的方程为．
故选：B．
2．【答案】
【分析】先利用双曲线的标准方程确定焦点坐标，再利用双曲线的定义求解即可．
【解答】解：已知双曲线，
则，，
则，
则双曲线的左、右焦点分别为，，
因或，且，
故．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据条件得出双曲线的顶点和焦点坐标即可．
【解答】解：椭圆，
则椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为，
故双曲线的顶点为，焦点为，
则双曲线的标准方程为．
故选：．
4．【答案】
【分析】先利用渐近线的性质结合给定条件得到，，再代入中得到，进而求出实轴长即可．
【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，
可得，即，而焦距为10，故，
代入，可得，解得，则，
则双曲线的实轴长为8．
故选：．
5．【答案】
【分析】由题意设直线的方程，与双曲线的方程联立，求得，由题意可得，化简可得，的关系式，进而得到离心率的值．
【解答】解：如图，由已知设直线的方程为，
代入双曲线，
可得，
则，，
设为双曲线的左焦点，
又以为直径的圆经过，
则，
可得，
即有，
化为，
解得或（舍去），
则．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据图形，可得△△，以及△△，则可得，再由，可解得离心率．
【解答】解：由已知得，△△，所以，
同理，△△，所以，
所以，因为，所以，得，故离心率．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：因为双曲线，所以，，，
因为平分，所以，
又，且过点，
所以，且为的中点，
所以，又，设，
则，
所以，所以，
所以，，又，
所以，所以，
所以△的面积为．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据离心率，可得渐近线方程，设直线，，，，，线段中点为，联立渐近线方程和直线方程，可得、、三点坐标，再由，可得，可解得．
【解答】解：因为双曲线的离心率为，所以，，
故渐近线为，
设直线，，，，，线段中点为，
由，得，即，，
由，得，即，，
所以点，，
因为，所以，即，整理得，解得．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据已知，可得点坐标以及直线的方程，再由△的面积为12，可得点的坐标，根据双曲线的定义可求出．
【解答】解：由的方程可知，，直线的方程为，
设，，因为△的面积为12，所以，
因为点在第一象限，所以，故，
又，得，
所以，所以
，即．
故选：．
10．【答案】
【分析】由题意，不妨设，利用双曲线定义推出相关线段的长度，在和△中利用余弦定理，得到和，结合，，之间的关系得到，结合双曲线方程以及斜率公式进行求解即可．
【解答】解：易知，
又，
不妨设，
此时，，，，
在中，，
由余弦定理得，
即，
解得，
在△中，由余弦定理得，
即，
此时，
又，
解得，
又，
所以，
不妨设，，
因为点在双曲线上，
所以，
即，
又，，
则．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的，得双曲线标准方程，然后判断各选项．
【解答】解：直线与坐标轴的交点分别为和，
因此双曲线的一个焦点为，即，
又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，
由，解得，
，实轴长为，故错误；
，离心率为，故正确；
，双曲线方程为，由解得，即，
右焦点为，则，故正确，
，曲线的顶点坐标为，故错误．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据双曲线渐近线可求出的值，再根据题中描述的变化，可求出双曲线．
【解答】解：对于，且根据双曲线性质可得：的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线为，
所以其一条渐近线等价于，因为，故，得到，解得，故错误；
对于，将代入方程，得到，所以的离心率为，故正确；
对于，将的实轴，虚轴长度均变为原先的，则，
其渐近线为，所以的一条渐近线为，故正确；
对于，对于双曲线，焦点到渐近线的距离为，
其中即为半虚轴长，
由于的虚轴长为的，故的焦点到渐近线的距离为的，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】由曲线方程得到，，，从而知道曲线的实轴、虚轴长和离心率及渐近线的斜率．
【解答】解：由，双曲线的实轴在轴，可得，，
，
实轴，虚轴，故选项正确，选项错误；
离心率，故选项错误；
渐近线方程，则斜率为，故选项正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】利用已知条件求解，求解虚轴长，求解离心率，渐近线的斜率，判断选项的正误即可．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，若，可得，即，
所以，，，，渐近线的斜率为，所以、、正确，不正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】1或13．
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的性质求解．
【解答】解：已知双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，
不妨设，
则，
又，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，
则，
则或，
又，
则或．
故答案为：1或13．
16．【答案】．
【分析】利用点差法设，，，，代入椭圆方程可得可得，计算可得．
【解答】解：因为，是双曲线的两点，
设，，，，
则，，
两式相减得，
因为是的中点，所以，，
所以，
又，，所以，
解得，所以．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长．
【解答】解：已知方程表示双曲线，
显然，将化为，
若该方程表示双曲线，
则且双曲线的标准方程为，
即，
则虚轴长．
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】以为圆心的圆与相切于点，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值．
【解答】解：设一条渐近线为，
则到直线的距离为，
以为圆心的圆与相切于点，，，
又双曲线的离心率为，，则，
在△中，，
在△，，
解得：，
根据余弦定理，，
，
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）．
（2）①．
②证明见解析．
【分析】（1）根据离心率得出，关系，再代入点的坐标即可求出，，写出标准方程；
（2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解；
②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证．
【解答】解：（1）根据离心率，可得，即，
因此双曲线为，代入点，
可得，，
所以双曲线为．
（2）如图，
①根据题意，直线斜率存在，设直线为，
联立直线和双曲线方程可得，
消元可得：，
因为直线与双曲线相切，根的判别式△，
即，解得，
因此直线为，即．
②证明：根据题意知，，
设，，，，直线为，
联立双曲线方程可得，可得，
根据①知，
根据韦达定理可得，
，
因此
，
所以为定值，证明完毕．
20．【答案】（1）；（2）存在定点．
【分析】（1）设出，根据题意列出等量关系，化简后得到轨迹方程；
（2）设直线方程，和曲线联立，先假设存在这样的定点，利用韦达定理化简，对表达式是否可以为定值进行分析．
【解答】解：（1）设点，故，而点到直线的距离为，
因为动点到直线的距离等于，
所以，
即，
所以动点的轨迹的方程为．
（2）存在定点满足题意，解答如下：
当直线斜率存在时，
设过点的直线方程为，，，，，
联立方程
消去化简得，
则，
则，
又，
所以，
将，代入化简得：
，
若为定值，不妨设为，
则，
则，
要定值与无关，
令，则，
解得，
所以存在定点，使得．
当过的直线垂直轴时，此时，
则，满足条件．
所以在轴上存在定点，使得为定值．
21．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直线BC的方程为x＝c，由已知可得b2＝1+c，进而求解即可得E的方程；
（2）求得，设M（x1，y1），N（x2，y2），与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积．
【解答】解：（1）因为双曲线，
所以A（﹣1，0），
设F（c，0）（c＞0），
因为直线BC与x轴垂直，
所以直线BC的方程为x＝c，
将x＝c代入双曲线的方程中，
解得y＝±b2，
因为AB⊥AC，
所以△ABC是等腰直角三角形，
此时b2＝1+c，
即c2﹣1＝1+c，
解得c＝2（负值舍去），
所以b2＝c2﹣1＝3，
则双曲线的E的方程为；
（2）由（1）可得F（2，0），
设，M（x1，y1），N（x2，y2），且x1＜x2，
联立，消去y并整理得26x2+4x﹣31＝0，
由韦达定理得，，
所以．
由（1）得，|BF|＝3，
又．
所以．
22．【答案】（1）；
（2）或或．
【分析】（1）设双曲线的半焦距为，由条件列关于，，的方程，解方程可求，，，由此可得结论；
（2）设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法利用表示△的面积，列方程求可得结论．
【解答】解：（1）设双曲线的半焦距为，
由题意可知，①
又因为在双曲线的渐近线上，所以，②
由方程①和②解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）由题意可设直线的方程为，
联立方程可得①，
所以，
且方程①的判别式△，
得且．
设直线与双曲线交于，，，两点，有
则，
所以，
解得或或，
所以实数或或．
23．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点到双曲线上动点的距离中得到最小值的表达式，可求出，从而得双曲线方程；
（2）直线方程为：，，，，，联立和双曲线的方程后得到的方程，列出韦达定理，由，得，与韦达定理联立，可得的值，从而得到的方程．
【解答】解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，且焦点在轴上，
所以设双曲线方程为，
点到双曲线上动点的距离为
，
当时，，故，的方程为；
（2）由已知，直线斜率不为0，设直线方程为：，，，，，
联立和双曲线的方程，，得，
故△，即，①，②，
因为，所以③，
联立①②③，得，
所以的方程为．
24．
【分析】（1）先由条件得到，利用两点式斜率公式求得，结合求出，，即可得解；
（2）利用点差法求直线的方程即可；
（3）设直线，与双曲线方程联立，根据条件得，再通过计算得或，最后进行检验可得出定点．
【解答】解：（1）设双曲线的半焦距为，则，
因为双曲线的左顶点为，右焦点为，
所以，，
当时，过点且垂直于轴的直线为，
将代入双曲线方程，得，
解得；又，则，
又，所以，结合，得，
解得或（舍，
所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）易知直线的斜率存在，设，，，，
则，
作差可得，
所以，
因为线段的中点坐标为，
所以，
所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的斜截式方程为，
即．
（3）证明：由，，三点不共线，故设直线，
联立，
得，
则，，△，
因为，则，所以，
则，
因为，，
所以，
即，
即，
即，
得，解得或，
若，则直线，过点，不符合题意；
若，则直线，满足△，则过定点，
则直线过定点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
B
C
C
B
A
A
题号
11
12
13
14
答案
BC
BCD
AD
ACD