高考数学一轮复习考点讲与练专题04 基本不等式同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题04 基本不等式同步练习（含答案解析），共4页。试卷主要包含了已知函数，，则函数的最小值为，已知正数，满足，则的最小值为，已知，，且满足，则的最小值为，若，则的最小值是，若正数，满足，则的最小值为，若，，且，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2024秋•福贡县期末）已知函数，，则函数的最小值为
A．B．2C．D．
2．（2025•南岗区三模）已知正数，满足，则的最小值为
A．8B．7C．6D．5
3．（2025春•宁波期中）已知正数，满足，则的最小值为
A．9B．6C．4D．3
4．（2025春•浙江期中）已知，，且满足，则的最小值为
A．4B．6C．8D．10
5．（2025春•广东期中）若，则的最小值是
A．2B．3C．4D．5
6．（2025•凉州区模拟）若正数，满足，则的最小值为
A．2B．C．3D．
7．（2025春•静宁县月考）已知正数，满足，则的最小值为
A．B．C．D．
8．（2025春•南安市月考）若，，且，则的最小值为
A．2B．3C．4D．8
9．（2025•淄博模拟）利民工厂的某产品，年产量在至之间，年生产的总成本（万元）与年产量之间的关系近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为
A．160B．180C．200D．240
10．（2025•中山市一模）若，则的最小值是
A．4B．8C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•张家口三模）已知，，且，若，，则
A．B．的最小值为
C．的最小值为D．的取值范围为，
（多选）12．（2025•湖南模拟）已知，，且，则
A．B．
C．D．
（多选）13．（2025•浙江模拟）已知正数，满足，则
A．B．C．D．
（多选）14．（2025•河北模拟）已知，，，则下列说法正确的是
A．的最大值为B．的最小值为4
C．的最大值为2D．的最小值为
三．填空题（共4小题）
15．（2025•安徽模拟）若，，，则的最小值是 ．
16．（2025•浦东新区模拟）若正数、满足，则的最大值为 ．
17．（2025•四川模拟）若，则实数的取值范围为 ．
18．（2025•重庆模拟）若，且，则的最小值为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋•安宁区期末）（Ⅰ）若，，且，求的最小值；
（Ⅱ）若，，且，求的最小值．
20．（2024秋•米东区期末）不等式若两个正实数，，满足．
（1）求的最小值，并说明此时，的值；
（2）若不等式恒成立，则实数的取值范围．
21．（2024秋•田家庵区期末）已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值．
22．（2024秋•镇江期末）（1）已知，，且，求的最小值；
（2）已知，，证明：．
23．（2024秋•吐鲁番市期末）（1）已知，求的最小值．
（2）求的最大值．
（3）已知正数，满足，求的最小值．
24．（2024秋•湛江期末）（1）已知，求的最大值；
（2）若正数，满足，求的最小值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据基本不等式即可得到最值．
【解答】解：因为，则，
当且仅当，即时等号成立．
所以函数的最小值为2．
故选：．
2．【答案】
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为正数，满足，
则，
当且仅当时取等号．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值．
【解答】解：正数，满足，
则，
当且仅当且，即，，
故取得最小值9．
故选：．
4．【答案】
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：因为，，且满足，
所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号，取最小值8．
故选：．
5．【答案】
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：，则，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得．
【解答】解：由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
7．【答案】
【分析】由题设可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可．
【解答】解：因为正数，满足，所以，
则，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
8．【答案】
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：，，且，
，
当且仅时，即时，得，时，等号成立，
所以的最小值是3．
故选：．
9．【答案】
【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．
【解答】解：（1）依题意，每吨平均成本为（万元），
则
当且仅当，即时取等号，又，
所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低．
故选：．
10．【分析】由基本不等式可得，注意等号成立的条件即可．
【解答】解：，
当且仅当即且时取等号，
的最小值是8
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】利用基本不等式判断，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断．
【解答】解：．因为，，，则，故错误；
．由题意可知，，，则，当时等号成立，
则的最小值为，故正确；
．，当，即时等号成立，故正确；
，
当，，在区间，上单调递增，
当时取得最大值5，且时，，
所以的取值范围为，，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可．
【解答】解：因为，，且，
：若，选项显然不成立；
，
即，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；
：因为，即，
当且仅当时取等号，显然成立，故本选项正确；
：因为，当且仅当时取等号，因此本选项正确，
故选：．
13．【答案】
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验选项，结合二次函数性质检验选项即可求解．
【解答】解：因为正数，满足，当且仅当，即，时取等号，
所以，错误；
，当且仅当，即，时取等号，正确；
，当且仅当，即，时取等号，正确；
，，
结合二次函数性质可知，当时，上式取得最小值，正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】利用基本不等式计算并判断，结合常数代换可计算并判断，，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断．
【解答】解：因为，，，
，所以，当且仅当，即，时等号成立，故正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，故错误；
因为，当且仅当，时等号成立，故错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，
易知最短距离为，
所以的最小值为，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】9．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：若，，，
则，
当且仅当时取等号．
故答案为：9．
16．【答案】．
【分析】令，再结合二次函数的性质求解即可；
【解答】解：因为正数、满足，
所以，
所以，
所以，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值为．
故答案为：．
17．【答案】，．
【分析】根据题意，转化为，令，结合基本不等式，求得函数的最小值，即可求解．
【解答】解：因为，故只需，
令，则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值3，
所以．
故答案为：，．
18．【答案】25．
【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【解答】解：因为，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为25．
故答案为：25．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】，
．
【分析】由已知结合基本不等式，可求的范围，进而可求的最小值，
由已知得，，然后利用，展开后利用基本不等式可求．
【解答】解：，，，
当且仅当时取等号，
解得，，
所以，即的最小值9，
，，且，
，
，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值9．
20．【答案】（1）最小值为2，此时，；
（2），．
【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解；
（2）结合乘1法，利用基本不等式先求出的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：两个正实数，，满足．
（1）由题意可得，当且仅当时取等号，
所以，即的最小值为2，此时，；
（2）因为，当且仅当，即，时取等号，
若不等式恒成立，则，
解得
故实数的取值范围为，．
21．【答案】（1）16；
（2）16；
（3）9．
【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值．
（3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解：，，且．
（1），解得，当且仅当，即，时取等号，
所以取得最小值16．
（2），解得，
当且仅当，即，时取等号，取得最小值16．
（3）由，得，
则，
当且仅当，即，时取等号，取得最小值9．
22．【答案】（1）4；
（2）证明过程见详解．
【分析】（1）由题意及基本不等式可得的最小值；
（2）作差整理可得结论．
【解答】（1）解：，，且，解得，
可得的最小值为4；
（2）证明：
，
因为，，可得，，，
所以，
所以：．
即证得结论．
23．【答案】（1）3；（2）5；（3）．
【分析】（1）配凑后根据基本不等式求最值；
（2）由基本不等式求积的最大值；
（3）利用“1”的变形及基本不等式求最值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，的最小值3．
（2）由可得，
当或时，，
当时，由基本不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，
综上的最大值为5．
（3）因为正数，满足，
由基本不等式可得，，
当且仅当且，即，时等号成立．
即的最小值为．
24．【答案】（1）1；（2）4．
【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案．
（2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案．
【解答】解：（1）由于，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为1．
（2）依题意，，，，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
B
B
B
B
C
B
题号
11
12
13
14
答案
BCD
BCD
BCD
AD