高考数学一轮复习考点讲与练专题27 平面向量的数量积及其应用讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题27 平面向量的数量积及其应用讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了向量的夹角，平面向量的数量积，平面向量数量积的几何意义，向量数量积的运算律，平面向量数量积的有关结论等内容，欢迎下载使用。

1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|csθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|csθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|csθe.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)．
(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论：
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b，
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b