高考数学一轮复习考点讲与练专题01 集合同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题01 集合同步练习（含答案解析），共4页。试卷主要包含了已知集合，，则，设集合，，若，则的取值范围是，已知集合，2，3，4，，，则，已知集合，，那么集合，已知集合，则，若集合，，则，已知集合，，，则，已知集合，，，0，1，，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025•海淀区模拟）已知集合，，则
A．B．C．或D．
2．（2025•成都模拟）设集合，，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．（2025•松原模拟）已知集合，2，3，4，，，则
A．，2，3，B．，2，C．，D．
4．（2025•历下区模拟）已知集合，，那么集合
A．B．C．D．
5．（2025•泰安三模）已知集合，则
A．B．，C．，D．，2，
6．（2025•南充模拟）若集合，，则
A．B．，C．，D．，
7．（2025•茂名模拟）已知集合，，，则
A．B．C．D．
8．（2025•浙江模拟）已知集合，，，0，1，，则
A．，B．，1，C．，D．，0，
9．（2025•全国模拟）已知集合，，，则
A．，B．，C．D．，
10．（2025•天津模拟）已知全集，，，，2，，则
A．B．C．D．，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•慈溪市模拟）已知集合，，则
A．B．C．D．
（多选）12．（2024•青原区模拟）下列选项中的两个集合相等的有
A．，，，
B．，，，
C．，，
D．，
（多选）13．（2024•宜春模拟）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有
A．，B．，
C．D．
（多选）14．（2025•望城区模拟）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是
A．若是“阶集”，则
B．若是“阶集”，则为任意正实数
C．若是“阶集”，则
D．若是“阶集”，则
三．填空题（共4小题）
15．（2025•闵行区模拟）设集合，，则 ．
16．（2025•濮阳二模）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ．
17．（2024•南京二模）已知集合，2，，，，，则集合的元素个数为 ．
18．（2025•江西模拟）已知集合，3，4，，，2，3，，，集合的子集，，，，，若对于任意的，，，都有，则符合条件的集合的个数为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋•资中县期末）设集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
20．（2024秋•榆阳区期末）已知集合，．
（1）分别求，．
（2）已知，且，求实数的取值范围．
21．（2024秋•叶县期末）已知集合，．
（1）当时，求①；②；
（2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
22．（2025春•个旧市月考）设全集，集合．
（1）求；
（2）设为实数，集合．若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
23．（2024•辽宁模拟）给定正整数，设集合，，，，，，，2，，．对于集合中的任意元素，，，和，，，，记．设，且集合，，，，，2，，，对于中任意元素，，若则称具有性质．
（1）若集合具有性质，试写出的表达式；
（2）判断集合，1，，，0，，，1，是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由；
（3）是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由．
24．（2025•赣州模拟）对于一个四元整数集，，，，如果它能划分成两个不相交的二元子集，和，，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
（1）写出集合，2，3，4，5，6，7，的一个“有趣的”四元子集：
（2）证明：集合，2，3，4，5，6，7，不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
（3）证明：对任意正整数，集合，2，3，，不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】进行并集的运算即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
2．【答案】
【分析】由集合，，，能出的取值范围．
【解答】解：集合，，，
．
的取值范围是．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据给定条件，求出集合，再利用交集的定义求解．
【解答】解：集合，2，3，4，，
所以，0，1，2，，
根据集合交集运算可得，，2，．
故选：．
4．【答案】
【分析】分别求出集合，，利用交集的定义求解即可．
【解答】解：因为，，，
所以．
故选：．
5．【答案】
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合，
则，2，．
故选：．
6．【答案】
【分析】先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合，，
故．
故选：．
7．【答案】
【分析】先化简集合，再求补集，交集．
【解答】解，
又，，
．
故选：．
8．【答案】
【分析】解一元二次不等式化简，根据交集的概念可求出结果．
【解答】解：由，得，则，
所以，1，．
故选：．
9．【答案】
【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．
【解答】解：由可得，
则，，，，
所以，．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据集合的交集以及补集的定义即可求解．
【解答】解：由题意，，1，2，3，，
又，2，，故，，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】由题意得，根据相等集合和子集的定义即可判断．
【解答】解：由题意得方程无解，
所以集合，，
则且，可得，，正确，错误．
故选：．
12．【答案】
【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．
【解答】解：选项：因为集合，表示的都是所有偶数组成的集合，所以；
选项：集合中的元素是由1，3，5，，所有正奇数组成的集合，
集合是由3，5，，所有大于1的正奇数组成的集合，即，所以；
选项：集合，，集合中：当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，则；
选项：集合表示的是数集，集合表示的是点集，所以；
综上，选项表示的集合相等，
故选：．
13．【答案】
【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．
【解答】解：对于，对任意的，存在，使得，故正确；
对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，
使得，当时，该式不成立，故错误；
对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，
使得，故正确；
对于，集合，，，当时，，
时，使得不成立，故错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可．
【解答】解：对于，若是“阶集”，则，所以，
因为，所以，故正确；
对于，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故正确；
对于，若是“阶集”，则，由得出，
当时，，所以，当时，取，，满足，
但是，所以为使成立时，，正实数的取值范围是，故是正确；
对于，若是“阶集”，则，
当，，时，，故不成立，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】，．
【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式可求得集合，，由交集定义可得结果．
【解答】解：由得：，则，
由得：，解得，则，，
，．
故答案为：，．
16．【答案】，．
【分析】利用交集运算得，根据集合非空和子集关系列不等式组求解即可．
【解答】解：因为，所以，
又，非空集合，
所以，解得，即的取值范围是．
故答案为：，
17．【答案】2．
【分析】利用列举法表示集合，能求出结果．
【解答】解：集合，2，，
，，，，
则集合的元素个数为2．
故答案为：2．
18．【答案】30．
【分析】根据题意，设，即可得到中元素由和有序数组，，，决定，然后分类讨论即可得到，，，中有2个2，分别计算其对应的情况数，然后相加，即可得到结果．
【解答】解：不妨设，再设，，2，3，4，
则中元素由和有序数组，，，决定．
，，3，4，，且，，，中任意相邻几个之和也不属于，3，4，，
否则会出现，
若，，，中没有2或只有1个2，则一定有，不符合题意．
若，，，中有3个2或4个2，不满足，，，中任意相邻几个之和也不属于，3，4，，
所以，，，中有2个2．
考虑，，，的排列情况和的取值情况：
若，，，由2，2，6，6组成，则的个数为；
若，，，由2，2，6，7组成，则的个数为；
若，，，由2，2，6，8组成，则的个数为；
若，，，由2，2，7，7组成，则的个数为．
故符合条件的集合的个数为．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2），，．
【分析】（1）将代入，求出集合，解不等式化简集合，再根据补集和交集的定义即可求出；
（2）根据，可得，对集合是否为空集分类讨论，得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）或，则；
当时，，由得或，
所以；
（2）由得，
①若，则，解得，
②若，则或，解得或，
综上，实数的取值范围是，，．
20．【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得；
（2）利用子集概念即可求解．
【解答】解：（1）由，解得，
所以，
又因为，
所以，；
（2）因为，显然，
若，则，
解得，
所以实数的取值范围为．
21．【答案】（1）①，
②；
（2），．
（3），，．
【分析】（1）①把代入求出集合，然后结合集合的并集可求；
②结合集合的交集及补集运算可求；
（2）根据已知条件，推出，即可列出不等式组，即可求解．
（3），分是否为空集讨论，并取并集，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，，
①，
②因为或，
所以；
（2）因为集合为非空集合且，
所以，
又，，
所以，解得，
故实数的取值范围是，．
（3），
若时，
则，解得，符合题意，
若时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是，，．
22．【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）解指数不等式和一元二次不等式分别求出集合，，再根据集合的运算求解；
（2）根据充分条件确定即可求解．
【解答】解：（1）由，可得，所以，
由解得或，
所以或，，
所以，．
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
由（2）知或，所以．
所以的取值范围是，．
23．【答案】（1），．
（2）具有，9．
（3）不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据定义可确定具有性质的集合中的元素个数和具体的元素；
（2）对给定的集合，逐一验证，可检验集合是否具有性质，并求所要求的和；
（3）对进行分类讨论，逐个验证是否符合该性质．
【解答】解：（1）由题意可知表示集合有2个元素，且，
所以，．
（2）对于，1，，，0，，，1，，
则，1，，1，，同理，0，，0，，1，，1，，
而，1，，0，，同理，1，，1，，0，，1，，
所以具有性质．
且．
（3）假设存在集合具有性质，易知集合中有4个元素且，1，2，3，．
①若，则，0，0，，不符合4个元素，舍去；
②若，则，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，，
又，0，0，，1，0，，
所以不满足，舍去；
③若，则，1，0，，，0，1，，，0，0，，，1，1，，，1，0，，，0，1，，
又，1，0，，0，1，，0，1，，1，0，，0，0，，1，1，，
所以这3组每组至多只能有一个包含于，所以至多只有3个元素，矛盾，舍去；
④若，则，1，1，，，1，0，，，0，1，，，1，1，，
又，1，1，，1，0，，
所以不满足，舍去；
⑤若，则，1，1，，只有一个元素，舍去．
综上，不存在具有性质的集合．
24．【答案】（1），2，3，（符合要求即可）；
（2）证明见解析．
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可；
（2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可；
（3）假设，2，，可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，，，，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可．
【解答】解：（1），2，3，（符合要求即可）；
（2）证明：假设可以划分，
，和一定是一个奇数一个偶数，
，，，中至多两个偶数．
则对于，2，3，4，5，6，7，的一种符合要求的划分，，，和，，，，
每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为，4，，和，8，，，
则或49，不存在，使得，8，，符合要求；
若两个集合分别为，6，，和，8，，，
则或13，不存在，使得，6，，符合要求；
若两个集合分别为，8，，和，6，，，
则或25，不存在，使得，6，，符合要求；
综上所述，，2，3，4，5，6，7，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
（3）假设，2，，可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，，，．
每个子集中至多两个偶数，又1，2，，中恰有个偶数，
每个子集中均有两个偶数，
对于，可设，，，，其中，是偶数，，为奇数，
再由奇偶性，只能是．
，
且，，，，，，，4，，，，，，，，，3，，．
，矛盾．
，2，，不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
A
D
A
C
B
A
B
题号
11
12
13
14
答案
ACD
AC
AC
ABC