高考数学一轮复习考点讲与练专题25 平面向量的概念及线性运算同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题25 平面向量的概念及线性运算同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列关于平面向量的说法正确的是，已知向量，不共线，，，若，则，已知向量，不共线，且，则实数，下列有关向量的说法正确的是，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•浦东新区期中）已知为单位向量，下列说法正确的是
A．B．C．D．
2．（2025春•湖北月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是
A．与共线
B．与不共线
C．若，则
D．若，则是一个单位向量
3．（2025春•崆峒区月考）下列说法正确的是
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B．若，则与的方向相反
C．若，则
D．向量与向量的长度相等
4．（2025春•长宁区期中）下列关于平面向量的说法正确的是
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，，则
5．（2025春•东台市期中）已知向量，不共线，，，若，则
A．B．C．6D．
6．（2025•茂名二模）已知向量，不共线，且，则实数
A．3B．C．D．
7．（2025春•上海月考）下列有关向量的说法正确的是
A．向量又称有向线段
B．平行向量一定相等
C．平行向量一定共线
D．平面直角坐标系中的轴，轴均为向量
8．（2025春•安徽月考）下列说法错误的是
A．向量与向量长度相等
B．
C．若向量与共线，与共线，则与共线
D．任一向量平移后都和原向量相等
9．（2025春•武汉期中）设为基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是
A．2B．C．D．3
10．（2025春•温州期末）在平行四边形中，是线段上一点，，，，若，则
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•四川月考）下列说法正确的是
A．相等向量的起点必定相同
B．平行向量就是共线向量
C．
D．非零向量与是非零实数）的方向相反
（多选）12．（2025春•建平县期中）以下关于平面向量的说法中，正确的是
A．有向线段就是向量B．所有单位向量的模都相等
C．零向量没有方向D．平行向量也叫作共线向量
（多选）13．（2025春•武汉期末）下列说法正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
（多选）14．（2024秋•辽宁期末）下列命题正确的是
A．若向量共线，则，，，必在同一条直线上
B．若，，为平面内任意三点，则
C．若点为△的重心，则
D．已知向量，若，则
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•南海区期中）已知向量，不共线，若向量和共线，则实数 ．
16．（2025春•南海区月考）设和是两个不共线的向量，若，且，，三点共线，则实数的值等于 ．
17．（2025春•兰州期中）若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于 ．
18．（2025春•福贡县月考）给出下列命题：
①若，则；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•南通月考）设，是不平行的向量，且，．
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若，用的线性组合表示．
20．（2025春•阆中市期中）设两个非零向量与不共线．
（1）若．求证：、、三点共线；
（2）若和共线，求实数的值．
21．（2024春•梅县区期中）设两个非零向量与不共线．
（1）若，，，求证：，，三点共线；
（2）试确定实数，使和反向．
22．（2024春•东兴区期中）设是两个不共线的向量，若．
（1）求证，，三点共线；
（2）试确定的值，使和共线．
23．（2025春•广东月考）已知，为一组基底向量，其中，，．
（1）探究，，三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由；
（2）若与共线，求的值．
24．（2025春•东湖区期中）已知向量不共线，且．
（1）若，求的值；
（2）若，求证：，，三点共线．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据单位向量和零向量的定义，对各选项进行分析．
【解答】解：对于，，故错误；
对于，与任意向量平行，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故错误．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项．
【解答】解：当，，，四点在一条直线上时，与共线，
否则与可能不共线，故，错误；
若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，故错误；
因为，由单位向量定义可知是一个单位向量，故正确．
故选：．
3．【答案】
【分析】对于，利用共线向量和相等向量的定义，即可求解；对于，根据条件得到与的方向相同或与中有零向量，即可求解；对于，取，即可求解；对于，利用相反向量的定义，即可求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反，
当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以错误，
对于，若，则与的方向相同或与中有零向量，所以错误，
对于，当时，对于任意向量和，都有且，
但与不一定平行．因为零向量与任意向量都平行，所以错误，
对于，向量与向量是相反向量，其长度是相等的，所以正确，
故选：．
4．【答案】
【分析】根据相反向量的定义即可判断的正误；
根据相等向量的定义即可判断的正误；
根据共线向量的定义即可判断的正误；
根据零向量和平行向量的定义即可判断的正误．
【解答】解：当，方向相反时，满足共线，得不出，错误；
根据向量相等的定义可知正确；
时，满足，但共线，错误；
，与不平行时，满足，得不出，错误．
故选：．
5．【答案】
【分析】依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可．
【解答】解：因为不共线，所以都不是零向量，
又，
所以存在实数，使，即，
所以，解得．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据平面向量的共线定理求解．
【解答】解：由题意，，解得．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断．
【解答】解：有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点，所以不能说向量又称有向线段，选项错误；
平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，
而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等，所以平行向量不一定相等，选项错误；
平行向量也叫共线向量，所以平行向量一定共线，选项正确；
向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，
所以轴、轴不是向量，选项错误．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据相反向量、相等向量、共线向量、零向量等的概念逐一判断各选项即可．
【解答】解：对于，向量与向量是互为相反向量，方向相反、长度相等，故正确；
对于，若，则方向相同、长度也相等，而方向相同的两向量一定是平行向量，故正确；
对于，若，对任意两个非零向量与，都有向量与共线，与共线，但与共线，故不正确；
对于，任一向量在平移过程中保持向量的方向和长度并不改变，故平移后的向量都和原向量相等，故正确．
故选：．
9．【答案】
【分析】利用向量减法法则求出，再利用共线向量及平面向量基本定理列式计算作答．
【解答】解：由题可得：，
因，，三点共线，则，即，，而，
则有，即，又与不共线，于是得，解得，
所以的值是．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据向量的线性运算以及平面向量基本定理进行求解．
【解答】解：如图，
由已知得，，
因为，所以存在实数，使得，
因为点在线段上，所以，解得，所以，
又，所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据相等向量的定义即可求解，根据共线的定义求解，根据向量的加减法运算即可求解，根据时，，即可求解．
【解答】解：相等的向量是方向相同，长度相等的向量，起点不一定相同，故错误；
平行向量与共线向量同一定义，正确；
，故正确；
当时，，与的方向相同，故错误．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答．
【解答】解：由有向线段、向量的定义知，不正确；
单位向量是长度为1的向量，正确；
零向量有方向，其方向是任意的，不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】根据向量的相关概念，可得答案．
【解答】解：对于选项，向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故错误；
对于选项，相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，故正确；
对于选项，当时，向量不一定共线，故错误；
对于选项，相等向量具有传递性，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】根据向量共线的定义判断出项的正误；平面向量的线性运算法则判断出项的正误；根据平面向量的线性运算性质与三角形重心的性质，可判断出项的正误；根据平面向量共线的坐标表示，判断出项的正误．
【解答】解：对于，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反，
不一定、、、在同一直线上，故项错误；
对于，根据平面向量线的性运算法则，可知，故项正确；
对于，若点为△的重心，设中点为，则，
由三角形重心的性质，得，可得，所以，故项正确；
对于，因为向量，且，
所以，化简得，故项错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：向量和共线，
可设，
于是，
．
故答案为：．
16．【答案】．
【分析】根据题意，由三点共线可得，然后代入计算，即可得到结果．
【解答】解：根据题意，，三点共线，故，
根据题意可知，和是两个不共线的向量，
，
所以．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】求出向量，由题意可得，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值．
【解答】解：由、是两个不共线的向量，，，，
可得，
因为、、三点共线，则，
则存在实数，使得，即，
所以，，解得．
故答案为：．
18．【答案】③．
【分析】结合向量的概念，以及向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：若，则①不成立；
起点相同的单位向量，终点未必相同；
对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．
故答案为：③．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由向量共线的定理计算可得；（2）由向量的线性运算和共线定理计算可得；
【解答】解：（1）因为向量与共线，所以设，
即，
所以，
（2），
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
20．【答案】（1）详见解答过程；
（2）．
【分析】（1）由已知结合向量共线定理即可求解；
（2）结合平面向量共线定理及平面向量基本定理即可求解．
【解答】解：（1）证明：，
，
与共线，又它们有公共点，
故，，三点共线．
（2）和共线，
故存在实数，使，．
与不是共线的两个非零向量，，
，即．
21．【答案】（1）证明略；（2）．
【分析】（1）可根据进行向量的数乘运算可得出，然后可得出与共线，从而得出，，三点共线；
（2）可设，，然后根据平面向量基本定理即可求出的值．
【解答】解：（1）证明：，
，且，
与共线，且与有公共点，
，，三点共线；
（2）设，，且不共线，
根据平面向量基本定理得：，解得或（舍去）．
22．【答案】（1）证明过程见解析．
（2）或．
【分析】（1）先证出和共线，从而得到，，三点共线．
（2）利用平面向量基本定理求解．
【解答】证明：（1）由题意，
所以和共线，
所以，，三点共线；
解：（2）若和共线，则存在实数，使得，
又不共线，所以，
解得或，
所以或时，和共线．
23．【答案】（1）共线，理由见解答；
（2）．
【分析】（1）利用平面向量的加法法则求出，再得到其与成倍数关系即可；
（2）利用给定条件结合不共线建立方程组，求解参数即可．
【解答】解：（1），，三点共线，证明如下：
因为，
所以由平面向量的加法法则，
可得，
因为，
所以，即，
故，，三点共线；
（2）若与共线，则可设，
又为基底向量，则不共线，
则有，解得或．
24．【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据向量的共线定理即可求解；
（2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明．
【解答】解：向量不共线，且．
（1）若，则，即，
可得，解得，，
所以．
（2）若，则，
所以，，
所以，则，，三点共线．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
B
C
D
C
C
B
B
题号
11
12
13
14
答案
BC
BD
BD
BC