高考数学一轮复习考点讲与练专题01 集合讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题01 集合讲义（含答案解析），共4页。试卷主要包含了集合与元素，集合的基本运算，∁U＝∪，∁U＝∩等内容，欢迎下载使用。

1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B ⫌A)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
►考点01 集合的含义与表示

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【例1】（2025•泰安校级模拟）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是
A．②③B．①③C．②④D．①②④
【答案】
【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项．
【解答】解：对于①，不满足元素的确定性，不能组成集合，故①错误；
对于②，方程在实数集内的解组成的集合为，故②正确；
对于③，直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为，，故③正确；
对于④，不满足元素的确定性，不能组成集合，故④错误．
故选：．
【例2】（2024•沈河区校级模拟）下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合中有2个元素；
④集合是无限集．
其中正确命题的个数是
A．1B．2C．3D．0
【答案】
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①中有元素0，不是空集，故①不正确；
②若，则，不正确，例如，，而；
③集合有1个元素，故③不正确；
④当为正整数的倒数时，，故集合是无限集，故④正确．
故选：．
【例3】（2022•渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则
A．或或2B．或C．或2D．或2
【答案】
【分析】分别由，，求出的值，代入观察即可．
【解答】解：若，则，
，
，4，；
若，则或，
时，，
，，；
时，（舍，
故选：．
【例4】（2024•东湖区校级三模）若以集合，，，的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是
A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形
【答案】
【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的结合的元素个数即可得到结果．
【解答】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；
菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；
满足题意的可能是梯形．
故选：．
【例5】（2024秋•深圳校级期末）若集合，，，则实数的取值可以是
A．2B．3C．D．5
【答案】
【分析】根据集合中元素的互异性求解．
【解答】解：由元素的互异性可得，，
解得，，，
观察四个选项可知，符合．
故选：．
►考点02 集合间的基本关系

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【例6】（2025•雨花区校级模拟）已知集合，则集合的真子集个数是
A．3B．6C．7D．8
【答案】
【分析】化简集合，可得集合的真子集个数．
【解答】解：集合，4，，
则集合的真子集个数为．
故选：．
【例7】（2025•河北模拟）已知集合，，，若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出集合，再根据，即可求出实数的取值范围．
【解答】解：由题意得，因为，则，所以实数的取值范围是．
故选：．
【例8】（2025•安徽模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围是
A．B．C．，D．，
【答案】
【分析】根据集合的包含关系即可求解．
【解答】解：因为集合，，且，
所以，
即实数的取值范围是，．
故选：．
【例9】（2025•安徽模拟）在下列选项中，能正确表示集合，0，和关系的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出集合，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．
【解答】解：解方程，得或，所以，，
又，0，，所以．
故选：．
【例10】（2025•青羊区校级模拟）集合，，若，则实数的取值范围
A．B．，C．D．，
【答案】
【分析】根据列出不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：因为集合，，
若，则，
即实数的取值范围为，．
故选：．
►考点03 集合的基本运算

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【例11】（2025•景德镇模拟）已知全集，2，3，，，，则
A．B．，C．，D．，2，3，
【答案】
【分析】由已知可得，再由补集运算的定义得答案．
【解答】解：全集，2，3，，
且，，
，．
故选：．
【例12】（2025•四川模拟）已知集合，，0，1，2，，，则
A．，，0，1，2，B．，，0，1，
C．，0，1，D．，1，
【答案】
【分析】根据题意利用一元二次不等式求集合，进而求交集．
【解答】解：，，0，1，2，，，
，，0，1，2，，0，1，．
故选：．
【例13】（2025•湖北模拟）设集合，，则
A．B．C．D．，或
【答案】
【分析】可求出集合，，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
【例14】（2025•济南模拟）已知集合，，则
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：集合，，
故，．
故选：．
【例15】（2025•安徽模拟）已知全集，集合，，，1，2，3，，则
A．或，B．或，
C．，D．，
【答案】
【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可．
【解答】解：由，，得或，，
又，1，2，3，，
所以或，．
故选：．
►考点04 集合的新定义问题

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【例16】（2025•芜湖二模）已知有限集合，，，，，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，且，则正整数的值是 2025 ．
【答案】2025．
【分析】先求出集合，再根据题干中的定义即可求出结果．
【解答】解：因为，所以，4，，，
故，解得．
故答案为：2025．
【例17】（2025•西城区校级模拟）对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下；设，，，，，其，则的“绝对交错和”为；当时；的“绝对交错和”为，若数集，0，，，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意集合的非空子集和交错和的定义分析即可．
【解答】解：，0，，
若中任意一个小于的元素出现在不含的子集中，
则也一定出现在的子集或，
反之，如果不出现，则都不出现，
而在和，的交错和中一个为，一个为，
所以总和为0，
而含有的特殊个数为个，
所以所有非空子集的交错和为，
故选：．
【例18】（2025春•盐都区校级月考）设、为两个实数集，定义集合，，若，1，，，，则的子集个数为
A．15B．16C．31D．32
【答案】
【分析】由集合新定义确定，即可求解．
【解答】解：，1，，，，
则，2，3，，
所以的子集个数为．
故选：．
【例19】（2024秋•昌平区期末）已知集合，，，，，，，定义集合⊕，，，，，则⊕中元素的个数是
A．49B．62C．109D．77
【答案】
【分析】作出集合、集合表示的整点图形，结合向量的线性运算及其坐标表示可求解．
【解答】解：在坐标系内作出集合、集合的整点图形，则集合⊕中元素为图中虚线格子格点去掉四个角上的，，，，，，，，，，，共12个点，
所以集合⊕中元素个数为个．
故选：．
【例20】（2024秋•开封期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，，若，1，，，2，，则集合的子集的个数为 32 ．
【答案】32．
【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可．
【解答】解：已知，1，，，2，，
定义集合，，
而，，，，，，，，，
则集合中的元素分别为1，2，3，4，5，共5个，
则集合的子集的个数为．
故答案为：32．集合
非负整数
集(或自
然数集)
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
解决集合含义问题的关键点
(1)一是确定构成集合的元素．
(2)确定元素的限制条件．
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
集合新定义问题的“三定”
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．