高考数学一轮复习考点讲与练专题26 平面向量基本定理及坐标表示同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题26 平面向量基本定理及坐标表示同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了在平行四边形中，点满足，则，已知向量，，若，则等于，已知，，则“”是“”的，，记，则，任意一点，设，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•辽宁期末）已知向量，，若，则x＝（ ）
A．3B．﹣3C．15D．﹣15
2．（2025春•邯郸月考）在平行四边形中，点满足，则
A．B．C．D．
3．（2025春•武汉期末）若，，，且，，三点共线，则的值为
A．B．C．D．3
4．（2025•中山市模拟）已知向量，，若，则等于
A．B．C．1D．3
5．（2025•惠来县模拟）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（2025春•水城区期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为
A．9B．13C．15D．18
7．（2025•海南模拟）已知为平行四边形，为的中点，记，则
A．B．C．D．
8．（2025春•衢州期末）已知点为△的重心△三条中线的交点），记，则
A．B．C．D．
9．（2025春•江西月考）在△中，是直线上的一点，若，则实数的值为
A．B．C．D．
10．（2025春•重庆月考）已知直角梯形中，，，且，，点是△内（含边界）任意一点，设，则的取值范围是
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•金水区月考）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出的是
A．
B．
C．
D．
（多选）12．（2025春•海南月考）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，可以作为基底的是
A．与B．与
C．与D．与
（多选）13．（2025春•潮南区期中）已知向量，若，，三点共线，则实数的可能的取值有
A．B．1C．D．2
（多选）14．（2024春•唐山期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则
A．B．C．D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•嘉定区期末）已知，，若，则 ．
16．（2025春•嘉定区期末）已知向量，则 ．
17．（2025春•广安期末）已知向量，若，则实数 ．
18．（2025春•闵行区月考）在平行四边形中，点，满足，，若，，则 ．（用、表示）
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•静安区期末）已知向量，．
（1）若，，，求证：、、三点共线．
（2）已知，若，且，求的值．
20．（2025春•保定期末）已知点，，，是线段的中点．
（Ⅰ）求点和的坐标；
（Ⅱ）若是轴上一点，且满足，求点的坐标．
21．（2024秋•沈阳期末）如图，在△中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
22．（2025春•山阳县期中）如图，在△中，，为线段的中点，且，，为实数，记．
（1）请用和表示；
（2）求．
23．（2024秋•保定期末）如图所示，在△中，是边边上中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，与点，不重合）．
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值，并求此时的，的值．
24．（2025春•常宁市月考）如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若．
（1），求的值；
（2）求证：，并求的最小值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】计算出，，由向量平行的充要条件即可求解．
【解答】解：向量，，
则，，
若，
则（﹣2）•（x+6）﹣1•（x﹣3）＝0，∴x＝﹣3．
故选：B．
2．【答案】
【分析】画出图形根据向量的加减法则即可求解．
【解答】解：如图，
由已知得，，所以，
．
故选：．
3．【答案】
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，，
则，，
，，三点共线，
则，解得．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据两个向量平行的条件建立关于的方程，结合算出的值，可得答案．
【解答】解：根据，，，且，
可得，消去得，解得（舍负），
所以，项符合题意．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据平面向量共线的向量坐标运算列式求得或，再根据充分条件、必要条件的概念判断即可．
【解答】解：因为，，且，
所以，解得或，
由“”能推出“或”成立，
由“或”不能推出“”成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
6．【答案】
【分析】由平面向量的线性运算将用表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可．
【解答】解：因为，，，
所以，
，
又因为，，三点共线，所以存在实数，使得，
即，
因为，是平面内的一组基底，
所以由平面向量基本定理可得：，
解得．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得．
【解答】解：已知为平行四边形，为的中点，记，
因为为的中点，所以，
所以．
故选：．
8．【答案】
【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解．
【解答】解：点为△的重心△三条中线的交点），记，
取的中点为，连接，如下图所示：
因为是△的重心，所以．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得．
【解答】解：因为，所以，
所以，
又是直线上的一点，所以由三点共线的推论知，，故．
故选：．
10．【答案】
【分析】由题意可得，当点在线段上时，点与点重合时，最大，分别求出对应的的值，可得的取值范围．
【解答】解：如图，
由题意可得，当点在线段上时，最小，最小值为1，
当点不在线段上时，过点作的平行线，随着平行线靠近点，逐渐增大，
当平行线过点，即点与点重合时，最大，
此时，故最大值为，
故的取值范围是，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据共线向量定理，即可判断选项．
【解答】解：对于，因为，，而是两个不共线的单位向量，
所以与不共线，故错误；
对于，因为，，
则，，故正确；
对于，，，由于不共线，故不存在实数，使得，所以向量不平行，故错误；
对于，，，故，此时，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】逐一判断选项中的两向量是否平行，若平行不能作为基底，不平行可以作为一组基底．
【解答】解：因为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，
对于，设，无解，所以与不共线，可以作为一组基底，故正确；
对于，设，所以，无解，
所以与不共线，可以作为一组基底，故正确；
对于，设，所以，解得，
所以与共线，不能作为一组基底，故错误；
对于，设，所以，无解，
所以与不共线，可以作为一组基底，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】由已知结合向量平行的坐标运算列式求参数的值．
【解答】解：，
因为，，三点共线，所以．
可得，即，
解得或．
故选：．
14．【答案】
【分析】由平面向量的线性运算逐一计算各选项即可求得．
【解答】解：由题意得，故正确，错误；
，
又，，
所以，
又，
所以，故错误，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】1．
【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案．
【解答】解：因为，所以，解得．
故答案为：1．
16．【答案】．
【分析】根据向量坐标运算求解．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】利用平面向量共线定理，列方程求出即可．
【解答】解：，
，
，，
，
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】根据向量的线性运算可得．
【解答】解：如图，
因为，，
所以，
，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）证明见解答；（2）1．
【分析】（1）通过证明向量共线即可证得；
（3）由向量平行的坐标表示建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为，，，
所以，
，
所以，所以，
因为有公共点，所以、、三点共线；
（2）因为，，
所以，
因为，所以，解得．
20．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）点的坐标是．
【分析】（Ⅰ）根据向量的运算性质计算即可；（Ⅱ）根据向量的线性运算计算即可．
【解答】解：（Ⅰ），，是线段的中点，
，，，
，，，；
（Ⅱ）设，则，，
，
，解得：，
点的坐标是．
21．
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，推导出，，然后根据、、三点共线，建立关于的方程，解之可得的值；
（2）根据题意，可得，，结合、、三点共线，算出，然后利用基本不等式求出的最小值．
【解答】解：（1）因为，所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为、、三点共线，所以，解得，即，所以；
（2）因为，，同理可得，
由（1）的结论，可知，所以，
因为，，三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．
22．【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求得；
（2）根据平面向量基本定理得出，，即可求得结果．
【解答】解：（1）因为，所以，
即，又，
所以；
（2）因为为线段中点，
所以，又，
所以，
所以，
又，
所以，
故．
23．
【分析】（1）根据三角形中线的性质，结合向量的线性运算法则算出，，由、、三点共线，根据向量共线定理列式并化简出，即可证出所求结论；
（2）根据基本不等式，结合“1的代换”算出，进而算出相应的、的值，可得答案．
【解答】（1）证明：由是△的中线，可得，
因为是的中点，所以，
由，，可得，，
所以，
．
由、、三点共线，可得，
所以，即，整理得．
（2）解：由（1）得，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，取得最小值．
24．【答案】（1）；
（2）证明见解析；4．
【分析】（1）确定，得到答案．
（2）确定，得到，利用均值不等式计算得到答案．
【解答】（1）解：，故；
（2）证明：，，，三点共线，故，
即，，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为4．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
A
C
C
B
A
C
题号
11
12
13
14
答案
BD
ABD
BC
AD