高考数学一轮复习考点讲与练专题46 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题46 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了已知抛物线的焦点为，点在上，则，已知抛物线的焦点为，准线为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．（2025•山西模拟）若点在以原点为顶点，轴为对称轴的抛物线上，则的方程为
A．B．C．D．
2．（2025春•建华区期中）设第一象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则
A．B．4C．D．32
3．（2025春•南宁期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为
A．13B．9C．11D．10
4．（2025春•红河州期末）已知抛物线的焦点为，点在上，则
A．B．5C．4D．
5．（2025•绵阳模拟）已知抛物线的焦点为，是上一点，且△的面积为1．则
A．1B．C．2D．
6．（2025•河北模拟）已知抛物线，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则△的面积为
A．B．5C．2D．
7．（2025•山西二模）已知抛物线的焦点为，准线为．点在上，过作抛物线的切线交准线于点．当△外接圆面积最小时，点的坐标可以是
A．B．C．D．
8．（2025•惠山区三模）已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，则的最大值为
A．2B．3C．4D．6
9．（2025春•资中县月考）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则
A．3B．6C．9D．12
10．（2025•丰台区模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则
A．B．C．12D．8
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•武进区模拟）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，，，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是
A．
B．
C．
D．△与△的面积之比为
（多选）12．（2025•合肥模拟）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是
A．若，则直线的斜率为
B．
C．为坐标原点）
D．当取最小值时，
（多选）13．（2025春•北碚区期末）已知圆和抛物线的准线相切于点，点为圆与抛物线的一个交点，点，分别为圆与抛物线上的动点，则下列选项中正确的是
A．
B．点到的准线的距离为2
C．直线与抛物线相交
D．若点，则的最小值为3
（多选）14．（2025春•宣城期末）已知点是抛物线的焦点，，是过点的弦且，直线的斜率为，，且，两点在第一象限，则
A．
B．四边形面积的最小值为64
C．
D．若，则直线的斜率为
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•邯郸期末）已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 ．
16．（2025•昭通模拟）已知为坐标原点，为抛物线的焦点．过点作直线交于，两点，轴上一点满足，且，则 ．
17．（2025春•厦门期末）已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则△的面积为 ．
18．（2025•邵阳模拟）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，过直线上一点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交轴于，两点，则△外接圆的面积的最小值为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•保山期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设点是抛物线准线上一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．求证：
直线过定点，并求该定点的坐标；
以线段为直径的圆与抛物线的准线相切于点．
20．（2025春•玉溪期末）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线．
（1）求；
（2）若直线与交于点，求三角形的面积；
（3）求到的准线的距离与到的距离之和的最小值．
21．（2025春•会宁县期末）已知直线与抛物线相切，且切点为．
（1）求直线的斜率的值；
（2）如图，，是轴上两个不同的动点，且满足，直线，与抛物线的另一个交点分别是，，若直线的斜率为，求的值．
22．（2025•甘肃三模）已知过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，△的面积为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若为△的重心，直线，分别交轴于点，，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．
23．（2025春•北碚区期末）已知曲线到两个定点和的距离和为定值4．
（1）求的方程；
（2）过点的直线（斜率存在且不为与交于，两点，关于轴的对称点为．已知．
证明：、、三点共线；
求的取值范围．
24．（2025春•浙江月考）位于第一象限的一点，满足，过作的切线，切点为，且满足，设，为关于的对称点．
（1）证明：；
（2）．若过的另一条切线切于，设为关于的对称点，如此重复进行下去，若为关于切点的对称点，设，，证明：为等差数列．
．由所设且，求的值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据题意可设抛物线的方程为，再根据其过点，从而建立方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可设抛物线的方程为，
又其过点，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：．
2．【答案】
【分析】由抛物线的方程可得准线方程，由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得的值，将点的坐标代入抛物线的方程可得的值．
【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程，
由抛物线的性质可得，所以，
将的坐标代入抛物线的方程：，所以，
又因为在第一象限，所以，
故选：．
3．【答案】
【分析】根据抛物线与圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：因为抛物线方程为，所以，所以，
又圆的圆心为，半径，
所以，
当且仅当，，，共线，且平行轴时等号成立，
所以的最小值为10．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据条件，求得，再利用抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：已知抛物线的焦点为，点在上，
则，
解得．
由抛物线的方程可知，准线方程为，焦点，
则点到准线的距离为，
由抛物线的定义得．
故选：．
5．【答案】
【分析】由题意可得，设，，结合△的面积可得，进而求得，再根据抛物线的定义求解即可．
【解答】解：已知抛物线的焦点为，是上一点，且△的面积为1，
则，
设，，
则，
则，
即，
将代入，
得，
根据抛物线的定义，．
故选：．
6．【答案】
【分析】利用导数求出直线的方程为，与抛物线方程联立得到，结合韦达定理求出，再求出点到直线的距离为，利用面积公式即可求解．
【解答】解：设，，，，
由，得，
所以，
所以，
所以点处的切线方程为，
又因为点，在上，
所以，
所以得到点处的切线方程为，
又因为点处的切线过点，
所以．
同理可得，
所以直线的方程为，
联立，
整理得，
所以，，
所以，
点到直线的距离为，
所以．
故选：．
7．【答案】
【分析】设，，求导，由导数的几何意义求出切线方程，得到根据向量数量积为得到方程，求出为直角，为△外接圆的直径，表达出换元后，利用导数求单调性，得到函数最小值，得到外接圆的面积最小，此时点，得到答案．
【解答】解：设点，，由抛物线方程得，则，
所以，则过的抛物线的切线方程为：，即，
又抛物线的准线方程为，故中，令得，
可得点，又，所以，，
所以，所以，
即为直角，为△外接圆的直径，
因为，则．
令，则可得，
所以，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，即所求外接圆的面积最小，
此时点．
故选：．
8．【答案】
【分析】由抛物线的性质可得：，又，则，然后结合基本不等式求解即可．
【解答】解：已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，
由抛物线的性质可得：，
又，
则，当且仅当时取等号，
即，
即的最大值为2．
故选：．
9．【答案】
【分析】由抛物线的定义，结合抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系求解即可．
【解答】解：已知抛物线的焦点为，
则，
即直线的方程为，其中，
联立，
消可得：，
设，，，，
则，
又，
则，
即，
则，
则，
又，
则，
即．
故选：．
10．【答案】
【分析】由抛物线定义结合得到△为等边三角形，进而得到，设准线与轴交点为，求出，再由锐角三角函数求出，即可得解．
【解答】解：已知抛物线的焦点为，准线为，
则，准线为，
又与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，
由抛物线定义可知，
则△为等边三角形，
故，，
所以，
设准线与轴交点为，
则，
故，
所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和即可判断选项；进而求出点和和即可计算求解判断．
【解答】解：因为，
所以，且，
则在第二象限，在第一象限，且，
联立，
则，
所以或（舍去），
所以抛物线，，，
所以可得，，
所以，
直线与轴交于点，
所以，
所以，
所以错误，正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】设直线的方程，并与抛物线联立，由抛物线的定义、韦达定理及基本不等式依次对每一选项进行判断即可求解．
【解答】解：对于，依题意得，设直线，，，，，
联立，消去得，则，，
则，解得或，
则，或，
则直线的斜率，故正确；
对于，，
当且仅当时等号成立，故项正确；
对于，因为，所以，故项错误；
对于，依题意有，抛物线的准线方程为，所以，，
则，由抛物线的定义可得，
，
因为，所以
，
当且仅当时取等号，此时，故项正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】由抛物线的性质求得判断，根据抛物线的定义判断，由直线与抛物线的位置关系判断，根据抛物线的定义与圆的性质判断．
【解答】解：对于，因为的准线与圆相切，
则，即，故正确；
对于，由可知抛物线焦点即为圆心，
则由抛物线定义知点到的准线的距离等于，故正确；
对于，点，设，，则由选项知，，可得，所以，
抛物线方程对应函数为，导函数为，
则点处的切线斜率为，则直线与抛物线相切，故错误；
对于，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值，
过点作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点到准线的距离，即为5，
则最小值为，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长，同理可得的值，由均值不等式可得四边形的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．
【解答】解：由抛物线的方程可得焦点，由题意可得直线，的斜率存在且不为0，
设直线的方程为：，
设，，，，
联立，
整理可得：，
显然△，，，
，，
所以，故正确；
由于，
所以将中的换成，代入中得，
，
，当且仅当时等号成立，故错误；
可得弦，
所以，故正确；
设，，，，
若，
即，
即，
解得，即，
而直线的斜率，
所以直线的斜率为，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】3．
【分析】将问题转化为抛物线的焦点到直线的距离，即可求解．
【解答】解：如图，
因为抛物线，所以抛物线的焦点为，
由抛物线的定义知，点到点的距离等于点到直线的距离，
因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，
为点到直线的距离，即．
故答案为：3．
16．【答案】．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系求解即可．
【解答】解：已知为坐标原点，为抛物线的焦点，
则，
又，
则△△，且，
设直线的方程为，
联立，
消可得：，
则，，
又，
则，，
即，，
又，
则，，
则．
故答案为：．
17．【答案】8．
【分析】由题意，设出点的坐标，利用抛物线的定义求解即可．
【解答】解：设位于第一象限，
此时，
解得，
所以，，
则△的面积．
故答案为：8．
18．【答案】．
【分析】由题意，设切线，与抛物线分别切于点，，求出直线，的方程，将直线方程联立，求出点的坐标，根据向量的坐标运算求出，，，四点共圆，且△的外接圆的直径为，此时即为点到直线的距离，代入求解即可．
【解答】解：设切线，与抛物线分别切于点，，
设，，
因为抛物线的方程为，
可得，
此时，，
所以直线，
同理得，直线，
联立，
解得，
即，
又，
此时，，
可得，
同理得．
所以，，
所以，，，四点共圆，且△的外接圆的直径为，
此时即为点到直线的距离，距离为2，
即，
所以△的外接圆半径最小值为1，
则△的外接圆面积的最小值．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1），；
（2）证明见解析，定点；证明见解析．
【分析】（1）由题意列方程求得，，可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程；
（2）由题意可设可设，，，，，分析得知直线的方程为，令即可得证；联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可．
【解答】解：（1）设椭圆焦距为，因为椭圆心率为，长轴长为4，
所以，，所以，所以，
所以椭圆的方程为，其上顶点坐标为，
因为抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，
所以，即，
所以抛物线的方程为．
（2）
由（1）知，抛物线的准线方程为，则设，
由得，求导得．
设，，，，
因为点在抛物线上，所以，
抛物线在，处的切线方程为，即．
因为在切线上，
所以①，
同理可得②，
由①②得、的坐标满足方程，
所以直线的方程为，
令，则，
所以直线恒定点，定点坐标为．
联立，消去得，
所以，
则线段的中点为，，
又，
所以与抛物线的准线垂直，且，
故以线段为直径的圆与抛物线的准线相切于点．
20．【答案】（1）2；（2）；（3）2．
【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，设出直线方程，联立并写出韦达定理，根据中点坐标公式，可得答案；
（2）联立直线方程求交点，利用三角形的面积公式，可得答案；
（3）由题意作图，由图中的线段组合以及三角形三边关系，利用点到直线距离公式，可得答案．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点，则，
又直线过焦点，且倾斜角为，
所以设为，
设，，，，，
联立，
得，
△，
，
解得．
（2）因为，
联立，
则，
解得，
所以．
（3）由（1）得的方程为，
由抛物线定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，
联立，
得：，
由，得与相离，
设，，分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，
连接，，
所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和，
当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立，
所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线的距离，
即．
21．【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据题意设直线的方程为，联立抛物线的方程得，令△，即可得出答案．
（2）由题知，两直线，的斜率互为相反数，设直线的方程为，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，进而可得点的坐标，同理可得点的坐标，进而可得答案．
【解答】解：（1）根据题意设直线的方程为，
联立抛物线的方程得，
令△，得，
解得．
（2）由题知，两直线，的斜率互为相反数，
设直线的方程为，
联立，得，
所以，即，
所以，，
将换成，得，，
所以．
22．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据三角形面积求出，得出抛物线方程；
（2）利用重心的性质可得，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系化简，由均值不等式及不等式的性质求值域即可；
【解答】解：（1）当时，，，所以，
所以，则，
所以抛物线的方程为；
（2）设，，，，，，因为为△的重心，
所以，，
因为，
且，；
所以，
设，
联立方程，化简得，则△，
所以，则，所以，
所以，
所以的取值范围为．
23．【答案】（1）；
（2）证明见解析；．
【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故的方程为；
（2）设直线方程为，，，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线的方程为，代入两根之和、两根之积，求出，故直线过定点，即、、三点共线；计算出，得到的取值范围为．
【解答】解：（1）因为，由椭圆定义可知，曲线为以和为两焦点的椭圆，
其中，，解得，，
故的方程为；
（2）依题意可设直线的方程为，联立，
消去得，设，，，，则，．
由韦达定理得，
则直线的方程为，
即，
其中，
则直线的方程为，
故直线过定点，即、、三点共线；
，，
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为．
24．
【分析】（1）根据抛物线利用导数确定曲线在点的切线斜率与，的坐标关系，再利用点的对称与点在曲线上可得结论；
（2）设过，的切线为：，并与抛物线联立，令△得，解关于方程，结合等差数列的定义即可求证；根据中结论结合直线与曲线相交弦长即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以．
（2）（ⅰ）证明：设过，的切线为：，
联立，消去得，
令，
则，
记，则设，，
所以，
即，所以为等差数列；
由题意及的结论可得：
，
此时．
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
B
C
A
B
A
C
D
题号
11
12
13
14
答案
BCD
ABD
ABD
ACD