高考数学一轮复习考点讲与练专题27 平面向量的数量积及其应用同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题27 平面向量的数量积及其应用同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了设向量，满足，，则，已知，，，则，已知非零向量，满足，，，已知，，则，在边长为3的等边三角形中，，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2023•新课标Ⅱ）设向量，满足，，则
A．1B．2C．3D．5
2．（2023•四川）设四边形为平行四边形，，，若点、满足，，则
A．20B．15C．9D．6
3．（2023•新课标Ⅱ）已知，，，则
A．B．C．2D．3
4．（2025•北碚区模拟）已知，与的夹角为，则在上的投影向量为
A．B．C．D．
5．（2023•山东）已知非零向量，满足，，．若，则实数的值为
A．4B．C．D．
6．（2025•河南模拟）已知，，则
A．1B．2C．D．
7．（2025•建邺区三模）在边长为3的等边三角形中，，则
A．B．C．D．
8．（2025春•江宁区期末）已知菱形的边长为1，，是菱形所在平面内的动点，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．（2023•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为
A．B．C．D．0
10．（2023•新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•鹰潭模拟）已知向量，，则
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在方向上的投影向量的坐标为
（多选）12．（2025春•宜昌期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若、可以作为基底，则
B．若，则λ＝0
C．若在上的投影向量为，则
D．若与的夹角为，则λ＝﹣1或9
（多选）13．（2025春•承德期中）设点是△所在平面内任意一点，△的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是
A．若点是△的重心，则
B．若，则点是△的垂心
C．若点是△的垂心，则
D．若为△的外心，为△的垂心，则
（多选）14．（2025春•河源期末）已知平面向量，满足，，则
A．B．
C．的取值范围为D．的最大值为5
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•河源期末）已知向量，，且，的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为 ．
16．（2025春•昭通期末）已知向量，的夹角为60°，满足，，则＝ ．
17．（2025春•河南月考）在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝2，P，Q分别为边BC，CD的中点，则＝ ．
18．（2025春•郑州期末）已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•北京期中）已知向量，，
（1）求与垂直的单位向量，以及与的夹角余弦值；
（2）求满足的实数，；
（3）若，求实数．
20．（2025春•嘉定区期末）平面内给定两个向量．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若和垂直，求的值．
21．（2025春•武汉期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、．
（1）求顶点的坐标；
（2）求向量与向量所成角的余弦；
（3）求向量与向量上的投影向量的坐标．
22．（2025春•舟山期末）已知平面向量，满足，．
（1）求在上的投影向量（结果用表示）；
（2）求，；
（3）若，求．
23．（2025春•闵行区月考）已知向量，，．
（1）若，所成角为钝角，求x的取值范围；
（2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
24．（2025春•宁波期末）已知向量，满足，，且与的夹角为．
（1）分别求与的值；
（2）若，求的值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：，，
分别平方得，，
两式相减得，
即，
故选：．
2．【答案】
【分析】根据图形得出，
，，
结合向量结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：四边形为平行四边形，点、满足，，
根据图形可得：，
，
，
，
，
，
，，
故选：．
3．【答案】
【分析】由先求出的坐标，然后根据，可求，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．
【解答】解：，，
，
，
即，
则
故选：．
4．【答案】
【分析】由投影向量的定义、数量积的运算律即可求解．
【解答】解：由已知得，在上的投影向量为
．
故选：．
5．【答案】
【分析】若，则，进而可得实数的值．
【解答】解：，，，，
，
解得：，
故选：．
6．【答案】
【分析】结合求解即可．
【解答】解：已知，，
则
．
故选：．
7．【答案】
【分析】由题意可得，再由向量的线性运算求解即可．
【解答】解：在边长为3的等边三角形中，，
则，
所以
．
即．
故选：．
8．【答案】
【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点，，得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围．
【解答】解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，
建立平面直角坐标系，
因为菱形的边长为1，，
所以，，，设，
则，，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围是．
故选：．
9．【答案】
【分析】解法Ⅰ，由题意判断，且，
再利用余弦定理求出和的余弦值，计算即可．
解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形是平行四边形，
由题意求得的值．
【解答】解：解法Ⅰ，由题意，，，
，，且，
又，
；
，
，
．
解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，
由，，，，，
知，
．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
方法2：取的中点，的中点，
则，，
当且仅当与重合时，取得等号．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】由向量垂直的坐标表示建立方程求解可判断；由向量模的坐标运算即可判断；由向量共线的坐标运算可判断；由投影向量的定义求解可判断．
【解答】解：对于，因为向量，，且，
所以，解得，故正确；
对于，因为，所以，所以，故错误；
对于，因为，且，所以，解得，故错误；
对于，因为，所以，，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故正确．
故选：．
12．【答案】ACD
【分析】利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项．
【解答】解：已知向量，，易知、均为非零向量，
对于A，若、可以作为基底，则、不共线，可得2λ≠3，解得，故A正确；
对于B，，由，
解得λ＝0或2，故B错误；
对于C，在上的投影向量为，
即，解得，故C正确；
对于D，因为与的夹角为，则，
即，整理可得，解得λ＝﹣1或9，故D正确．
故选：ACD．
13．【答案】
【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断；根据向量的线性运算及数量积运算可得到顶点距离相等即可判断；根据垂心的性质及向量的线性运算判断；根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断．
【解答】解：对于，若点是△的重心，
则，即，故正确；
对于，由，
得，
即，
可得，
所以为△的外心，故错误；
对于，若点是△的垂心，则，
所以，故正确；
对于，如图，为圆的直径，则，
又因为为△的垂心，所以，所以，
同理，所以四边形为平行四边形，
所以，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】令，题目条件可转化为，对于，对条件进行平方即可求解；对于，先求平方再开方，结合即可求解；对于，通过分析可知点在以的中点为圆心，为半径的圆上，数形结合即可判断．
【解答】解：令，可以得到，所以得到，
选项，因为，所以可以得到，整理得到，进一步整理得到，所以选项错；
选项，因为，所以选项对；
选项，如图所示，假设，的中点为，所以可以得到，
整理得到，
解得，
所以点在以的中点为圆心，的圆上，
当点与点或重合时，此时取得最小值3，
根据选项可知，整理得到，
并且当且仅当时，取得等号，
当时，得到，
所以，所以，所以选项对；
选项，，
根据，
得到，
当点与点重合时，取最小值1，
故可以得到，所以选项对．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】利用向量数量积的定义可求得，利用，可求得量在上的投影向量的坐标．
【解答】解：因为，所以，又，且的夹角为，
所以，
所以向量在上的投影向量为．
故答案为：．
16．【答案】1．
【分析】由已知得，展开结合向量数量积的定义可求．
【解答】解：由＝（1，0），得||＝1，
因为|+2|＝，所以+4•+4＝7，
即1+4×1×||cs60°+4＝7，
整理得2+||﹣3＝0，解得||＝1或||＝﹣（舍去），
所以||＝1．
故答案为：1．
17．【答案】2．
【分析】建系，根据向量的坐标运算，即可求解．
【解答】解：作出示意图如下：
则根据题意可得A（0，0），B（6，0），P（6，1），Q（3，2），
所以，，，，
所以＝18+2+（﹣18）+0＝2．
故答案为：2．
18．【答案】．
【分析】根据平面向量的投影向量的计算公式即可求解．
【解答】解：根据题意可知，，
则向量在方向上的投影为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）单位向量是和，夹角余弦值为；
（2），；
（3）．
【分析】（1）设与垂直的单位向量为，根据题意列出方程组求出，，再用向量的夹角公式代入即可求出答案；
（2）把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数，；
（3）分别写出的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数．
【解答】解：（1）设与垂直的单位向量为，
则有，
解得或；
由，，
可得，又，
则，
即与的夹角余弦值为；
（2）由，得，，，，
即，解得：；
（3）由题意，，，
因为，
所以，
解得．
20．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，即可求解；
（2）利用向量垂直的坐标公式计算即可求解．
【解答】解：（1）由向量，，则，
又，，所以，
所以与夹角的余弦值为．
（2）由题意得，，
因为和垂直，所以，
即，，，化简得，解得．
所以若和垂直，的值为．
21．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）设．根据题中顶点，，的坐标可求得向量与的坐标，根据四边形是平行四边形，结合向量相等的坐标表示即可求解；
（2）由（1）可知，，根据向量夹角的坐标表示即可求解；
（3）根据投影向量的定义及向量数量积运算即可求解．
【解答】解：（1）设，
由已知得，，，
因为四边形是平行四边形，所以，
所以，，，即，解得，
所以顶点的坐标为；
（2）由（1）可知，，
故向量与向量所成角的余弦为；
（3）因为，，
所以向量与向量上的投影向量的坐标为
．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）2．
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质求出，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量；
（2）利用平面向量数量积的运算性质可求出、的值，即可求出的值；
（3）求出的值，作，，，推导出、同向，再结合平面向量数量积的定义可求出的值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
又，，所以，
所以在上的投影向量为：
，．
（2）由（1）知，
．
所以．
（3）因为，，
所以，
作，，，如图所示：
因为，所以，
因为，即，
所以，则，
所以、共线，即，
又因为，所以、同向，
所以，得．
23．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由，所成角为钝角，则且夹角不能为π即可求解；
（2）根据可求，再利用投影向量的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）因为，所成角为钝角，所以，得，
又时，3x+2＝0，得，此时，所成角为π，
故x的取值范围为；
（2）因为，，
所以，解得x＝5，
所以，
所以在上的投影向量为．
24．【答案】（1）1，；
（2）．
【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可．
（2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值．
【解答】解：（1）又，，与的夹角为，
可得，
所以；
（2）因为，
则有，
即，解得．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
C
B
D
C
A
C
B
题号
11
12
13
14
答案
AD
ACD
ACD
ACD